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Presentazione sul tema: "grafi nel mondo reale: reti stradali internet incontri sportivi nodi = incroci, archi = strade nodi = pagine, archi = links nodi = squadre, archi ="— Transcript della presentazione:

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3 grafi nel mondo reale: reti stradali internet incontri sportivi nodi = incroci, archi = strade nodi = pagine, archi = links nodi = squadre, archi = incontri facebook nodi = persone, archi = amicizie giochi nodi = posizioni, archi = mosse reti elettriche nodi = connessioni, archi = elementi

4 ognuno amico di tutti gli altri GRAFO COMPLETO

5 nessuno amico di nessuno

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7 sottografo completo -> cricca (clique)

8 un altra cricca

9 cè almeno una persona con un numero pari di amici ?

10 grado di un nodo = numero nodi adiacenti somma dei gradi per ogni nodo = 2 volte numero degli archi numero nodi con grado dispari è pari come dimostrare per induzione ?

11 5 persone dicono A: ho 4 amici in (A,B,C,D,E) B: ho 3 amici in (A,B,C,D,E) C: ho 3 amici in (A,B,C,D,E) D: ho 2 amici in (A,B,C,D,E) E: ho 2 amici in (A,B,C,D,E) è possibile ?

12 A B C D E A BC ED

13 B C D E ABCED

14 B C D E ABCED

15 C D E ABCED

16 C D E ABCED la soluzione è unica ? A BC ED

17 ABCED A BC ED sono diversi, ma se non si tiene conto dei nomi, sono uguali hanno la stessa forma -> isomorfi

18 non isomorfi

19 A B C D E A BC ED

20 B C D E ABCED

21 B C D E ABCED

22 C D E ABCED

23 3 brocche: capacità 8, 5, 3 litri come ottenere 4 litri ? nodi=particolare distribuzione dei litri archi=mosse=versamenti ammissibili

24 siccome la somma totale è costante basta indicare il contenuto delle brocche piccole (0,0); (0,1); (0,2); (0,3); (1,0); (1,1); (1,2); (1,3); (2,0); (2,1); (2,2); (2,3); (3,0); (3,1); (3,2); (3,3); (4,0); (4,1); (4,2); (4,3); (5,0); (5,1); (5,2); (5,3); hmm… servono proprio tutti ?

25 (0,0); (0,1); (0,2); (0,3); (1,0); (1,1); (1,2); (1,3); (2,0); (2,1); (2,2); (2,3); (3,0); (3,1); (3,2); (3,3); (4,0); (4,1); (4,2); (4,3); (5,0); (5,1); (5,2); (5,3); possibile che nessuna brocca sia piena oppure vuota? NO

26 (0,0); (0,1); (0,2); (0,3); (1,0); (1,1); (1,2); (1,3); (2,0); (2,1); (2,2); (2,3); (3,0); (3,1); (3,2); (3,3); (4,0); (4,1); (4,2); (4,3); (5,0); (5,1); (5,2); (5,3); da escludere i casi in cui nessuna brocca è piena oppure vuota

27 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

28 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

29 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

30 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

31 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

32 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

33 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

34 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

35 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

36 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

37 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

38 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

39 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

40 (0,0) (0,1)(0,2) (0,3) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)(5,1)(5,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

41 (8,0,0) (0,8,0) (0,0,8) (7,0,1) (6,0,2) (5,0,3) (4,0,4) (3,0,5) (2,0,6) (1,0,7) (7,1,0) (6,2,0) (5,3,0) (4,4,0) (3,5,0) (2,6,0) (1,7,0)

42 (8,0,0) (7,0,1) (6,0,2) (5,0,3) (7,1,0) (6,2,0) (5,3,0) (4,4,0) (3,5,0) (2,5,1) (1,5,2) (0,5,3) (1,4,3) (2,3,3) (3,2,3) (4,1,3)

43 (8,0,0) (7,0,1) (6,0,2) (5,0,3) (7,1,0) (6,2,0) (5,3,0) (4,4,0) (3,5,0) (2,5,1) (1,5,2) (0,5,3) (1,4,3) (2,3,3) (3,2,3) (4,1,3)

44 (8,0,0) (7,0,1) (6,0,2) (5,0,3) (7,1,0) (6,2,0) (5,3,0) (4,4,0) (3,5,0) (2,5,1) (1,5,2) (0,5,3) (1,4,3) (2,3,3) (3,2,3) (4,1,3)

45 (8,0,0) (7,0,1) (6,0,2) (5,0,3) (7,1,0) (6,2,0) (5,3,0) (4,4,0) (3,5,0) (2,5,1) (1,5,2) (0,5,3) (1,4,3) (2,3,3) (3,2,3) (4,1,3)

46 (8,0,0) (7,0,1) (6,0,2) (5,0,3) (7,1,0) (6,2,0) (5,3,0) (4,4,0) (3,5,0) (2,5,1) (1,5,2) (0,5,3) (1,4,3) (2,3,3) (3,2,3) (4,1,3)

47 (8,0,0) (7,0,1) (6,0,2) (5,0,3) (7,1,0) (6,2,0) (5,3,0) (4,4,0) (3,5,0) (2,5,1) (1,5,2) (0,5,3) (1,4,3) (2,3,3) (3,2,3) (4,1,3)

48 (8,0,0) (7,0,1) (6,0,2) (5,0,3) (7,1,0) (6,2,0) (5,3,0) (4,4,0) (3,5,0) (2,5,1) (1,5,2) (0,5,3) (1,4,3) (2,3,3) (3,2,3) (4,1,3)

49 (8,0,0) (7,0,1) (6,0,2) (5,0,3) (7,1,0) (6,2,0) (5,3,0) (4,4,0) (3,5,0) (2,5,1) (1,5,2) (0,5,3) (1,4,3) (2,3,3) (3,2,3) (4,1,3) 7 versamenti

50 (8,0,0) (7,0,1) (6,0,2) (5,0,3) (7,1,0) (6,2,0) (5,3,0) (4,4,0) (3,5,0) (2,5,1) (1,5,2) (0,5,3) (1,4,3) (2,3,3) (3,2,3) (4,1,3) 6 versamenti

51 qual è il più grande insieme di persone che non si conoscono ?

52 qual è il più grande insieme di persone che non si conoscono ?

53 qual è il più grande insieme di persone che non si conoscono ?

54 ma non sempre si può provare, anzi …. qual è il più grande insieme di persone che non si conoscono ?

55 colorare i nodi in modo che nodi adiacenti abbiano colori diversi minimo numero di colori ?

56

57 ma non sempre si può provare, anzi ….

58 trovare un esempio (semplice) dove max cricca < numero cromatico max ind set > decomposizione in cricche

59 mappa geografica minimo numero di colori ?

60 mappa geografica minimo numero di colori ?

61 grafo planare ! Teorema (Appel Haken 1976): 4 colori sono sufficienti Congettura dal 1850

62 grafo planare ! Teorema (Appel Haken 1976): 4 colori sono sufficienti Congettura dal 1850

63 quattro colori sono necessari cricca da 4 nodi

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65 nodi

66 regioni

67 nodi 7 regioni archi n + r = a + 2 formula di Eulero

68 dimostrazione per induzione vera per n =1a=0r = 1 n + r = a + 2 vera per n-1 si aggiunge un nodo si aggiungono a-1 regioni si aggiungono a archi

69 cammino più corto ? 3

70 2

71 il più lungo fra i cammini più corti ? diametro del grafo cammino più corto ? 4 congettura: il diametro del grafo delle conoscenze (nel mondo) = 7

72 è possibile disegnare il grafo senza staccare la penna ?

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75 è possibile far sedere tutti attorno ad un tavolo rotondo in modo che ognuno sia seduto vicino a due amici ?

76 è possibile far sedere tutti attorno ad un tavolo rotondo in modo che ognuno sia seduto vicino a due amici ? problema del circuito hamiltoniano (molto difficile)

77 ? solo circuiti pari ma i nodi sono dispari !

78 e adesso ?

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80 è possibile far sedere a due a due le persone in modo da far sedere vicini solo amici ?

81 è possibile far sedere a due a due le persone in modo da far sedere vicini solo amici ?

82 come costruire un torneo in cui ogni squadra incontra ogni altra squadra ?

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93 !

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103 come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A B C D A B C D A B C D

104 come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A B C D A B C D A B C D

105 come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A B C D A B C D A B C D

106 come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A B C D A B C D A B C D

107 come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A B C D A B C D A B C D

108 come assegnare chi gioca in casa per ogni partita ? è possibile che ogni squadra alterni partite in casa con partite fuori casa ? A B C D A B C D A B C D colorare i nodi con due colori in modo da avere il massimo numero di archi con due colori e gli archi grossi obbligati con due colori

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114 n nodi n-1 archi m nodi n-m nodi m-1 archin-m-1 archi (m-1)+1+(n-m-1)=n-1 almeno due nodi di grado 1 2(n-1) somma dei gradi uguale a

115 alberi di supporto quanti ?

116 forse ? tutti gli archi archi dellalbero NO ERRATO ! perché?

117 se il grafo è completo

118 se il grafo non è completo det = 8 Laplaciano del grafo

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121 1

122 11

123 111

124 1110

125 11101

126 111010

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129 quante sono le stringhe di 0 e 1 tali che in ogni prefisso gli 0 sono meno degli 1 ? numeri di Catalan

130 1100 per n=2 =1

131 per n=3 =

132 per n=4 = isomorfi

133 I numeri di Catalan rappresentano una limitazione superiore al numero di alberi isomorficamente diversi

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