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7. Teoria delle Code Una coda è costituita da 3 componenti fondamentali: i serventi i clienti uno spazio in cui i clienti attendono di essere serviti.

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1 7. Teoria delle Code Una coda è costituita da 3 componenti fondamentali: i serventi i clienti uno spazio in cui i clienti attendono di essere serviti (coda di attesa). coda di attesa clienti in arrivo clienti in uscita serv. 1 serv. 2 serv. m

2 Esempi: sistemi di comunicazione, di trasporto, sistemi informatici, ecc.
Funzionamento Un cliente (o utente) entra nella risorsa. Se vi sono serventi liberi, entra in un sistema di servizio, altrimenti si mette in coda. Non appena un servente si libera, se vi sono clienti in coda, uno di essi viene scelto ed entra nel sistema di servizio.

3 Le caratteristiche peculiari di un sistema a coda sono le seguenti:
Modalità degli arrivi. L’intervallo di tempo tra due arrivi consecutivi è detto tempo di inter-arrivo. Questo può essere deterministico stocastico con distribuzione esponenziale o meno

4 Modalità di servizio. Il tempo per servire un utente viene detto tempo di servizio. Questo può essere deterministico stocastico con distribuzione esponenziale o meno

5 N.B. Un sistema a coda è detto markoviano quando il tempo di inter-arrivo e il tempo di servizio hanno una distribuzione esponenziale. Equivalentemente, possiamo dire che il sistema è markoviano se e solo se il processo degli arrivi e il processo dei servizi sono Poissoniani. In generale questo non è vero.

6 Numero di serventi (m). Può essere: - m = 1 : servente singolo, - m > 1 : servente multiplo, - m =  : infiniti serventi. Si noti che in ogni caso, ogni servente può servire un solo utente alla volta.

7 Capacità della coda. Indica il numero massimo di utenti che possono stare nella coda d’attesa. Può essere: - K  N+ : capacità finita, - K =  : capacità infinita. Si noti che nel caso in cui la coda abbia una capacità finita, se un utente arriva quando la coda è piena, tale utente viene respinto.

8 Dimensione della popolazione.
Indica il numero di potenziali clienti. Si assume quasi sempre che tale numero sia pari ad . Disciplina di coda (o politica di servizio). Indica la politica con cui gli utenti in coda vengono ammessi al sistema di servizio. Ad es., FIFO (first in-first out) LIFO (last in - first out) SIRO (service in random order) GD (general discipline, tutti gli altri casi).

9 Notazione di Kendall: descrive una coda in una risorsa come una stringa di 6 campi:
A / B / m / K / N /  dove: A indica la modalità degli arrivi: A  {D,M,G} (D: arrivi deterministici, M: tempi di inter- arrivo con distribuzione esponenziale --> processo markoviano, G : tempi di inter- arrivo con distribuzione qualunque). B indica la modalità di servizio : B  {D,M,G} m indica il numero dei serventi: m  N+  {+}

10 K indica la capacità della coda d’attesa : K  N+  {+}
N indica la dimensione della popolazione : N  N+  {+}  indica la disciplina della coda :   { FIFO, LIFO, SIRO, GD}. N.B. Solitamente gli ultimi 3 campi si omettono nel caso in cui sia K = N =  e  = FIFO.

11 Grandezze caratteristiche:
x(t)  N : numero di utenti nella risorsa all’istante di tempo t. i(t)  [0,1] : probabilità che il numero di utenti nella risorsa sia i all’istante t. x(t)  R0+ : numero atteso di utenti nella risorsa all’istante t: (z,t) : funzione generatrice di probabilità associata a i(t):

12 xc(t)  N : numero di utenti in coda all’istante t.
i(t)  [0,1] : probabilità di avere i utenti in coda all’istante t. xc(t)  R0+ : numero atteso di utenti in coda all’istante t: (z,t) : funzione generatrice di probabilità associata a i(t):

13 (t)  R0+ : tasso di arrivo, ossia numero medio
(t)  R0+ : tasso di arrivo, ossia numero medio di arrivi nell’unità di tempo all’istante t. Chiaramente 1/(t) rappresenta il tempo medio di inter-arrivo all’istante t. (t)  R0+ : tasso di servizio, ossia numero medio di servizi nell’unità di tempo all’istante t. Chiaramente 1/(t) rappresenta il tempo medio di servizio all’istante t. (t) = (t)/m(t) : intensità di traffico all’istante t. c(t) : tempo medio speso in coda all’istante t. (t) : tempo medio speso nella risorsa all’istante t.

14 Legge di Little Se un sistema a coda è ergodico , in condizioni di regime valgono le seguenti relazioni: x =  ·  xc =  · c

15 Nel seguito esamineremo il comportamento dei seguenti sistemi a regime:
M/M/ (risorsa classica) M/M/ con scoraggiamento degli arrivi M/M/1/K (coda con capacità limitata) M/M/m (coda con un numero finito m di serventi) M/M/ (coda con un numero di serventi infinito) In tutti i casi ipotizzeremo che i processi siano ergodici.

16 M/M/1 tasso di uscita Può essere descritto come un processo nascita-morte in cui:  (tasso di nascita) non dipende dallo stato;  (tasso di morte) non dipende dallo stato processo omogeneo e uniforme

17 1 2 3 Lo stato è pari ad x(t), ossia al numero di utenti nella risorsa al tempo t. Poiché il processo è illimitato e per ipotesi anche ergodico, deve aversi che Per definizione infine, i tempi di inter-arrivo e di servizio sono distribuiti esponenzialmente.

18 Usando la teoria vista in precedenza, possiamo calcolare i seguenti parametri significativi.
Probabilità che vi siano i utenti nella risorsa a regime Fattore di utilizzo della risorsa a regime

19 Tasso di uscita a regime (ossia produttività del servente a regime)
Numero medio di utenti nella risorsa a regime

20 Tempo medio di attraversamento della risorsa a regime (ossia tempo mediamente speso nella risorsa a regime) Tempo medio di servizio a regime

21 Numero medio di utenti in coda a regime
Essendo la coda a servente singolo:  = c + 1 / , per cui per la Legge di Little ( = x/, c = xc/) , x = xc +  /  Numero medio di serventi occupati a regime

22 Fattore di utilizzo del servente a regime
Tempo medio speso in coda a regime È facile quindi osservare che per   1, x,  e c  .

23 M/M/1 con scoraggiamento degli arrivi
ing abb I tassi di arrivo e di servizio hanno distribuzione esponenziale con parametri caratteristici  e  rispettivamente. Ipotesi: più la coda è lunga, più un utente si scoraggia. ing decresce al crescere del numero di utenti nella risorsa.

24 Per descrivere questa coda come un processo nascita-morte facciamo le seguenti ipotesi:
. Il tasso delle nascite i a partire dallo stato i è: ossia decresce secondo una legge iperbolica all’aumentare del numero di clienti nella risorsa. 2. Il tasso delle morti  è pari al tasso di servizio qualunque sia il numero di utenti nella risorsa.

25 1 2 3 /2 /3 Il verificarsi della condizione è sufficiente per l’ergodicità del processo. Infatti se tale diseguaglianza è verificata, a maggior ragione è vero che

26 Probabilità che a regime vi siano i utenti nella risorsa

27 Fattore di utilizzo della risorsa a regime
Tasso di uscita a regime (ossia produttività del servente a regime)

28 Tasso di ingresso nella risorsa a regime (ossia tasso di utenti ammessi nel sistema a regime)
abb Tasso di abbandono a regime

29 Numero medio di utenti nella risorsa a regime.
Usiamo la funzione generatrice di probabilità a regime: All’aumentare dell’intensità del traffico, la condizione di regime si raggiunge con un numero di utenti nella risorsa crescente.

30 Numero medio di utenti in coda a regime
Essendo la coda a servente singolo:  = c + 1 / , per cui per la Legge di Little ( = x/ing, c = xc/ ing) , x = xc + ing / 

31 Tempo di attraversamento della risorsa a regime (ossia tempo mediamente speso nella risorsa a regime) Tempo medio speso in coda a regime

32 Numero medio di serventi occupati a regime
Fattore di utilizzo del servente a regime Tempo medio di servizio a regime

33 M/M/1/K (coda con capacità limitata)
ing abb K-1 I tassi di arrivo e di servizio hanno distribuzione esponenziale con parametri caratteristici  e  rispettivamente. N.B. Nella notazione di Kendall, K indica il numero di clienti nella coda d’attesa mentre noi ora stiamo indicando con K il numero di clienti nell’intera risorsa.

34 Anche questo processo può essere studiato come un processo di nascita morte in cui:
1. Il tasso delle nascite dipende dallo stato: 2. Il tasso delle morti  è pari al tasso di servizio qualunque sia il numero di utenti nella risorsa. Il sistema è quindi sempre ergodico anche nel caso in cui non sia verificata la condizione necessaria nel caso di processi con un numero di stati infinito.

35 1 2 K K-1 Probabilità di stato a regime

36

37 Fattore di utilizzo della risorsa a regime coincidente con il fattore di utilizzo del servente a regime > è , > è la probabilità che il servente lavori Tasso di uscita a regime (ossia produttività del servente a regime)

38 Tasso di ingresso nella risorsa a regime (ossia tasso di utenti ammessi nel sistema a regime)
abb Tasso di rifiuto (o di abbandono) a regime

39 Per    il tasso di abbandono  .
Numero medio di utenti nella risorsa a regime. Usiamo la funzione generatrice di probabilità a regime:

40

41 Tempo medio di attraversamento della risorsa a regime (ossia tempo mediamente speso nella risorsa a regime)

42 Tempo medio speso in coda a regime
Numero medio di utenti in coda a regime

43 Numero medio di serventi occupati a regime
Tempo medio di servizio a regime

44 M/M/m I tassi di arrivo e di servizio hanno distribuzione esponenziale con parametri caratteristici  e  rispettivamente. Anche questo processo può essere studiato come un processo di nascita-morte in cui: 1. Il tasso delle nascite non dipende dallo stato: 2. Il tasso di morte dipende dal numero di utenti nella risorsa, ossia dove  indica il tasso di servizio di ogni servente.

45 Il sistema è ergodico se quando tutto i serventi lavorano contemporaneamente, essi sono in grado di smaltire gli utenti in arrivo, ossia se Rappresentazione grafica: 1 m+1 m m m-1 2 (m-1)

46 Probabilità di stato a regime

47

48

49 Numero medio di serventi occupati a regime
Si dimostra che Fattore di utilizzo di un singolo servente a regime

50 Tasso di uscita a regime
Numero medio di utenti nella risorsa a regime Si dimostra che Tempo medio di attraversamento della risorsa a regime

51 Numero medio di utenti in coda a regime
Tempo medio di attesa in coda a regime

52 M/M/ Questo tipo di risorsa è particolarmente semplice da studiare in quanto il numero di utenti nella coda d’attesa è sempre pari a 0 essendovi infiniti serventi. Anche questo processo può essere studiato come un processo di nascita-morte in cui: 1. Il tasso delle nascite non dipende dallo stato: 2. Il tasso di morte dipende dal numero di utenti nella risorsa, ossia dove  indica il tasso di servizio di ogni servente.

53 Il processo è ergodico  ,  > 0.
Rappresentazione grafica: 1 2 3 2  3  4  Probabilità di stato a regime

54

55 Osservazione: La probabilità di stato a regime coincide in questo caso con quella relativa ad una risorsa M/M/1 con scoraggiamento degli arrivi. Naturalmente il comportamento della risorsa è però completamente diverso. Ciò evidenzia chiaramente come la probabilità di stato a regime, vista singolarmente, non sia rappresentativa. Fattore di utilizzo della risorsa a regime

56 Tasso di uscita a regime
Numero medio di utenti nella risorsa a regime Si dimostra che N.B. È chiaramente lo stesso della risorsa M/M/1 con scoraggiamento degli arrivi in quanto sono le stesse le probabilità di stato a regime.

57 Tempo medio di attraversamento della risorsa a regime
Tempo medio in coda a regime Lunghezza media della coda a regime

58 Numero medio di serventi occupati a regime
Tempo medio di servizio a regime Fattore di utilizzo di un singolo servente a regime


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