Metodo della separazione delle variabili

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ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3e (ultima modifica 16710/2012) Metodo della separazione delle variabili Un problema relativo ad un sistema di conduttori mantenuti a determinati potenziali (potenziali assegnati) e senza nessuna carica libera isolata, ( cariche distribuite con continuità), non si può risolvere con il metodo delle immagini. Inoltre, per alcuni problemi relativi a sistemi con contorni di diverso tipo oppure distribuzioni di potenziale o di gradienti assegnate, può essere più conveniente risolvere direttamente le equazioni di campo, applicando il metodo analitico che consiste nel determinare una funzione potenziale che soddisfi: l’equazione di Laplace: e le condizioni al contorno per una regione assegnata (necessarie per la definizione delle costanti di integrazione). M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e
Si osservi che l’equazione di Laplace applicata in tre dimensioni é una equazione alle derivate parziali, dove il potenziale V(x,y,z), é una funzione di tutte e tre le coordinate x, y e z. Il metodo generale é sempre applicabile quando esiste un sistema di coordinate per cui il valore costante di una coordinata (o di due, o di tre) esprime la forma del contorno, ossia esiste un sistema di coordinate dove i contorni sui quali è definita la funzione potenziale o le sue derivate normali, coincidono con le superfici delle coordinate del sistema di coordinate curvilinee ortogonali. Infatti in questi casi, per i problemi tridimensionali, la soluzione può essere espressa come prodotto di tre funzioni unidimensionali*, dove ciascuna di esse dipende separatamente da una sola variabile delle coordinate *( due funzioni unidimensionali per i problemi bidimensionali). M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Boundary-Value Problems
Questa procedura é chiamata : Metodo della separazione delle variabili. I problemi elettromagnetici definiti da equazioni alle derivate parziali con condizioni definite al contorno sono chiamati: Boundary-Value Problems I boundary-value problems (problemi vincolati al contorno) per le funzioni del potenziale possono essere classificati in tre tipi : problemi di Dirichlet, nei quali il valore del potenziale é definito in qualunque punto del contorno; problemi di Neumann, nei quali la derivata normale del potenziale é definita in ogni punto del contorno; mixed boundary-value problems (problemi vincolati al contorno misti) nei quali il potenziale é definito su alcuni contorni e la derivata normale del potenziale é definito nei contorni rimanenti. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Condizioni al contorno differenti e specifiche, richiedono la scelta di diverse funzioni di potenziale, ma la procedura di risoluzione di questi tipi di problemi é la stessa. Le soluzioni delle equazioni di Laplace sono spesso chiamate funzioni armoniche. Il metodo della separazione delle variabili può essere applicato nei tre sistemi di coordinate: rettangolari o cartesiane , sferiche e cilindriche. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

L’equazione di Laplace per il potenziale elettrico scalare in coordinate cartesiane : Per applicare il metodo della separazione delle variabili, si assume che la soluzione V(x,y,z) possa essere espressa come un prodotto di funzioni: V(x,y,z)=X(x)Y(y) Z(z) , dove X(x), Y(y), Z(z) sono funzioni delle singole variabili x, y e z rispettivamente. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

V(x,y,z)=X(x)Y(y) Z(z) Sostituendo nella equazione di Laplace si ha:
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Che divisa per il prodotto X(x) Y(y) Z(z) diventa: si noti come esprimendo l’equazione di Laplace in questa forma: ciascuno dei tre termini addendi é una funzione di una sola variabile e che sono presenti solo derivate ordinarie. Affinché l’equazione precedente sia soddisfatta per tutti i valori di x, y e z , ciascuno dei tre termini deve essere costante, ossia la sua derivata deve essere nulla: M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Infatti differenziando rispetto a x, si ha: e integrando l’equazione si ha : dove é una costante di integrazione, che deve essere determinata in base alle condizioni al contorno del problema. Conviene riscrivere l’equazione come: M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

In modo simile: I tre valori delle costanti di separazione saranno in generale diversi, ma tali che: essendo: M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Il problema é così ridotto alla determinazione di appropriate soluzioni X(x), Y(y) e Z(z), attraverso la risoluzione delle relative equazioni differenziali del secondo ordine. Le possibili soluzioni dell’equazione differenziale in x, sono note dallo studio delle equazioni differenziali con coefficienti costanti e sono di seguito riportate e facilmente verificabili per sostituzione diretta. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Analogamente: i problemi con contorni cilindrici, possono essere risolti con equazioni rette da un sistema a coordinate cilindriche che richiedono la conoscenza delle funzioni di Bessel e i problemi con contorni sferici possono essere risolti con equazioni rette da un sistema a coordinate sferiche che richiedono la conoscenza delle funzioni di Legendre e i polinomi di Legendre. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Soluzione dell’equazione di Laplace con i metodi di trasformazione
Per risolvere i problemi bidimensionali si può applicare una tecnica molto efficace, che consiste nel trasformare un problema in un altro che sia già stato risolto. Le soluzioni sono basate sulle proprietà delle funzioni analitiche. Per comprendere il metodo si consideri di dover risolvere un problema specificato da equipotenziali e sorgenti nel piano complesso z e si voglia determinare il potenziale complesso P(z). M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

in un problema noto nel piano w, allora
Si supponga che: esista una funzione analitica w = w(z) che trasformi gli equipotenziali e le sorgenti del piano z  in un problema noto nel piano w, allora se il potenziale nel piano w é dato dalla funzione il potenziale incognito P(z) é dato da , perché una funzione analitica di una funzione analitica é ancora una funzione analitica. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Tali tecniche sono molto usate nei problemi di campi magnetici.
Questi metodi hanno riacquistato importanza perché sono state messe a punto tecniche numeriche, basate sull’uso del calcolatore per determinare le trasformazioni desiderate. Tali tecniche sono molto usate nei problemi di campi magnetici. La trasformazione conforme Nel risolvere problemi bidimensionali di campi, un metodo matematico assai potente e generale si basa sulla teoria di funzioni di variabile complessa. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Richiami sulla teoria di funzioni di variabile complessa
Sia z = x+jy una v. c. e w = u+jv una seconda v. c. esiste una funzone che lega w a z: w = f(z), per cui al variare di z lungo la curva C corrisponda il variare di w lungo la curva C’. x y u v piano z piano w z  w C C’ M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

La funzione w = f(z) si dice analitica se esiste ed é unica la derivata: In altre parole la derivata di w rispetto a z non deve dipendere dal modo con cui  z tende a zero, cioè é indipendente dalla direzione. Questa proprietà fondamentale é verificata (in modo necessario e sufficiente) dalle condizioni di Chauchy-Riemann, che stabiliscono l’uguaglianza delle derivate avvicinandosi in direzione parallela ad x e ad y. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Si può facilmente vedere che la condizione é necessaria. Infatti ponendo prima  z=  x e poi  z= j  y si ottengono appunto le condizioni di Chauchy-Riemann: per  z =  x si ha: per  z = j  y si ha: M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Uguagliando la parte reale ed immaginaria delle due relazioni precedenti si ottiene: che sono le condizioni di Chauchy-Riemann. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Esempio di verifica della analiticità di: poiché:  derivando si ha: che sono soddisfate ovunque nel piano z. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

In modo analogo é possibile verificare l’analiticità di w = zn con n intero e quindi di ogni funzione definita come sviluppo in serie di potenze nell’intorno dell’origine, come ez, sinz. Derivando le equazioni di Chauchy -Riemann si ottiene che u,v e w sodddisfano l’equazione di Laplace e si ottiene facilmente: quindi w,u,v possono essere usati come funzioni potenziali per problemi elettrostatici. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Si può facilmente dimostrare che l’angolo tra due curve del piano w si conserva trasformando le curve nel piano z, il termine conforme significa appunto con la stessa forma. Quindi due curve che si intersecano nel piano w vengono ruotate dalla trasformazione dello stesso angolo  e quindi mantengono lo stesso angolo di intersezione. Queste trasformazioni forniscono una relazione tra due campi laplaciani. La tecnica consiste nello stabilire una relazione che leghi un campo dato con un altro, per cui sia nota la soluzione. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Se u viene usata come potenziale, v diviene proporzionale alla funzione di flusso. Il tutto può essere descritto dal potenziale complesso w=+j: se u é il potenziale, per si può scrivere: e vale: in base alla condizione di Chachy-Riemann: M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

e quindi: cioè con la condizione di segno riportata in figura:
v+dv v d Dx Dy M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Alcune importanti trasformazioni
Si consideri il piano t=u+jv in cui sia rappresentato un campo uniforme parallelo agli assi: u = ui siano linee di flusso con asse u come linea a potenziale zero e v = vi siano linee equipotenziali. -4 -2 4 2 v u M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Il potenziale w= +j può essere scritto come: w= k(u+jv)=kt. Il campo uniforme é il campo laplaciano più semplice, ed é quello a cui di solito si collegano le varie soluzioni. Esempio: se si considera la trasformata: e il suo effetto sul campo uniforme in figura, l’asse reale positivo in t si trasforma nell’asse reale positivo nel piano z e l’asse reale negativo in t nell’asse immaginario nel piano z. y x v = 2 v = 4 u = 4 u = 2 u = 0 u = -2 u = -4 M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

La trasformazione trasforma il semipiano superiore del piano t nel primo quadrante del piano z. L’equazione delle linee nel piano si trovano facilmente facendo il quadrato: z2 = t  x2+2jxy-y2=u+jv essendo: z=x+jy e t=u+jv da cui : che rappresentano iperboli. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Il potenziale si trova ponendo: w=kt, essendo t=z2 , cioè kz2 = w= +j si ha: per la funzione flusso  = k(x2-y2) e per la funzione potenziale  = 2kxy. La trasformazione z = tp può essere usata per studiare il campo nelle vicinanze di spigoli e quindi é utile per completare soluzioni grafiche o numeriche, che negli spigoli sono poco accurate. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Analogamente si possono utilizzare:
la trasformazione logaritmica : w = k ln z con t = ln z e et = z o le trasformazioni multiple con le quali il piano w si trasforma nel piano z attraverso variabili intermedie e contorni intermedi. Questa si utilizza, quando non é possibile trovare un’equazione che trasformi un contorno semplice nel contorno richiesto. la trasformazione di curve parametriche che si utilizza quando una curva nel piano z é descritta dalle equazioni parametriche: x=f1(u) e y=f2(u) e la trasformazione: z = f1(u)+jf2(u) con t=u+jv. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Contorni poligonali, la trasformazione di Schwartz-Christoffel
Nei problemi pratici si deve risolvere il problema inverso della determinazione della funzione complessa da usare per la soluzione del campo date le superfici equipotenziali dei contorni conduttori specifici. La limitazione più grande di questo metodo delle trasformazioni conformi risiede nel fatto che, per contorni generici, non esiste un metodo unico e diretto che porti alla trasformazione desiderata quando sia dato il problema fisico in due dimensioni, mentre esiste un metodo unico quando i contorni sono delle linee rete che si intersecano formando angoli noti. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

In molti casi pratici campi presentano contorni trattabili come segmenti rettilinei: -  j -j M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

I metodi per derivare le equazioni che trasformano un contorno poligonale in una retta infinita, consistono nella determinazione di una equazione differenziale, che integrata dà la trasformazione richiesta. L’equazione conforme si scrive in modo semplice esaminando il poligono, mentre la sua integrazione può essere assai difficile e spesso analiticamente impossibile. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

In generale la mappatura conforme è la mappatura da un piano complesso ad una corrispondente regione in un altro piano complesso, attraverso una funzione analitica. Tale mappatura preserva gli angoli tra archi intersecantesi ( eccetto dove la derivata della funzione analitica non esiste) e per questo è chiamata conforme. In particolare la funzione analitica della trasformazione di Schwartz-Christoffel, mappa il semipiano superiore di un piano complesso (piano z), nell’interno di un poligono di un altro piano complesso (piano w). La determinazione dei parametri per la definizione di tale funzione è estremamente onerosa. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Nelle applicazioni della ingegneria: l’immagine nel piano z generalmente rappresenta il modello fisico mentre l’immagine nel piano w rappresenta il modello matematico da determinare.  ’3 piano w 1 1’ ’2 2 3 ’4 4 y x w2 w1 w3 w4 piano z z1 z2 z3 z4 u v zn …. f poligono  M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Il concetto base della trasformazione di Schwartz-Christoffel è che una trasformazione conforme f può avere una derivata esprimibile come: per determinate funzioni canoniche fk. Dal punto di vista geometrico la relazione precedente equivale a: Nella trasformazione classica, ciascun arg fk è tracciato come una funzione scalata, in modo che la funzione risultante arg f’ sia costante a tratti con specifiche discontinuità, così che f mappi l’asse reale su un poligono. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Se si considera la regione P nel piano complesso w avente come contorno il poligono contorno  con vertici w1, w2, …, wn,, dati in senso antiorario e angoli interni 1, 2, …,n, supponendo che i punti di massimo e minimo siano tali che k(0,2) per ciascun k, in base al principio di riflessione di Schwarz (inventato per questo scopo),  f può essere analiticamente continua lungo il segmento ( zk, zk+1), in particolare f esiste su questo segmento e arg f’ deve essere costante lungo esso. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Inoltre arg f’ presenterà delle discontinuità definite in z=zk cioè: con angolo di rotazione al vertice k. Si definisce quindi una funzione fk che è analitica in H+, soddisfa la relazione precedente e inoltre ha arg fk costante su R: fk=(z-zk)-k Ogni ramo coerente con H+ andrà bene, per essere definito si sceglierà il ramo con fk(z)>0 se z>zk su R. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

L’azione di fk sull’asse reale è schematicamente riportata in figura: In entrambi i casi, l’argomento della immagine trasla di k in corrispondenza di zk. k< k <0 -k k zk k > 0 M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Le considerazioni precedenti suggeriscono l’espressione: per una certa costante C. Si può quindi enunciare il teorema fondamentale della mappatura di Schwarz-Christoffel: Sia P la regione interna di un poligono  avente vertici w1,w2,…., wn e angoli interni 1, 2, …,n in senso antiorario. Sia f una mappa conforme dal semipiano superiore H+ a P con f ()= wn, allora con A e C costanti complesse e wk=f(zk) per k=1, 2,…n-1. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

La formula di Schwarz Christoffel è: Il limite di integrazione inferiore non è specificato, poiché esso incide solo sul valore di A. La formula viene anche applicata ai poligono che hanno tagli ( = 2) o vertici all’infinito (-2  0). M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Questa formula descrive la lunghezza e l’inclinazione di un elemento d f(z) rispetto all’elemento dz. Poiché dz varia sull’asse reale con z tra - e + , essa fornisce direttamente l’inclinazione dei d f(z) che tracciano il poligono. Si ha inoltre: Per valori reali di z l’espressione a destra può essere valutata facilmente per z < zn-1; l’arg di df(z)/dz rimane costante perché tutti i termini tra parentesi sono reali e positivi, perciò sul piano z si ha una retta. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Quando il punto z attraversa il punto zk:  -zk cambia segno, arg(-zk ) varia di - e l’arg(f(z)) varia di (k-1). Per valori di t tra zk e zk+1 la direzione rimane costante, finché z supera zk+1 dove la variazione di segno di  -zk+1 provoca una variazione dell’argomento di d(f(z)/dz pari a (k+1-1) e così via. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Si noti che: tutti gli angoli di un poligono sono definiti da quelli al vertice in punti al finito nel piano z; se il punto z =  corrisponde con un vertice, l’angolo di questo vertice è fissato dagli altri perché la somma degli angoli interni vale (N-2) dove N è il numero dei vertici. Quindi il numero dei fattori nell’equazione è: N-1 quando il punto z =  corrisponde ad un vertice ed N quando il punto z =  corrisponde a un punto finito del contorno. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

La scelta dei punti corrispondenti è fondamentale per ottenere facilmente una soluzione. In generale: Per poligoni infiniti conviene far coincidere i limiti dell’asse reale con i limiti di una coppia di lati adiacenti che vanno all’infinito del poligono. Per poligoni finiti e simmetrici il punto z =  viene scelto dove l’asse di simmetria taglia il contorno. Se la linea passa per un vertice ed il centro di un lato, si sceglie il vertice. C determina la lunghezza di d(f(z)) in funzione della lunghezza di dz e bisogna quindi scegliere il valore delle costanti zk che fanno cadere i vertici nei punti desiderati del piano w. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

In realtà nella formula di S. C. possono essere presenti esponenti reali arbitrari sebbene la regione risultante possa sovrapporsi,ma non essere delimitata da un poligono nel senso usuale del termine. La formula di Schwarz-Christoffel può essere adattata per mappare da diverse regioni (come il cerchio di raggio unitario), per mappe esterne , per mappare con i punti dei rami, per regioni doppiamente connesse, per regioni delimitate da archi circolari e anche per contorni analitici discontinui a tratti. La difficoltà maggiore si ha quando non sono noti i prevertici zk, e non si può utilizzare la formula di S.C. su riportata per determinare i punti della mappa. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

In questo caso per utilizzare la formula , l’immagine della linea reale estesa sarà necessariamente un poligono i cui angoli interni coincidono con quelli di P, qualunque siano i valori di zk usati; ciò è dovuto ai parametri k. I prevertici quindi definiscono le lunghezze dei lati del poligono e se non sono definiti correttamente, causano una distorsione nella mappatura del poligono. Il problema parametrico di S. C. consiste nella determinazione dei valori corretti dei prevertici dal poligono dato, e la loro determinazione consiste nella prima fase dell’uso della formula di S. C. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

Nella maggior parte dei problemi pratici, non esiste alcuna soluzione analitica per i prevertici, a causa della non linearità delle lunghezze dei lati del poligono . Generalmente sono necessarie valutazioni numeriche per calcolare l’integrale della formula di S. C. e per invertire la mappa. La potenzialità del metodo è stata testata grazie all’avvento dei computer nell’ultimo quarto del ventesimo secolo. M.Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3e

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