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M.Usai Elettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b 1 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3B (ultima.

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1 M.Usai Elettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b 1 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3B (ultima modifica 01/10/2012) Distribuzioni di carica equivalente nei dielettrici polarizzati Per analizzare leffetto macroscopico dei dipoli indotti, si definisce un vettore di polarizzazione o momento elettrico specifico : n é il numero delle molecole per unità di volume il numeratore è la somma dei momenti dei bipoli indotti con, contenuti in un volume elementare v. + - punto R θ

2 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b2 Vettore di polarizzazione o Momento elettrico specifico: Punto + - R θ baricentro del volumetto elementare Δv generico bipolo contenuto nel volume Δv

3 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b3 Il momento del dipolo di un volume elementare dv, è: Con un procedimento analogo alla definizione del potenziale dovuto a una distribuzione di carica elementare volumica, il potenziale elettrostatico per un volume elementare dv è : Il potenziale dovuto al dielettrico polarizzato in un volume finito V si otterrà attraverso lintegrazione della precedente espressione: dove R è la distanza dellelemento di volume dv dal punto del campo stabilito. In coordinate cartesiane R 2 = (x-x) 2 + (y-y) 2 + (z-z) 2

4 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b4 Lintensità del campo elettrico dovuto a una data distribuzione di cariche in un dielettrico è diversa da quella dello spazio vuoto. Il postulato dellelettrostatica valido nello spazio libero è: mentre, in un dielettrico dovendo tenere conto della distribuzione di cariche in esso presenti, il postulato dellelettrostatica valido in presenza di un dielettrico qualsiasi, diventa : ; densità volumica delle cariche libere p ; densità volumica di polarizzazione.

5 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b5 Sorge lesigenza di introdurre una delle quattro grandezze fondamentali per lo studio dei Campi Elettrostatici: la densità di flusso elettrico o spostamento elettrico: Nel caso più generale applicando il principio di sovrapposizione degli effetti lo spostamento elettrico è espresso dalla somma di due termini dove: il primo: rappresenta lo spostamento proprio nel vuoto e il secondo: lo spostamento dovuto alla polarizzazione della materia.

6 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b6 Luso del vettore consente di legare, attraverso loperatore divergenza, il campo elettrico e la distribuzione delle cariche libere in qualsiasi mezzo, senza la necessità di tener conto esplicitamente della polarizzazione del vettore o della densità di polarizzazione di carica p : Questa relazione insieme al postulato: rappresentano le due equazioni differenziali fondamentali per la risoluzione dei campi elettrostatici in un mezzo qualsiasi.

7 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b7 La forma integrale partendo dalla relazione: si ottiene facendo lintegrale volumico di entrambi i membri: da cui, applicando il teorema della divergenza: Questa è unaltra espressione generale della legge di Gauss: il flusso totale del vettore uscente da una qualunque superficie chiusa, è uguale alla carica totale racchiusa dalla superficie. Mentre la legge di Gauss nel vuoto:

8 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b8 La legge di Gauss è utile per determinare il campo elettrico in condizioni di simmetria. Se il dielettrico è isotropo e per esso valgono relazioni lineari, la polarizzazione è direttamente proporzionale allintensità del campo dielettrico e la costante di proporzionalità χ e è indipendente dalla direzione del campo: *************************************************** Un mezzo dielettrico è lineare se è indipendente dal campo E e omogeneo se è indipendente dalle coordinate spaziali.

9 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b9 Se il dielettrico è isotropo, sostituendo lespressione di in funzione della suscettibilità, nella relazione: si ottiene: con: definita permettività assoluta o permettività e quantità adimensionale chiamata permettività relativa o costante dielettrica del mezzo.

10 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b10 Legge di Gauss per i dielettrici isotropi. Se il dielettrico è isotropo con essendo: S i è così ottenuta lespressione generale della legge di Gauss valida per i dielettrici isotropi.

11 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b11 Se o é indipendente dalle coordinate spaziali, si dice che il mezzo è omogeneo. Un mezzo si dice mezzo semplice quando è omogeneo, lineare e isotropo e per esso la permettività relativa è costante. Per i materiali anisotropi la costante dielettrica varia con la direzione del campo e i vettori hanno generalmente direzioni diverse e la permettività è un fasore (tensor). In forma matriciale:

12 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b12 Per i cristalli le coordinate di riferimento si possono scegliere secondo le direzioni degli assi del cristallo così che i termini della della matrice della permettività diversi da quelli della diagonale risultino nulli: I mezzi aventi tali proprietà ( ij =0 per i j) sono detti biassiali (biaxial). Se 1 = 2, il mezzo è detto uniassiale (uniaxial). Se 1 = 2 = 3, il mezzo è detto isotropo. accettare

13 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b13 Rigidità dielettrica ( Dielectric strength) Quando il campo elettrico è molto forte, esso attrae fuori dalle molecole gli elettroni e questi, accelerati dal campo elettrico, collidono violentemente con la struttura molecolare, causando dislocazioni permanenti e danni alla materia. Si verifica un effetto valanga di ionizzazione dovuto alle collisioni e il materiale dielettrico diventa conduttore e si possono avere elevate correnti. Questo fenomeno si chiama rottura del dielettrico. La rigidità dielettrica del materiale è lintensità del campo elettrico che un materiale dielettrico può sostenere, senza che si verifichi la rottura del dielettrico. Per laria, alla pressione atmosferica, la rigidità dielettrica è

14 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b14 Materiale Costante dielettrica Rigidità dielettrica V/m Aria (pres. atmosferica)1.0 3×10 6 Olio minerale 2.315×10 6 Carta2÷415×10 6 Polistirolo ×10 6 Gomma 2.3 ÷425×10 6 Vetro 4 ÷ 1030 ×10 6 Mica ×10 6

15 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b15 Condizioni al contorno per i campi elettrostatici Spesso nello spazio in cui agiscono le forze elettrostatiche il dielettrico non è omogeneo, ma sono presenti mezzi con differenti proprietà fisiche. In questi casi è necessario conoscere le relazioni tra le grandezze del campo nella interfaccia (superficie di separazione ) tra i due mezzi. Per determinare come e variano in prossimità della interfaccia, si procede in maniera analoga a come già fatto per una interfaccia tra un conduttore e lo spazio libero.

16 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b16 Si consideri una interfaccia tra due mezzi generici: Per determinate la relazione tra le componenti tangenziali del campo sul contorno si calcola lintegrale lineare scalare o circuitazione del vettore lungo il percorso elementare abcda e trascurando i contributi nei tratti bc = da = h, si ha: a b c d w h mezzo 2 s mezzo 1 h S 1 2

17 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b17 Dalla precedente relazione si ha che: che dice che la componente tangenziale del campo è continua attraverso linterfaccia. Se i due mezzi hanno rispettivamente permettività 1 e 2 si ha:

18 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b18 Per determinate la relazione tra le componenti normali del campo sul contorno si applica la legge di Gauss a un cilindretto elementare con una base nel mezzo 1 e una nel mezzo 2, come riportato in figura. Laltezza del cilindretto sia trascurabile per cui, applicando la legge di Gauss, si ha: dove versori uscenti e rispettivamente normali alle superfici dei mezzi 1 e 2. Dalla precedente relazione si ottiene che:

19 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b19 La relazione: dice che la componente normale di è discontinua attraverso linterfaccia, dove è presente una carica superficiale e lentità della discontinuità è uguale alla densità superficiale di carica. Se il mezzo 2 è un conduttore e lequazione precedente diventa: che diventa: quando il mezzo 1 è lo spazio libero. La relazione ottenuta ha dunque validità generale.

20 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b20 Infine se i due dielettrici sono in contatto senza che ci siano cariche libere nella interfaccia, S =0; In questo caso il campo devia allontanandosi dalla normale alla superficie, nel mezzo con permettività più elevata. Riassumendo in generale le condizioni al contorno che devono essere soddisfate per i campi elettrostatici sono: componenti tangenziali: componenti normali:

21 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b21 Capacità e condensatori Un conduttore in un campo elettrostatico è un corpo equipotenziale e le cariche che giacciono sul conduttore, si distribuiscono sulla sua superficie in modo tale che il campo elettrico allinterno di esso si annulli. Se si aumenta il potenziale V di un fattore k, aumenta anche il campo dello stesso fattore essendo: ma poiché: si ha che la densità di carica e la carica aumentano della stessa quantità, per cui rimane invariato il rapporto Q/U e si può scrivere:

22 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b22 C = Q/U, è chiamata capacità del corpo conduttore isolato: essa è la carica elettrica che deve essere aggiunta al corpo per ottenere un incremento unitario del potenziale elettrico. C si misura in [C/V] o [F] (farad). Il condensatore consiste in due conduttori separati dal vuoto o da un mezzo dielettrico, dove i conduttori possono avere una forma arbitraria. Le linee di campo elettrico che: hanno origine in corrispondenza delle cariche positive e terminano sulle cariche negative hanno un andamento del tipo indicato nella figura riportata di seguito e comunque sono perpendicolari alle superfici dei conduttori, che sono superfici equipotenziali.

23 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b23 Quando un generatore di tensione U 12 viene collegato tra i due conduttori, si ha un trasferimento di carica, con un addensamento di carica +Q in un conduttore e –Q sullaltro come riportato in figura. La capacità del condensatore sarà espressa in funzione della differenza di potenziale tra i due conduttori: La capacità di un condensatore è una proprietà fisica di un sistema di due conduttori. + V 12 +Q -Q

24 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b24 La capacità di un condensatore dipende dalla geometria dei conduttori e dalla permettività del mezzo interposto tra loro: essa non dipende ne dalla carica Q, ne dalla differenza di potenziale U 12. Un condensatore ha un valore di capacità anche quando non gli viene applicata alcuna carica o differenza di potenziale. Dalla relazione: la capacità C si può determinare in due modi; assumendo una U 12 e determinando Q in funzione di U 12, oppure assumendo una Q e determinando U 12 in funzione di Q.

25 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b25 Procedura generale per la determinazione della capacità C 1.Stabilire il sistema di coordinate appropriato in base alla geometria del condensatore (coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche); 2.Assumere la distribuzione di cariche +Q e –Q sui conduttori; 3.Determinare in funzione della carica Q per mezzo della equazione che esprime la legge di Gauss o anche altre relazioni: 4.Determinare la U 12 calcolando lintegrale (*) : 5. Determinare infine C calcolando il rapporto: (*) integrando dal conduttore che è carico a –Q sino a quello carico a +Q

26 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b26 Condensatore ad armature piane ( Sistema di coordinate cartesiane) Esso è costituito da due armature piane di area A separate da uno spessore d di dielettrico uniforme di permettività. Sulle due armature siano uniformemente distribuite le cariche +Q e - Q rispettivamente, con densità di carica: y d x permettività del dielettrico o

27 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b27 Per questa configurazione geometrica, il sistema di riferimento più appropriato è quello cartesiano. Si assume che le cariche siano uniformemente distribuite sulle superfici conduttrici con densità superficiale: poiché sul contorno del conduttore: con versore normale alla superficie del conduttore.

28 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b28 Trascurando leffetto ai bordi, si può ritenere costante allinterno del dielettrico: da cui: La capacità risulta: legata ad e alle dimensioni A e d del condensatore e indipendente da Q e U 12.

29 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b29 Condensatore cilindrico ( Sistema di coordinate cilindriche) Esso è costituito da un conduttore di raggio interno r 1 e uno coassiale esterno di raggio interno r 2 : Il campo, essendo normale alle superfici conduttrici, risulta radiale. Per la natura del campo è opportuno scegliere un sistema di coordinate cilindriche con un asse coincidente con lasse del cilindro. r1r1 r r2r2 l

30 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b30 Trascurando gli effetti dei bordi e applicando la legge di Gauss: si ottiene: Dalla quale integrando in dr: Quindi per un condensatore cilindrico:

31 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b31 Condensatore sferico ( Sistema di coordinate sferiche) Esso è costituito da una sfera conduttrice di raggio r 1 e un conduttore esterno concentrico con raggio della parete sferica interna pari a r 2. La regione di spazio compresa tra i due conduttori è riempita con un dielettrico di permettività. Il sistema di riferimento più appropriato è quello sferico. Si assume la carica +Q e –Q sui conduttori interno ed esterno rispettivamente e si sceglie il sistema di riferimento a coordinate sferiche. r1r1 r r2r2

32 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b32 Applicando la legge di Gauss alla superficie gaussiana di raggio generico r (con r 1 < r < r 2 ) si ha: Quindi per un condensatore sferico si ha: e per una sfera conduttrice di raggio r 1, che si può assimilare concentrica ad una sfera conduttrice di raggio r 2 : C=4 r 1

33 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b 33 Nei circuiti i condensatori vengono spesso collegati in vari modi per ottenere opportuni valori di capacità equivalente. Le due connessioni base sono le c. in serie e le c. in parallelo. Collegamento in serie I condensatori vengono collegati in cascata ( head-to-tail). I terminali esterni sono solo quelli del primo condensatore e dellultimo e le cariche +Q e –Q si stabilizzano su ciascun conduttore indipendentemente dal valore delle loro capacità. Le differenze di potenziale tra i singoli condensatori sono: +Q -Q +- U C1C1 C2C2 CnCn

34 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b34 La tensione elettrostatica applicata sarà uguale alla somma delle tensioni che si stabiliscono ai capi di ciascun condensatore: Con C S capacità equivalente serie: + - U +Q -Q CSCS

35 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b35 Collegamento in parallelo Ai capi di ciascun elemento è applicata la stessa differenza di potenziale: Q1Q1 +- Q2Q2 QnQn U + - U + +- Q CpCp

36 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b36 La carica totale è la somma di tutte le cariche: Q=Q 1 +Q 2 +………………+Q n =C p U poiché Q i =C i U C p =C 1 +C 2 +………………..+C n = Dove C p è la capacità del condensatore equivalente parallelo.

37 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b37 Condensatore ad armature piane con dielettrico costituito da due strati di materiale isolante. La superficie di separazione dei dielettrici è una superficie equipotenziale e può considerarsi metallizzata, per cui il condensatore in esame equivale a due condensatori in serie aventi rispettivamente capacità: + - U 1 2 d1d1 d2d2 U1U1 U2U2

38 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b38 e la capacità equivalente: Il campo elettrico varia passando da un mezzo a permettività 1 a un mezzo a permettività 2 e il suo andamento è così determinabile: U=U 1 +U 2 con:

39 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b39 da cui:

40 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b40 Quindi le espressioni delle differenze di potenziale e del campo saranno: Con queste relazioni è possibile legare il valore del campo per il quale il materiale isolante perde le proprietà dielettriche (rigidità dielettrica) alla tensione applicata alle due armature tra le quali sono interposti i dielettrici. Relazioni analoghe si determinano per condensatori di forma diverse (cilindrici, sferici etc.)

41 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b41 Capacità nei sistemi multiconduttori Si considerino più conduttori in un sistema isolato come in figura. Le posizioni dei conduttori sono arbitrarie e uno dei conduttori può rappresentare la terra (V=0). Se su ciascun conduttore è presente una carica Q i, questa inciderà sul potenziale di ciascun corpo N

42 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b42 Poiché la relazione tra la carica e il potenziale è lineare, è possibile scrivere il seguente sistema di equazioni che legano i potenziali V i degli N conduttori alle cariche Q i : dove p ij sono chiamati coefficienti di potenziale, che dipendono dalla forma e posizione dei conduttori, così come la permettività dipende dal mezzo che li circonda.

43 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b43 Le equazioni precedenti possono essere invertite per esprimere le cariche in funzione dei potenziali come: dove i coefficienti c ij sono costanti e i loro valori dipendono solo dai valori di p ij.

44 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b44 I coefficienti c ii con indici uguali, sono chiamati coefficienti di capacità. Essi sono uguali al rapporto tra le cariche Q i e il potenziale V i delliesimo conduttore, quando tutti gli altri conduttori sono collegati a terra (assumono il potenziale di terra V=0). I coefficienti con indici diversi c ij sono chiamati coefficienti di induzione. Se esiste una carica positiva Q i sulliesimo conduttore, V i sarà positivo, ma la carica indotta Q j sulljesimo conduttore sarà negativa. Quindi: i coefficienti di capacità c ii sono > 0 ( positivi) e i coefficienti di induzione c ij sono < 0 (negativi).

45 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b45 Schermo elettrostatico Luso di uno schermo elettrostatico rappresenta una tecnica per ridurre la capacità di accoppiamento tra corpi conduttori. Si consideri un corpo conduttore 1 allinterno di uno schermo conduttore 2 collegato a terra (assume il potenziale di terra) e un terzo corpo conduttore 3. Il campo elettrico allinterno del conduttore 2 è nullo, ossia linvolucro metallico 2 può essere adoperato per sottrarre la parte di spazio da esso delimitata, allinfluenza di campi elettrici esterni

46 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b46 Schermo elettrostatico Le proprietà dello schermo elettrostatico possono essere dedotte anche dalla definizione generale di capacità nei sistemi con n conduttori. Infatti per il caso illustrato ponendo V 2 = 0 ( potenziale di riferimento di terra) si ha: Q 1 = C 10 V 1 + C 12 (V 1 -V 2 )+ C 13 (V 1 -V 3 ) Q 1 = C 10 V 1 + C 12 V 1 + C 13 (V 1 -V 3 ) Quando Q 1 = 0, non cè campo elettrico allinterno dello schermo 2; quindi il corpo 1 e lo schermo 2 hanno lo stesso potenziale, V 1 =V 2 = 0.

47 M.UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3b47 Dalla espressione di Q 1 si vede che la capacità di accoppiamento C 13 deve essere nulla in quanto V 3 é arbitrario. Ciò significa che una variazione di V 3 non influisce su la Q 1 e viceversa. Quindi si è in presenza di uno schermo elettrostatico tra i corpi conduttori 1 e 3. Ovviamente la stessa schermatura si ottiene se lo schermo conduttore a terra 2 racchiude il corpo 3 al posto del corpo 1.


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