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M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI1 6c_EAIEE_ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE (ultima modifica 04/12/2012) EQUAZIONI DONDA VETTORIALI OMOGENEE Esse.

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1 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI1 6c_EAIEE_ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE (ultima modifica 04/12/2012) EQUAZIONI DONDA VETTORIALI OMOGENEE Esse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi non conduttori, ossia in una regione dello spazio priva di cariche libere dove e sono entrambi uguali a zero. Nei dielettrici puri sono predominanti le correnti di spostamento e in questa categoria rientrano tutti i fenomeni di propagazione e radiazione.

2 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI2 Nel vuoto, (al di là dellatmosfera terrestre), u=c e le espressioni delle equazioni donda in assenza di sorgenti diventano: dove c é la velocità di propagazione dellonda (velocità della luce) nel vuoto. ______________________________________________________

3 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI3 Onde elettromagnetiche piane Londa elettromagnetica piana é una particolare soluzione delle equazioni di Maxwell e costituisce una buona approssimazione delle onde elettromagnetiche reali in molte applicazioni pratiche. Le caratteristiche delle onde piane uniformi sono particolarmente semplici e il loro studio è fondamentale sia dal punto di vista teorico che pratico. Si definisce fronte donda il luogo geometrico dei punti dello spazio in cui in cui le grandezza di campo presentano contemporaneamente la stessa fase. Un onda è piana si verifica quando il suo fronte donda è un piano.

4 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI4 Onde elettromagnetiche piane Le onde elettromagnetiche piane sono caratterizzate da da campi sempre e ovunque in fase, cioè per ogni valore di z la loro variazione temporale è sempre identica anche se le loro direzioni spaziali sono ortogonali. Esse sono caratterizzate dal fatto che sia il campo che il campo assumono la stessa direzione, ampiezza e fase in piani perpendicolari alla direzione di propagazione. In altre parole i campi sono: in fase nel tempo e in quadratura nello spazio direzione di propagazione delle onde

5 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI5 Campi e di unonda piana uniforme per t=0

6 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI6 Onde elettromagnetiche piane Radiofrequenze a grande distanza dal trasmettitore e da oggetti con curvatura trascurabile, che causano difrazione, possono essere studiate come onde piane. Lapprossimazione delle onde piane è molto utilizzata nellottica. Lo studio delle onde piane è molto importante perché, onde più complesse possono essere considerate come formate dalla sovrapposizione di onde piane.

7 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI7 Nella ipotesi di regime sinusoidale lo studio delle onde si può semplificare considerandole con i fasori. Nelle regioni in cui non sono presenti sorgenti (cariche a riposo nulle e correnti elettriche nulle) e il mezzo non è dissipativo, le onde sono descritte dalle soluzioni delle equazioni di Helmholtz vettoriali omogenee: = numero donda in un mezzo di trasmissione qualsiasi

8 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI8 Onde elettromagnetiche piane nei mezzi privi di perdite Lequazione (vettoriali) esplicitate delle onde elettromagnetiche nel vuoto (nello spazio libero k=k o ), in assenza di sorgenti, sono: dove k 0 é il numero donda nello spazio libero (k 0 = free space wavenumber), esso é il reciproco della lunghezza donda nel vuoto:

9 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI9 In coordinate cartesiane la prima equazione di Helmholtz equivale a tre equazioni (scalari) di Helmholtz, una per ciascuna componente: E x, E y e E z :

10 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI10 Se si considera unonda piana uniforme, caratterizzata da una E x uniforme (ampiezza e fase uniforme), sulle superfici piane (xy) perpendicolari a z, lequazione diventa: con essa é una equazione differenziale ordinaria poiché E x dipende solo da z, ossia E x = f(z).

11 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI11 La soluzione della equazione: é : sono costanti arbitrarie che devono essere determinate con le condizioni al contorno. Si consideri da prima solo primo termine: usando come fasore di riferimento e assumendo costante reale ( fase = 0 per z = 0) si ha:

12 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI12 Esaminando in dettaglio lequazione trovata: si può pensare di tracciare il grafico in un istante definito in funzione di z. In particolare per t=0, essendo: per cui in un dato istante, nello spazio varia come una cosinusoide con una ampiezza Per tutti gli istanti successivi le curve relative avranno un andamento identico, ma traslano nella direzione positiva di z. Ciò dimostra che la curva é viaggiante nella direzione positiva di z con una velocità u p che dipende da k 0, ossia da e quindi dalla frequenza f. Si deduce che per aumentare la velocità di trasmissione u p, che dipende da, si può aumentare la frequenza f.

13 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI13 Onda viaggiante nella direzione positiva z, per diversi valori di t

14 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI14 Per determinare la velocità di propagazione si consideri il fatto che la fase A è costante in ciascun piano normale alla direzione z di propagazione e imponendo questa condizione : t-k o z =A, e lo spazio percorso Inoltre per le onde piane, al variare del tempo i piani in cui la fase è costante (fronti donda), viaggiano alla velocità della luce c nella direzione z. Quindi imponendo che t-k o z sia costante allaumentare di z e di t, si ottiene lespressione della velocità di propagazione (u p =c): k 0 numero donda, misura il numero di lunghezze donda in un ciclo completo.

15 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI15 Analogamente si può verificare che il secondo termine della relazione : rappresenta una onda viaggiante cosinusoidale nella direzione - z con la stessa velocità c: essa è chiamata onda riflessa. Si consideri per ora solo londa diretta assumendo lipotesi che: anche se in presenza di discontinuità nel mezzo, devono essere considerate anche le onde riflesse viaggianti nella direzione opposta.

16 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI16 Il campo magnetico associato alla sola onda diretta può essere determinato dalla relazione che lo lega al campo elettrico: In forma matriciale: dalla quale si ottengono le seguenti relazioni, dove risulta lunica componente diversa da zero:

17 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI17 Per unonda piana uniforme, caratterizzata da una E x uniforme (ampiezza e fase uniforme) sulle superfici piane perpendicolari a z, risulta che le componenti del campo elettrico e del campo magnetico siano rispettivamente uguali a: quindi il campo elettrico risulta nello spazio in quadratura con il campo magnetico.

18 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI18 Esplicitando la relazione che lega il campo elettrico e magnetico si ha: 0 è l impedenza intrinseca dello spazio libero (essa è un numero reale).

19 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI19 Poichè 0 è un numero reale risulta in fase con e si può scrivere lespressione di come: Quindi per unonda piana e uniforme il rapporto delle ampiezze di e é limpedenza intrinseca del mezzo: Inoltre risulta che é perpendicolare ad e che entrambe sono normali alla direzione di propagazione.

20 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI20 Campi e di unonda piana uniforme per t=0

21 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI21 Effetto Doppler Quando cé un movimento relativo tra la sorgente armonica nel tempo e un ricevitore, la frequenza dellonda intercettata dal ricevitore tende ad essere diversa da quella emessa dalla sorgente. Questo fenomeno é noto come effetto Doppler, esso si manifesta in acustica come nellelettromagnetismo. Si assuma che la sorgente T (Trasmettitore) di unonda armonica nel tempo di frequenza f si muova con velocità con una deviazione di un angolo rispetto alla direzione della congiungente Trasmettitore-Ricevitore.

22 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI22 Le onde elettromagnetiche emesse da T nellistante t = 0 raggiungeranno il ricevitore R nellistante. Nellistante successivo t = t, la sorgente T si é spostata nella nuova posizione T e londa emessa da T in quellistante raggiungerà il ricevitore nellistante t 2 : TR r0r0 t = 0 t = t TR r0r0 r u t T H

23 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI23 TR r0r0 t = 0 t = t TR r0r0 r u t T H

24 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI24 Se lequazione precedente diventa: Quindi il ritardo temporale in R pari a t =t 2 -t 1 é: che non é uguale al t. Se t rappresenta un periodo della sorgente armonica nel tempo, cioè t =1/f, allora la frequenza dellonda ricevuta da R per la condizione più comune (u/c) 2 << 1 é:

25 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI25 Questa é una formula approssimata che non é valida quando é prossimo a /2, e in base a questa relazione si può dire che: quindi si può avere che f > f : la frequenza in ricezione é maggiore della frequenza di trasmissione quando T si muove avvicinandosi a R (il massimo incremento di f si ha per = 0), mentre f < f : la frequenza in ricezione é minore della frequenza di trasmissione quando T si muove allontanandosi da R (il massimo decremento di f si ha per = )

26 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI26 Risultati simili si ottengono se R si muove e T é fissa. Leffetto Doppler si verifica ogni volta che esiste movimento relativo tra un ricevitore e un emettitore. Leffetto Doppler é alla base del funzionamento del radar Doppler usato dalla polizia per valutare la velocità di un veicolo. Il funzionamento del Radar Doppler è basato sul fatto che la variazione di frequenza dellonda di ricezione riflessa dal movimento del veicolo è proporzionale alla velocità del veicolo e può essere misurata e visualizzata nellunità di misura stabilita, infatti:

27 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI27 Leffetto Doppler è anche la causa, in astronomia, della cosiddetta red shift (variazione rossa) dello spettro della luce emessa da una stella distante che si allontana. Quando la stella si allontana ad alta velocità rispetto ad un osservatore sulla terra, la frequenza nel punto di ricezione trasla verso una frequenza più bassa dello spettro (si verifica un allungamento della lunghezza donda).

28 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI28 Onde elettromagnetiche trasversali Unonda piana uniforme caratterizzata da che si propaga nella direzione + z è associato a un campo magnetico Quindi e sono perpendicolari uno con laltro ed entrambi sono trasversali alla direzione di propagazione. Questo è un caso particolare di onda trasversale elettromagnetica (transverse electromagnetic wave: TEM wave). Le grandezze di campo vettoriali sono funzioni della sola distanza z e quindi variano lungo un singolo asse di coordinate. Si considera ora la propagazione di unonda piana uniforme lungo una direzione arbitraria, che non coincide necessariamente con un asse delle coordinate.

29 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI29 Lintensità del fasore campo elettrico per unonda piana uniforme che si propaga nella direzione +z è: dove è un vettore costante. Lespressione più generale per unonda che si propaga in una direzione generica sarà: Si dimostra facilmente per sostituzione diretta che questa espressione soddisfa lequazione omogenea di Helmholtz e che:

30 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI30 Definendo un vettore numero donda come: e un vettore radiale dallorigine: La relazione precedente può essere scritta in forma compatta: con versore nella direzione di propagazione.

31 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI31 Per la relazione: per cui: è lequazione di un piano normale ad, direzione di propagazione. x y z 0 P Piano con fase costante

32 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI32 Se unonda si propaga nella direzione z, nel piano z = costante il campo ha fase costante e ampiezza uniforme. Analogamente si dimostra che londa che si propaga in una direzione generica definita dalla relazione: ha fase costante e ampiezza uniforme nel piano Infatti in una regione dello spazio priva di cariche, per cui, essendo un vettore costante.

33 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI33 Ma per cui lequazione diventa : ciò implica che il campo sia trasversale alla direzione di propagazione delle onde.

34 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI34 Il campo magnetico associato al campo elettrico: può essere ottenuto dalla equazione di Maxwell: o dove: è limpedenza intrinseca del mezzo o limpedenza donda.

35 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI 35 Dalla espressione trovata per il campo magnetico: appare chiaramente come unonda piana uniforme che si propaga in una direzione arbitraria sia unonda trasversale elettromagnetica TEM con il campo elettrico e il campo magnetico perpendicolari tra di loro ed entrambi normali alla direzione di propagazione dellonda, ossia la direzione del versore.

36 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI36 Analogamente assumendo il campo magnetico: in base alla equazione di Maxwell; si ottiene: o Dalle quali sono deducibili le stesse considerazioni fatte in base alle espressioni del campo magnetico

37 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI37 Polarizzazione delle onde piane La polarizzazione di unonda piana uniforme, caratterizza londa e descrive come variano lampiezza e la fase del vettore intensità campo elettrico in un dato punto dello spazio, al variare del tempo. Essa indica come il campo elettrico e quindi il campo magnetico oscilla durante la propagazione dellonda. Le onde elettromagnetiche hanno polarizzazione lineare, circolare ed ellittica in base al fatto che lestremità del vettore campo elettrico in ogni punto dello spazio, dove avviene la trasmissione, si muova su una retta, su un cerchio o su unellisse.

38 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI38 Polarizzazione delle onde piane Poiché lequazione delle onde è una equazione lineare, qualunque sua soluzione può essere espressa come somma di altre soluzioni. Ciò comporta che distribuzioni complesse di onde elettromagnetiche possano essere considerate come costitute dalla sovrapposizione di un gran numero di semplici onde piane con differenti ampiezze, fasi e direzioni di propagazione. Ciascuna onda può essere studiata separatamente, per poi analizzare londa risultante dalla sovrapposizione delle singole onde piane. In particolate lo studio della polarizzazione di una onda piana sarà sviluppato considerando londa come la sovrapposizione di due onde lineari.

39 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI39 Onda polarizzata in un piano o linearmente polarizzata. Se il vettore campo elettrico giace sempre in una stessa direzione si dice che londa è polarizzata in un piano o linearmente polarizzata. Si realizza questa condizione quando tutte le onde sovrapposte hanno il campo elettrico nella stessa direzione, oppure quando i diversi campi elettrici hanno differenti direzioni, ma esattamente la stessa fase. Onda polarizzata ellitticamente. Se si ha la sovrapposizione di due onde piane uniformi con la stessa frequenza, ma con differenti fasi, ampiezze e orientazioni dei vettori di campo elettrico, la combinazione che ne risulta si dice essere unonda polarizzata ellitticamente.

40 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI40 Se il vettore campo elettrico giace sempre in una stessa direzione si dice che londa è polarizzata in un piano o linearmente polarizzata. Si realizza questa condizione quando tutte le onde sovrapposte hanno il campo elettrico nella stessa direzione, oppure quando i diversi campi elettrici hanno differenti direzioni, ma esattamente la stessa fase. Se il vettore dellonda piana è fissato nella direzione x : dove E x può essere positivo o negativo, londa è detta polarizzata linearmente nella direzione x. Una descrizione separata del campo magnetico non è necessaria, poiché la direzione di è legata a quella del campo elettrico.

41 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI41 In diversi casi la direzione di dellonda piana in un dato punto varia nel tempo e il campo si può considerare come la sovrapposizione di due onde lineari: 1. una polarizzata nella direzione x di ampiezza E 10 e 2.laltra polarizzata nella direzione y e ritardata di 90° (o /2 rad) nella fase temporale di ampiezza E 20. La notazione fasoriale sarà: dove E 10 e E 20, che indicano le ampiezze delle due onde polarizzate linearmente, sono numeri reali.

42 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI42 Lespressione istantanea di è : Per studiare la variazione di direzione di in un punto dato al variare di t, è conveniente considerare il punto per il quale z = 0: come t varia da 0 a 2, lestremità del vettore percorre un luogo ellittico in senso antiorario.

43 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI43 Infatti uguagliando gli addendi corrispondenti, analiticamente si ha: che porta alla seguente equazione di una ellisse:

44 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI44 Quindi il campo elettrico, ottenuto come la somma di due onde polarizzate sia nello spazio che nel tempo, è polarizzato ellitticamente se E 20 E 10 e polarizzato circolarmente se E 20 = E 10. Quando E 20 = E 10 langolo istantaneo che forma con lasse x per z = 0 è: ossia ruota con velocità angolare uniforme in senso antiorario. y x 0 E 10 E 20

45 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI45 Quando le dita della mano destra seguono la rotazione di, il pollice indica la direzione della propagazione dellonda. Questa è unonda polarizzata circolarmente positiva o destrorsa. Se E 2 (z) è sfasata nel tempo di 90° in anticipo rispetto a E 1 (z): anche in questo caso risulta ellitticamente polarizzato e se E 20 = E 10, ruota in senso orario con velocità angolare -. Questa è unonda polarizzata circolarmente negativa o sinistrorsa.

46 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI46 O nda polarizzata elliticamente negativa o sinistrorsa (direzione della propagazione entrante nel foglio) Onda polarizzata elliticamente positiva o destrorsa ( direzione della propagazione uscente nel foglio) Agendo sullo sfasamento di E 2 rispetto a E 1 si può invertire il senso di propagazione dellonda.

47 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI47 Se E 20 e E 10 sono in quadratura nello spazio ma in fase nel tempo, la loro somma sarà polarizzata linearmente lungo una linea che forma un angolo con lasse x e lespressione istantanea di per z = 0 è: Lestremità di sarà nel punto P 1 quando t = 0. La sua ampiezza decrescerà verso zero come t aumenta verso /2. Quindi inizia ad aumentare di nuovo, in direzione opposta verso il punto P 2 dove t =. y x 0 E 10 E20E20 P1P1 P2P2

48 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI48 Variando le ampiezze delle due onde componenti è possibile ottenere una polarizzazione lineare con un angolo di deviazione θ qualsiasi rispetto allasse delle x, essendo: Nel caso generale E 20 e E 10 sono in quadratura nello spazio ma hanno ampiezza diversa E 20 E 10 e possono avere una differenza di fase arbitraria non necessariamente nulla o multipla di /2. La loro somma sarà: polarizzata ellitticamente e gli assi principali dellellisse di polarizzazione non coincideranno con gli assi delle coordinate.

49 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI49 Si noti che le onde elettromagnetiche irradiate da stazioni di trasmissione AM dalle loro torri di antenne sono linearmente polarizzate con il campo perpendicolare al suolo. Per la massima ricezione lantenna ricevente dovrà essere parallela al campo che è verticale alla direzione di propagazione. I segnali televisivi al contrario, sono polarizzati linearmente nella direzione orizzontale, questo è il motivo per cui i conduttori delle antenne riceventi sui tetti sono orizzontali. Le onde FM irradiate da stazioni radio sono generalmente polarizzate circolarmente; quindi lorientazione di una antenna ricevente FM non è critica, sempre che giaccia nel piano normale alla direzione del segnale.

50 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI50 Onde piane nei mezzi dissipativi In un mezzo dissipativo privo di sorgenti lequazione del vettore omogeneo di Helmholz da risolvere è: dove il numero donda: è un numero complesso, Le onde piane in un mezzo dissipativo si studieranno in maniera analoga alle onde in un mezzo omogeneo privo di perdite sostituendo k c a k, definendo una costante di propagazione tale che:.

51 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI51 Poichè é un numero complesso si può scrivere: lequazione di Helmholtz diventa: e la soluzione é unonda piana uniforme che si propaga nella direzione z, nella ipotesi che londa sia linearmente polarizzata nella direzione x: fattore e costante di attenuazione in [Np/m] fattore e costante di fase in [rad/m] equivale lattenuazione in ampiezza per 1 m di propagazione equivale sfasamento dellonda 1 m di propagazione.

52 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI52 Il Neper è utilizzato come unità di misura per esprimere un rapporto tra due grandezze dello stesso tipo, per cui una grandezza espressa in Neper: Il decibel esprime il rapporto tra due livelli, di cui uno (quello a denominatore) è assunto come riferimento:

53 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI53 lattenuazione in ampiezza α e lo sfasamento dellonda dipendono dalla pulsazione e dai parametri costitutivi, e e possono essere espressi in funzione di questi. In particolare per i mezzi: dielettrici con basse perdite buoni conduttori gas ionizzati si possono ricavare delle formule approssimate, comunque valide per molte applicazioni pratiche.

54 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI54 Dielettrici a basse perdite

55 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI55 Buoni conduttori *** il campo magnetico é traslato di 45° rispetto a quello elettrico

56 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI56 Per i conduttori si definisce la skin depth o depth of penetration: essa é la distanza lungo la quale lampiezza di un onda piana viaggiante diminuisce di un fattore pari a e -1 (0.3679). Alle alte frequenze le onde elettromagnetiche che si propagano in un mezzo costituito da un buon conduttore si attenuano molto rapidamente, essendo sia f che valori molto grandi. In particolare alle frequenze delle microonde la skin depth di penetrazione di un buon conduttore é così piccola, che i campi e le correnti possono essere considerati confinati in uno strato molto sottile della superficie del conduttore.

57 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI57 skin depth o depth of penetration per alcuni conduttori confrontata con quella dellacqua Materiale [S/m] f = 60Hz 1 MHz 1GHz argento [mm] [mm] [mm] rame oro alluminio ferro acqua di mare 4 32 [m] 0.25 [m]

58 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI58 Gas ionizzati Al di sopra della atmosfera terrestre, approssimativamente a una quota compresa tra 50 e 500 km di altezza, esistono strati di gas ionizzati: la ionosfera. 1 miglia=1,60934km La ionosfera è ulteriormente divisa in strati (D, E, F 1, F 2 ) per evidenziare le diverse proprietà elettriche, dovute: alle variazioni della composizione e dell'intensità di radiazione solare ricevuta.

59 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI59 Quando la radiazione solari ultraviolette*** proveniente dal sole é assorbita dagli atomi e dalle molecole della parte superiore della ionosfera, questi assorbono parte di questa radiazione con una conseguente produzione di un elettrone libero (carica negativa) e uno ione (carica positiva). __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ *** La radiazione solare è lenergia radiante emessa nello spazio interplanetario dal Sole, generata a partire dalle reazioni termonucleari di fusione che avvengono nel nucleo solare e che producono radiazioni elettromagnetiche a varie frequenze o lunghezze donda, le quali si propagano poi nello spazio alle velocità tipiche di queste onde.

60 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI60 Nella ionosfera la densità delle molecole di ossigeno presenti è molto bassa, quindi gli elettroni liberi possono esistere per brevi periodi di tempo prima di essere catturati da uno ione positivo vicino, formandosi un latomo neutro, che a sua volta, assorbe radiazione solare e il processo si ripete. Quindi durante larco della giornata (nel lato della terra investito dalle radiazioni solari), la ionosfera si può ritenere costituita da elettroni liberi e ioni positivi e, in minore quantità, da molecole del gas ( atomi di ossigeno neutri).

61 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI61 Le particelle cariche tendono ad essere trattenute dal campo magnetico terrestre. Laltezza e le caratteristiche degli strati ionizzati dipendono dalla natura della radiazione solare e dalla composizione della ionosfera. Essi variano con il ciclo di sunspot, la stagione e lora del giorno e i paralleli terrestri in modo molto complicato. La densità degli elettroni e degli ioni nei singoli strati ionizzati sono essenzialmente uguali. I gas ionizzati con uguale densità di elettroni e ioni sono chiamati plasmi, quindi: la ionosfera si può considerare costituita da un plasma.

62 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI62 Poiché gli elettroni sono più leggeri degli ioni positivi, essi sono più accelerati dai campi elettrici delle onde elettromagnetiche che passano attraverso la ionosfera. La ionosfera gioca un ruolo importante nella propagazione delle onde elettromagnetiche e influisce sulla telecomunicazione. Per comprendere e valutare qualitativamente lentità di questa influenza si analizza il fenomeno con alcune ipotesi semplificative movimento degli ioni trascurabile (esso è sensibilmente inferiore a quello degli elettroni), ionosfera costituita esclusivamente da gas di elettroni liberi e trascurare le collisioni tra gli elettroni e gli atomi e le molecole del gas.

63 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI 63 Su un elettrone di carica -e e massa m in un campo elettrico armonico nel tempo agente nella direzione x con frequenza angolare, agisce una forza di campo: F=qE= –eE, che lo allontana da uno ione positivo di una distanza x tale che: da cui: dove e sono fasori. x ione + -e x

64 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI64 La separazione delle cariche ( ione + ed elettrone -) alla distanza x fa nascere un momento di dipolo elettrico: Se N è il numero di elettroni per unita di volume, la densità volumica del momento di dipolo elettrico o vettore di polarizzazione è: Nella precedente equazione è stato trascurato implicitamente leffetto mutuo dei momenti dei dipoli indotti degli elettroni sugli altri elettroni.

65 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI65 In base alle leggi dellelettrostatica il vettore spostamento D sarà:

66 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI66 La corrispondente frequenza del plasma è: e la permettività equivalente della ionosfera o plasma risulta : da essa si ottiene la costante di propagazione: e limpedenza intrinseca: dove

67 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI67 Dalla espressione di ε p si vede come per f f p, la permettività equivalente ε p 0. Quando la permettività diventa nulla ε p, lo spostamento elettrico (che dipende solo dalle cariche libere è nullo, anche quando lintensità del campo elettrico (che dipende sia dalle cariche libere che dalla polarizzazione) non lo è. In quel caso dovrebbe essere possibile per un campo elettrico oscillante esistere nel plasma in assenza di cariche libere, ottenendo una cosi detta oscillazione di plasma.

68 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI68 Quando f < f p : largomento sotto radice è negativo e quindi diventa puramente reale, rilevando un attenuazione senza propagazione; contemporaneamente p diventa puramente immaginario indicando una carico reattivo per cui non si verifica senza trasmissione di potenza attiva. Perciò f p é anche indicata come frequenza di taglio. Quando f > f p : largomento sotto radice è positivo e quindi é puramente immaginario, e le onde elettromagnetiche si propagano sfasate senza attenuazione nel plasma (nella ipotesi di perdite di collisione trascurabili)..

69 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI69 Se si sostituiscono i valori numerici di e, m e 0 nella espressione della f p, si ottiene una formula molto semplice per esprimere la frequenza di taglio del plasma: Tale espressione permette di fare delle valutazioni sulla trasmissione delle onde attraverso la ionosfera. Poichè la densità elettronica della ionosfera (N elettroni per unita di volume ) varia da: (10 10 /m 3 nello strato più basso ÷ /m 3 nello strato più alto). Per cui f p varia da 0.9 a 9MHz. Essa è una misura della densità di ionizzazione dello strato riflettente. Più alta è la frequenza di taglio e maggiore è la densità di ionizzazione, che è legata a N.

70 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI70 Quindi se f p =0.9 ÷ 9 MHz, dovendo essere f > f p, per la comunicazione con un satellite o una stazione spaziale oltre la ionosfera, si devono usare frequenze superiori a 9 MHz. Occorre lavorare questo campo di valori della frequenza, per assicurare la penetrazione delle onde anche nello strato con N (numero di elettroni per unita di volume) più elevato e per qualunque angolo di incidenza. La situazione reale é più complessa per linesistenza di strati caratterizzati da densità elettronica costante e dalla presenza del campo magnetico terrestre, che agiste differentemente da punto a punto della spazio.

71 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI71 Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei segnali nella ionosfera sono : I segnali con frequenze superiori a di 9 MHz penetrano la ionosfera I segnali con frequenze tra 0,9 e 9 MHz penetreranno parzialmente negli strati più bassi della ionosfera ma saranno rinviati indietro dove N é più grande. I segnali con frequenze minori di 0.9 MHz non possono penetrare nello strato più basso della ionosfera, ma possono propagarsi molto lontano intorno alla terra per via di riflessioni multiple sul contorno della ionosfera e sulla superficie della terra.

72 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI72 Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei segnali nella ionosfera sono : f > 9 MHz f < 9 MHz f = 0.9 ÷ 9 MHz

73 M. Usai6c_EAIEE_EQUAZIONI DONDA VETTORIALI73 Nella realtà, per trasmettere un segnale attraverso la ionosfera si utilizzano frequenze alte legate alle condizioni della ionosfera nella regione della terra nella quale avviene la trasmissione, dal l ora del giorno e dalle radiazioni solari ultraviolette che dipendono dalle sunspots. Si comprende come lo studio del plasma nella ionosfera e la misura acurata delle sunspots sia argomento di ricerca avanzata in campo militare. La frequenza di taglio f p può raggiungere 50 MHz a mezzogiorno e nell'immediato pomeriggio e anche nei periodi di maggiore attività delle macchie solari (sunspots), può diminuire a 10 MHz nelle prime ore del mattino e diminuire sino a a 2 MHz durante la notte.


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