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Economia Applicata allIngegneria Dott.ing. Massimo Di Francesco Dott.ssa Michela Lai Esercitazione.

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Presentazione sul tema: "Economia Applicata allIngegneria Dott.ing. Massimo Di Francesco Dott.ssa Michela Lai Esercitazione."— Transcript della presentazione:

1 Economia Applicata allIngegneria Dott.ing. Massimo Di Francesco Dott.ssa Michela Lai Esercitazione 2

2 22 La programmazione lineare per problemi decisionali di economia Articolazione del processo decisionale: Definizione del problema Costruzione di un modello matematico di programmazione lineare Risoluzione delle istanze del modello con il programma scelto (ad esempio Lindo) Analisi dei risultati ottenuti Tipicamente queste fasi non sono strettamente sequenziali Modello matematico: descrizione con strumenti di tipo logico- matematico della porzione di realtà di interesse.

3 33 Non esistono metodologie formali per generare automaticamente modelli di programmazione lineare. La loro costruzione è lasciata fondamentalmente alla fantasia, alla creatività e allesperienza del singolo La soluzione di un modello è sempre la soluzione della rappresentazione costruita del problema reale La programmazione lineare per problemi decisionali di economia

4 44 Il problema della fonderia Definizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati Una fonderia deve produrre 1000 pezzi del peso ciascuno di 1kg. Il ferro con cui tali pezzi sono fatti dovrà contenere manganese e silicio nelle seguenti quantità: manganese 0.45 % 3.25% silicio 5.5% Sono disponibili tre tipi di materiale ferroso con le seguenti caratteristiche: Inoltre si può acquistare il solo manganese a 10/kg TIPO ATIPO BTIPO C % di silicio % di manganese Costo (/kg)

5 55 ESERCIZIO: Determinare il piano di produzione che minimizza il costo dacquisto delle materie prime mediante un modello di Programmazione Lineare Il problema della fonderia Definizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati

6 66 Variabili: x FA (0): numero di kg di materiale ferroso A da acquistare x FB ( 0): numero di kg di materiale ferroso B da acquistare x FC ( 0): numero di kg di materiale ferroso C da acquistare x M ( 0): numero di kg di manganese da acquistare La definizione di queste variabili ci consente di rispettare i vincoli di non negatività

7 77 Vincoli Il numero totale di kg prodotti deve essere 1000: x FA + x FB + x FC + x M = 1000 La quantità di silicio presente nel prodotto risultante è: 0.04 x FA x FB x FC e dovrà essere compresa tra il 3.25% e il 5.5% del totale (1000 kg), quindi 0.04 x FA x FB x FC x FA x FB x FC 55 Il problema della fonderia Definizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati

8 88 La quantità di manganese presente nel prodotto risultante non dovrà essere inferiore al 0.45% del totale, quindi: x FA x FB x FC + x M 4.5 Dobbiamo determinare il piano di produzione che minimizza il costo di acquisto: min x FA x FB x FC + 10 x M

9 99 Il problema della fonderia Costruzione del modello di ottimizzazione Il problema può essere così formalizzato: min x FA x FB x FC + 10 x M s.t. x FA + x FB + x FC + x M = x FA x FB x FC x FA x FB x FC x FA x FB x FC + x M 4.5 x FA, x FB, x FC,x M 0

10 10 Il problema della fonderia Determinazione delle soluzioni Istanza su Lindo: min xfa xfb xfc + 10 xm s.t. xfa + xfb + xfc + xm = xfa xfb xfc > xfa xfb xfc < xfa xfb xfc + xm > 4.5 end

11 11 Il problema della fonderia Analisi dei risultati LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST XFA XFB XFC XM ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) Soluzione con Lindo:

12 12 Dal problema della fonderia a una notazione più generale La struttura modellistica del problema della fonderia può essere applicata a numerosi problemi decisionali: Si deve definire quante unità acquistare tra un dato insieme di prodotti (ad esempio tre tipologie di materiali ferrosi) Spesso non si può acquistare una quantità di un dato prodotto che sia superiore a un limite predefinito Questi prodotti presentano delle proprietà (ad esempio la quantità di silicio e manganese) Il mix di beni acquistati deve garantire dei requisiti rispetto a tali proprietà (ad esempio la quantità minima di silicio e manganese) Occorre minimizzare il costo di acquisto dei prodotti

13 13 Dal problema della fonderia a una notazione più generale Notazione j lindice dei prodotti tra cui poter scegliere i lindice delle proprietà x j la quantità (non negativa) da acquistare del prodotto j c j il costo unitario di acquisto del prodotto j u j la quantità massima acquistabile del prodotto j b i la quantità minima della proprietà i richiesta nel mix di prodotti da acquistare a ij la quantità di proprietà i presente in una unità del prodotto j

14 14 Dal problema della fonderia a una notazione più generale Il precedente problema può essere così formalizzato: s.t. Possibile applicazione: il problema della dieta

15 15 Il problema della dieta Una mensa scolastica deve pianificare gli acquisti degli alimenti per la sua attività La dieta deve rispettare alcuni requisiti nutrizionali minimi e le porzioni massime di ogni alimento Noti i costi unitari dei vari alimenti, determinare la composizione di alimenti in modo da minimizzare il costo complessivo dacquisto degli alimenti

16 16 Il problema della dieta Dati del problema: AlimentoQuantità massima (in hg) Prezzo di vendita (in /hg) Pane40.1 Latte30.5 Uova10.12 Carne20.9 Dolce21.3 Valori nutrizionali per hgPaneLatteUovaCarneDolce Calorie Proteine5 g15 g30 g90 g70 g Calcio0.02 g0.15 g0.05 g0.08 g0.01 g Valori nutrizionali minimi Calorie 600 cal. Proteine50 g Calcio0.7 g ESERCIZIO Definire variabili e vincoli.

17 17 Il problema della dieta min 0.1 x_pane x_latte x_uova x_carne x_dolce 30 x_pane + 50 x_latte x_uova x_carne x_dolce x_pane + 15 x_latte + 30 x_uova + 90 x_carne + 70 x_dolce x_pane x_latte x_uova x_carne x_dolce 0.7 x_pane 4 x_latte 3 x_uova 1 x_carne 2 x_dolce 2

18 18 Il problema della dieta LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X_PANE X_LATTE X_UOVA X_CARNE X_DOLCE Soluzione con Lindo:

19 19 Unimpresa produce 3 tipi di pasta: Tipo A, Tipo B e Tipo C. Per produrre la pasta utilizza 4 diverse macchine (M1, M2, M3, M4) le cui produzioni orarie sono: M1: 15 pacchi di pasta tipo B e 10 tipo C M2: 20 pacchi di pasta tipo A, 15 tipo B e 25 tipo C M3: 25 pacchi di pasta tipo A e 20 tipo C M4: 20 pacchi di pasta tipo A 10 tipo B Il mercato giornalmente richiede almeno: 650 pacchi di pasta di tipo A, 500 di tipo B e 500 di tipo C. I costi di produzione orari sono: M1: 90 euro M2: 150 euro M3: 140 euro M4: 105 euro Ogni macchina non può superare 15ore di produzione giornaliere. Inoltre, le ore di produzione sono complete (una macchina lavora per 0,1, 2,…,15 ore, non si tiene conto dei minuti). Determinare la produzione giornaliera di costo minimo. Pasta

20 20 Variabili: M1: numero di ore giornaliere di impiego della macchina 1 M2: numero di ore giornaliere di impiego della macchina 2 M3: numero di ore giornaliere di impiego della macchina 3 M4: numero di ore giornaliere di impiego della macchina 4 Vincoli: Il numero massimo delle ore nelle quali può lavorare ogni macchina è 15 M1 15 M2 15 M3 15 M4 15 La quantità minima giornaliera richiesta per tipologia di pasta: 20 M M M M M M M M M3 500 Pasta

21 21 Su Lindo : min 90 M M M M4 s.t. M1) M1 < 15 M2) M2 < 15 M3) M3 < 15 M4) M4 < 15 PACCHIA)20 M M3 + 20M4 > 650 PACCHIB)15 M1+ 15 M2 + 10M4 > 500 PACCHIC)10 M1+ 25 M2 + 20M3 > 500 end gin 4 Pasta Nome seguito da ) consente di assegnare un nome al vincolo facilitando la lettura della soluzione

22 22 Soluzione su Lindo: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST M M M M ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES M1) M2) M3) M4) PACCHIA) PACCHIB) PACCHIC) Pasta

23 23 Il direttore amministrativo dellospedale Santa Cara deve stabilire i turni ospedalieri delle ostetriche, in modo da garantire un minimo numero di ostetriche presenti in ogni turno (indicato nella tabella). Il direttore vuole utilizzare il minor numero totale di ostetriche, tenendo conto che le ostetriche che si recano in reparto per uno dei primi cinque turni sono obbligate a lavorare per 8 ore consecutive (due turni consecutivi), mentre quelle impiegate nellultimo turno (turno 6) lavorano solo 4 ore. TURNI ORARIO N.OSTETRICHE Turni Ospedalieri

24 24 Variabili x1: numero di ostetriche nel turno 1 x2: numero di ostetriche nel turno 2 x3: numero di ostetriche nel turno 3 x4: numero di ostetriche nel turno 4 x5: numero di ostetriche nel turno 5 x6: numero di ostetriche nel turno 6 Vincoli: x1 70 x1 + x2 80 x2 + x3 50 x3 + x4 60 x4 + x5 40 x5 + x6 30 Turni Ospedalieri

25 25 Su Lindo: min 8 x1 + 8 x2 + 8 x3 + 8 x4 + 8 x5 + 4 x6 s.t. 1T) x1 > 70 2T) x1+x2 > 80 3T) x2+x3 > 50 4T) x3+x4 > 60 5T) x4+x5 > 40 6T) x5+x6 > 30 end Turni Ospedalieri

26 26 Soluzione: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1T) T) T) T) T) T) Turni Ospedalieri


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