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EQUAZIONI Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, in una o più variabili, verificata solo per particolari valori attribuiti alle.

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2 EQUAZIONI Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, in una o più variabili, verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili che figurano in essa. Unequazione algebrica, in una sola variabile, si dirà di primo grado se la variabile che in essa figura è di primo grado. La variabile x si chiama incognita dellequazione. I particolari valori che attribuiti allincognita soddisfano lequazione, si chiamano soluzioni o radici dellequazione stessa. Se lequazione di 1° grado possiede una sola soluzione si dirà determinata. Esempio : 2x+5=11-x è un uguaglianza vera se x è uguale a 2. Il valore 2 è detto soluzione dell equazione. Se lequazione possiede infinite soluzioni si dirà indeterminata; infine, si dirà impossibile se non ammette soluzioni.

3 Data una generica equazione: A(x) = B(x) a coefficienti reali Chiameremo 1° membro lespressione posta a sinistra delluguale e 2° membro lespressione a destra. 3x+4=5-x+3 2° membro 1° membro

4 Classificazione Equazioni Razionali Le incognite non compaiono sotto un segno di radice Irrazionali Le incognite compaiono sotto un segno di radice Numeriche Oltre alle incognite non compaiono altre lettere letterali Oltre alle incognite compaiono altre lettere

5 Intere Se le incognite non compaiono al denominatore Fratte Se le incognite compaiono anche nei denominatori Le equazioni numeriche e letterali possono essere:

6 Pensa un numero …x raddoppialo …2x Aggiungi 3 2x+3

7 Quanto hai ottenuto? 7 Il numero che hai pensato è 2! Come ha fatto??? Questo semplice giochino si traduce in nellequazione 2x+3=7

8 Per trovare leventuale soluzione dellequazione è opportuno semplificarne la forma senza modificarne il significato… Il primo ed il secondo principio dequivalenza delle equazioni consentono di passare da unequazione data ad una ad essa equivalente di forma più semplice Per risolvere unequazione è necessario applicare un procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di trasformare unassegnata equazione in una nuova equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice. A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti principi di equivalenza.

9 I PRINCIPI DI EQUIVALENZA I principi di equivalenza sono basati su alcune proprietà riguardanti le uguaglianze numeriche: Siano A e B due numeri tali che: A = B (esempio 20 = 20) Definiamo 1°membro delluguaglianza lespressione a sinistra delluguale,2° membro lespressione a destra delluguale. 1) Se si aggiunge ad ambo i membri di questa uguaglianza uno stesso numero k allora si ottiene ancora unuguaglianza: A + k = B + k (esempio = = 27) 2) Se si moltiplicano ambo i membri di unuguaglianza per uno stesso numero p, diverso da zero, allora si ottiene ancora unuguaglianza. A p = B p (esempio 20 3 = = 60)

10 Conseguenza del primo principio dequivalenza: È possibile spostare un termine da un membro allaltro dellequazione a patto di cambiarlo di segno 5x+4=6+2x 5x+4-4=6+2x-4 5x=6+2x-4 Addizioniamo ad ambo i membri -4 È come aver spostato 4 al secondo membro ed avergli cambiato di segno 5x-2x=6+2x-4-2x Addizioniamo ad ambo i membri -2x 5x-2x=6-4 È come aver spostato 2x al primo membro ed avergli cambiato di segno

11 Conseguenza del secondo principio dequivalenza È possibile eliminare il coefficiente dellincognita 3x=2 Dividendo ambo i membri dellequazione per 3 x=2/3 È possibile ridurre equazioni a coefficienti razionali a equazioni a coefficienti interi 20x+5-24x=15

12 Concludendo: EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Si dice equazione di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici, a 0. Soluzione: x = - b / a Esempio: 2x - 3 = 0 x = 3 / 2

13 Equazione ax = b con a,b,x Equazioni determinate (una soluzione) ax = b Equazioni indeterminate (infinite soluzioni) 0x = 0 Equazioni impossibili (nessuna soluzione) 0x = b


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