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MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni facebook.

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni facebook

2 Interesse (e sconto) composto Interesse semplice è poco usato Rendere fruttiferi gli interessi da quando si formano Il fattore di capitalizzazione r(1) = 1+i ( per un periodo) Se linvestimento prosegue alle stesse condizioni t=2 : r(2)=r(1)(1+i)=(1+i) 2 t=3 : r(3)=(1+i) 3 … per t = n periodi r(n)=(1+i) n

3 Interesse (e sconto) composto Per ottenere tassi dinteresse equivalenti (che producono lo stesso interesse se applicati allo stesso capitale per lo stesso tempo) partiamo dalla relazione Dove i 1/m è il tasso dinteresse relativo ad un m- esimo di periodo ed i è relativo ad un periodo

4 Interesse (e sconto) composto E quindi: se per esempio i è il tasso annuale ed m indica una frazione di anno. Più in generale r(t)=(1+i) t dove i e t sono espressi nella stessa unità di misura

5 Interesse (e sconto) composto Leggi di formazione dellInteresse e del Montante: In questo regime le operazioni intermedie sono prive di conseguenze (la capitalizzazione degli interessi è già inclusa nel regime), vediamo come si dimostra:

6 Interesse (e sconto) composto Andamento funzionale del Montante e dellInteresse: M=M(t)=C(1+i) t I=I(t)=C((1+i) t -1) C t 0

7 Interesse (e sconto) composto Leggi di formazione dello sconto e del valore attuale e quindi

8 Interesse (e sconto) composto Tasso nominale dinteresse – Supponiamo C investito al tasso periodale i, ma linteresse viene corrisposto ogni m-esimo di periodo => dopo 1/m di periodo – Supponiamo ancora che linteresse non viene capitalizzato (es. obbligazioni) ma viene staccato e messo a disposizione dellinvestitore – Allinizio del secondo m-esimo il capitale è ancora C => alla fine del secondo m-esimo

9 Interesse (e sconto) composto Tasso nominale dinteresse – Alla fine del periodo linvestitore ha riscosso come interesse m rate di ammontare M C C+Ci 1/m 1/m2/m 3/m4/m t

10 Interesse (e sconto) composto Tasso nominale dinteresse – La somma di queste rate (divise per C) non ha un significato finanziario diretto => sono capitali disponibili in epoche diverse => vi si può dare però un valore indicativo e prende il nome di tasso nominale convertibile m volte equivalente al tasso effettivo i, lo si indica normalmente con j(m)

11 Interesse (e sconto) composto Tasso nominale dinteresse – Dimostriamo che se si ipotizza che gli interessi vengono reinvestiti al tasso i equivalente al tasso nominale j(m) il montante prodotto è lo stesso: – Prendiamo t=1 (periodo), 1 euro investito al tasso j(m) genere, dopo 1/m di periodo, i 1/m euro e al tempo 1 il montante di questa somma sarà i 1/m (1+i) 1-1/m

12 Interesse (e sconto) composto Vediamolo graficamente t=0 t=1 0 t=1/mt=2/m i 1/m I r(1-1/m)=(1+i) 1-1/m i 1/m r(1-2/m)=(1+i) 1-2/m

13 Interesse (e sconto) composto Tasso nominale dinteresse – Quindi il montante complessivamente generato al tempo 1 risulta: – E quindi il montante prodotto è lo stesso – N.B. cè una differenza sostanziale tra tassi effettivi e tassi nominali => per il tasso nominale si suppone la possibilità di reinvestire gli interessi al tasso effettivo i

14 Interesse (e sconto) composto Tasso istantaneo – Consideriamo un tasso nominale convertibile infinite volte: – Per calcolare il limite ho usato il teorema di de lHopital

15 Interesse (e sconto) composto Definiamo tasso istantaneo dinteresse la quantità Come per il caso di m finito facciamo vedere che questo tasso è equivalente al tasso periodale i, infatti linteresse prodotto dopo dt capitalizzato fino a 1 è:

16 Interesse (e sconto) composto Quindi se sommo tutti i contributi di interesse fino al tempo t (equivale a calcolare lintegrale) =>

17 Interesse (e sconto) composto Anche attraverso i tassi istantanei possiamo definire montante e capitale attuale => Vediamo come è influenzato il tasso istantaneo dallunità di misura: poiché se cambio lunità di misura del tempo t kt il Montante prodotto deve rimanere lo stesso => δ δ/k N.B. tasso istantaneo di interesse e tasso istantaneo di sconto coincidono

18 Confronto tra i tre principali regimi finanziari Confrontiamo i tre diversi fattori di capitalizzazione per i tre regimi studiati. Indichiamoli con r s (t), r i (t), r c (t) Consideriamo tutti relativi allo stesso interesse periodale i

19 Confronto tra i tre principali regimi finanziari Si può dimostrare che: Interesse semplice r s (t)=1+it Interesse composto r c (t)=(1+i) t Interesse iperbolico t r 1 1+i


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