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VARIABILI ALEATORIE n Sono presentate di seguito le nozioni di: n Variabile casuale (o aleatoria) (o numero aleatorio) n Funzione di probabilità n Funzione.

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1 VARIABILI ALEATORIE n Sono presentate di seguito le nozioni di: n Variabile casuale (o aleatoria) (o numero aleatorio) n Funzione di probabilità n Funzione di ripartizione n Variabili aleatorie discrete n Variabili aleatorie discrete doppie: –funzione di probabilità congiunta –funzioni di probabilità marginale –funzioni di probabilità condizionale n Variabili aleatorie continue: –funzione di densità di probabilità n Valori di sintesi di una variabile aleatoria (o valori caratteristici) n Esempi ed esercizi

2 LANCIO DI DUE DISTINTI DADI DA GIOCO: ESITI POSSIBILI

3 VARIABILI ALEATORIE (O CASUALI) (O NUMERI ALEATORI) n Con riferimento agli esiti del lancio di due dadi da gioco, si considerino le seguenti funzioni: n x = punteggio realizzabile con il primo dado: x= 1, 2, …, 6; n z = punteggio realizzabile con il secondo dado: z = 1, 2, …, 6; n s = punteggio somma: s := x + z; s = 2, 3, …, 12; n d = differenza tra i punteggi dei due dadi in valore assoluto: d :=|x - z|; d = 0, 1, 2,..., 5. n Nella tabella seguente sono riportate allinterno delle celle i valori di probabilità per ciascuna coppia di valori (s,d) possibili riguardanti le due variabili (o numeri) aleatorie s e d riportati rispettivamente nella prima riga e prima colonna n Di seguito: n X (maiuscolo) per indicare la funzione (numero) aleatoria; n x (minuscolo) una generica determinazione delle possibili: x = 1, 2, …, 6; n …... n D (maiuscolo) per indicare la funzione (numero) aleatoria; n d (minuscolo) una generica determinazione delle possibili: d = 0.1, …, 5.

4 ESITI PROBABILITA CONGIUNTA PROBABILITA MARGINALI

5 RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DELLE FUNZIONI DI PROBABILITÀ MARGINALI n Funzioni di probabilità.

6 RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DELLA FUNZIONE DI PROBABILITA n D := |X - Z |. n (1) p(d i ) 0, i = 1,2,…,N; n (2) p(d i ) = p(d i ) = P(D = d i ), i=1,2,…,N. didi p(0) = 6/36 (5, p(5)) p(1)=10/36 p(5) = 2/36

7 FUNZIONE DI RIPARTIZIONE n Siano: n X = funzione reale di, con ; X: ; n B = intervallo: B ; n X -1 (B) = contro immagine di B; X -1 (B) := { : X( ) B}; n Probabilità dellintervallo B (B ) n P(B) := P[X -1 (B)] = P[{ : X( ) B}]. n Intervalli di interesse: n B = (-, x], x ; n Funzione di ripartizione: n F(x) := P(X x) = P{X -1 ((-, x])}, x ;

8 RAPPRESENTAZIONE DELLA FUNZIONE DI RIPARTIZIONE n F(d) = P(D d), d. 1 6/36 16/36 30/ /36 34/36 ° ° ° ° ° d

9 FUNZIONE DI RIPARTIZIONE: PROPRIETA n La funzione di ripartizione F(x) di una variabile aleatoria X soddisfa le seguenti proprietà: n (i) F(x+ ) F(x), 0; (F(x) è monotona non decrescente) n n (ii) F(x+ ) = F(x), 0; (F(x) è continua da destra) n (iii) F(x) = 0; n n (iv) F(x) = 1. ;

10 VARIABILI ALEATORIE DISCRETE n Chiameremo variabili aleatorie (v.a.) discrete le v.a. che possono assumere con probabilità non nulla un numero finito o una infinita numerabile di determinazioni. n Esempi. n X = numero dei successi in n prove (n 1); x = 1,2,…,n; n Y = numero dordine delluscita per la prima volta della faccia sei nel lancio successivo di un dado da gioco; y = 1,2,…, n Z = voto conseguibile nellesame di statistica nel caso di superamento dellesame; z = 18, 19,…,30; n W = punti percentuali arrotondati al decimale della variazione giornaliera del prezzo (quotazione) di un titolo azionario; w = …, -0.3, -0.2, -0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.3, … ; n X 1 = altezza del primo studente cafoscarino incontrato al mattino di oggi nella fondamenta di S. Giobbe, arrotondata al centimetro. n Nel caso di variabili discrete risulta: n F(x) = p(x i ); x.

11 SUL RITARDO DI UN NUMERO NEL GIOCO DEL LOTTO. n Si supponga che il 13 sia in ritardo di ben x = 52 giornate (giornate nelle quali avvengono le estrazioni; di seguito semplicemente estrazioni) sulla ruota di Venezia. n Ci si chiede di valutare la probabilità che venga estratto entro le prossime z = 10 successive estrazioni, sempre della ruota di Venezia. n Sia X il numero aleatorio estrazione nella quale appare per la prima volta il 13, x =1,2,…. n Sia la probabilità che venga estratto il 13 in una estrazione, si ha: n = = 5/90. n Si ottiene: n (1) P(X = x) = (1- ) x-1, x = 1,2,…. n Si dimostra che la valutazione di probabilità (1) è coerente con un processo di successive estrazioni con assenza di memoria, risultando: n P(X > x+z | X x) = P(X > z), x =1,2..., z=1,2,…. n Segue anche: n P(X x+z | X x) = P(X z), x =1,2..., z=1,2,…. n Infatti, risulta: n P(X > x+z | X x) = P(X > x+z)/P(X x) = (1- ) y-1 / (1- ) y-1 = n n = (1- ) x+z / (1- ) x = (1- ) z = (1- ) y-1 = P(X > z).

12 SOMMA DI UNA SUCCESSIONE FINITA DI n (n>1) ADDENDI IN PROGRESSIONE GEOMETRICA n Si osservi che si ha: n S = 1 + q + q 2 + q 3 + … + q n-1 = (1-q n )/(1-q). n Infatti seguono: n qS = q + q 2 + q 3 + … + q n-1 +q n = S -1 + q n. n Dalla: n qS = S -1 + q n, n segue: n S = (1-q n )/(1-q). (c.v.d.) n Dati: b 1, b 2, b 3,…, b n, se risulta: b i /b i-1 = q, i = 2,3,…,n, si avrà quindi: n S = b 1 + b 2 + b 3 +…+ b n = b 1 (1 + q + q 2 + q 3 + … + q n-1 ) = b 1 (1-q n )/(1-q).

13 VARIABILI ALEATORIE CONTINUE: FUNZIONE DI DENSITA DI PROBABILITA n Funzione di densità di probabilità. n Considerato lintervallo B = {x: x 1 x x 2 }, se esiste una funzione non negativa f(y), y B, integrabile (secondo Riemann) in B, per la quale risulta: n ( ) F(x) = F(x 1 ) + f(y)dy ; x: x 1 x x 2. n f(y) è chiamata funzione di densità di probabilità della variabile aleatoria nellintervallo B = {x: x 1 x x 2 }. n La funzione di ripartizione (f.r.) F(x) è, per la ( ), assolutamente continua nellintervallo B = {x: x 1 x x 2 }. n La variabile aleatoria X, in questo caso, viene detta continua nellintervallo B = {x: x 1 x x 2 }. n Naturalmente B può essere un qualsiasi intervallo di o coincidere con.

14 VARIABILI ALEATORIE CONTINUE: FUNZIONE DI DENSITA DI PROBABILITA n Se la v.a. X è continua in, allora si avranno: n (1) F(x) = f(y)dy ; x ; n (2) P{(x 1 < X x 2 ]} = F(x 2 ) - F(x 1 ) = f(y)dy ; x 1 x 2 ; n (3) f(y)dy = 1.

15 VARIABILE ALEATORIA UNIFORME CON SUPPORTO LINTERVALLO [0, 2 ] n Sia dato il cerchio di raggio unitario. Si considerino i settori circolari definibili a partire dallorigine OA, quale ad esempio il settore circolare AOB con arco di lunghezza x (0 x 2 ). Una lancetta imperniata nel centro della circonferenza, fatta girare, si potrà fermare in un punto aleatorio lungo la circonferenza definente un arco di lunghezza X dallorigine OA che può risultare interno oppure esterno allarco del settore AOP. n La probabilità che si abbia (0 X x) è valutata pari al rapporto tra la lunghezza x dellarco AB e la circonferenza 2 del cerchio di raggio unitario. n Pertanto, avendo posto: n P (0 X x) = x/2, 0 x 2 ; n Si avrà: n 0, per x 0; n F(x) = x/(2 ), per 0 x 2 ; n 1, per 2 x. n In questo caso posto: n f(x) = 1/(2 ), per x: 0 x 2 e zero altrove, n si ha: n F(x) = f(y)dy = f(y)dy = x/(2 ), x: 0 x 2.

16 V.A. ESPONENZIALE n La v.a non negativa con la seguente funzione di ripartizione: n F(x) = 1 - exp(- x); per x 0; n è denominata v.a con funzione di distribuzione Esponenziale. n Si osservi che ponendo: n f(x) = exp(- x); per x 0 e zero altrove, n si ha: n F(x) = f(y)dy, x 0. n Si osservi che vale la seguente proprietà di assenza di memoria: n P(X > x+z | X x) = P(X > z), x 0, z 0. n Segue anche: n P(X x+z | X x) = P(X z), x 0, z 0. n Infatti risulta: n P(X > x+z | X x) = P(X > x+z )/P(X x) = exp[- (x+z)]/exp(- x) = n = exp(- z) = P(X > z), x 0, z 0. n Segue anche: n P(X x+z | X x) = 1- P(X > x+z | X x) = 1- P(X > z) n = P(X z), x 0, z 0. n

17 MEDIA DI UNA V.A. (O PREVISIONE, O VALORE ATTESO) n Data la v.a. X con f.r. F(x), chiameremo media (o valore medio, o previsione) della v.a. X, che indicheremo con E F (X), o più brevemente E(X), il seguente valore: n (1) E F (X) := xdF(x). n Nelle specificazioni: n se la variabile è discreta: n E(X) = x i p(x i ) ; n se la v.a. è continua: n E(x) = xf(x)dx. n La (1) è definita sotto la condizione di assoluta sommabilità (nel senso dellintegrale di Riemann-Stieltjes): n |x|dF(x) +.

18 MEDIA DI UNA FUNZIONE DI UNA V.A. (O PREVISIONE, O VALORE ATTESO) n Data la v.a. X con f.r. F(x), si consideri la funzione reale h(x). n la v.a. Y = h(X), ha valore medio: n E F {h(X)} := h(x)dF(x); n sotto la condizione di assoluta sommabilità (nel senso dellintegrale di Riemann- Stieltjes): n |h(x)|dF(x) +.

19 PROPRIETA DEL VALORE MEDIO n Data la v.a. X con f.r. F(x), valgono le seguenti proprietà esplicative della media = E F (X): n (1) se P(x_min X x_max) = 1, allora: x_min x_max ; n (2) E{(X- )} = 0; n (3) E{(X- ) 2 } E{(X-b) 2 }, b ; n (4) E F (X) = [1-F(x)]dx - F(x)dx ; n (5) se H(x) = F(x) + (1 - )G(x), x, 0< <1, allora: n E H (X) = E F (x) + (1 - )E G (x); n (6) E{(a+bX)} = a + bE(X); n (7) E(X+Y) = E(X) + E(Y).

20 PROPRIETA DI ORDINAMENTO STOCASTICO n Date le v.a. X ed Y con f.r. rispettivamente F(x) e G(y), se si ha: n X( ) Y( ), ; n P(X z) P(Y z), z ; n F(z) G(z), z ; n E F (X) E G (Y). n Se si ha: n F(z) G(z), z ; n scriveremo: n X F Y G ; n diremo che la v.a. X è dominata dalla v.a. Y (o che Y domina X).

21 VARIANZA DI UNA VARIABILE ALEATORIA n La varianza di una v.a. X, denotata con Var(X) è definita come segue: n Var(X) := E{[X-E(X)] 2 }. n La varianza di una variabile aleatoria sarà denotata anche con il simbolo 2. n Posti: n = E(X); = + ; n è denominata scarto quadratico medio (o standard error). n Le seguenti proprietà sintetizzano il significato conoscitivo della varianza. n (1) 2 E{(X-b) 2 }, b ; n (2) E{[(X- )/ ] 2 } = 1; n (3) E{(X- ) 2 } = E(X 2 ) - 2 ; n (4) Var{(a+bX)} = b 2 Var(X). n Dalla (3), risultando E{(X- ) 2 } 0, segue con immediatezza: n (5) [E(X 2 )] 1/2 E(X). n Date le v.a. (X,Y) con f.r. congiunta F(x,y), si ha X Y e quindi: n F(x,y) = F 1 (x)F 2 (y), n con F 1 (x) e F 2 (y) f.r. marginali rispettivamente di X e Y, allora segue: n (6) Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y).

22 V.A. DI BERNOULLI n La v.a con funzione di probabilità seguente: n ______________________ n x = 0 1 n ______________________ n p(x| ) = (1 - ) n ______________________ n con compreso tra zero ed uno (0 1) è chiamata v.a. con f. p. di Bernoulli. n Risultano con immediatezza: n E(X) = ; n Var (X) = (1 - ).

23 LA V.A. BINOMIALE n La v.a. discreta X, con supporto costituito dai primi n (n 1) numeri interi: x=0,1,2,…,n; con funzione di probabilità p(x|,n) dipendente dai parametri ed n: n p(x|,n) = x (1- ) (n-x), x = 0, 1, 2, …, n; 0 < <1; n 1; n è chiamata v.a. (con funzione di probabilità) Binomiale. n Genesi: La v.a. Binomiale è leggibile come v.a. numero dei successi in n prove e dunque come somma di n v.a. Z i, i=1,2,…,n, a due a due stocasticamente indipendenti con medesima funzione di probabilità di Bernoulli (medesimo valore di ). n Date n v.a. Z i, i=1,2,…,n, si ha: n (10) E( Z i ) = E(Z i ) n Date n v.a. Z i, i=1,2,…,n, a due a due stocasticamente indipendenti, vale la seguente proprietà: n (11) Var( Z i ) = Var(Z i ). n Pertanto, la media (o previsione o valore atteso) e la varianza della v.a. Binomiale risultano: n E(X|,n) = n ; n Var(X|,n) = n (1 - ).

24 V.A. DI POISSON n Si consideri la v.a. X con f.p. Binomiale e cioè con funzione di probabilità p(x|,n) dipendente dai parametri ed n: n p(x|,n) = x (1- ) (n-x), x = 0, 1, 2, …, n; 0 < <1; n 1. n Risultano: n E(X|,n) = n ; Var(X|,n) = n (1- ). n Sotto il vincolo che si abbia n =, ( > 0) e quindi = /n, n si dimostra che segue: n (1) x (1- ) (n-x) = e - x / x!, x = 0, 1, 2, …. n La v.a. con funzione di probabilità data dalla (1) è chiamata v.a. di Poisson. n La f.p. (1) è nota come funzione di probabilità degli eventi rari di Poisson. n Il valore medio e la varianza risultano rispettivamente pari a: n E(X) = E(X|,n) = n( /n) = ; n Var(X) = Var(X|,n) = n( /n)(1- /n) =.

25 FUNZIONE DI PROBABILITA DI POISSON n Ponendo = /n, risulta: n x (1- ) (n-x) = (n/n)(1-1/n)(1-2/n) [1-(x-1)/n]n x ( /n) x [1-( /n)] n [1-( /n)] -x /x! n Valendo il seguente limite notevole: n (1 - /n) n = e - ; n e risultando: n (1 - /n) -x = 0, per ogni x fissato n segue: n x (1- ) (n-x) = e - x /x!, x = 0, 1, 2, …. n Valendo il seguente sviluppo in serie: n e = x /x!, n segue: n E(X) = xe - x /x! = e - x-1 /(x-1)! =.

26 V.A. IPERGEOMETRICA n La v.a. X con funzione di probabilità seguente: n p(x|n,M,N) = n con x intero : max{0, [n-(N-M)]} x min{n, M}, n e chiamata v.a. ipergeometrica (o con f.p. ipergeometrica). n Il valore medio e la varianza risultano rispettivamente pari a: n E(X) = n(M/N); n Var(x) = n(M/N)(1-M/N)[(N-n)/(N-1)]. n Genesi: Può essere determinata quale variabile aleatoria numero dei successi su n estrazioni senza reinserimento (o in blocco) da unurna contenete M palline Bianche ed (N-M) palline Nere, chiamando successo luscita di una pallina Bianca.

27 LA V.A. GEOMETRICA n La v.a. X con funzione di probabilità seguente: n p(x| ) = (1- ) x-1, x= 1, 2, …; 0 1; n è denominata v.a.con f.p. geometrica. n Genesi: Numero dordine nel quale, in successivi esperimenti condotti nelle medesime condizioni, si verifica per la prima volta un evento avente probabilità di manifestarsi costante in ogni prova sperimentale e pari a. n La media e la varianza risultano rispettivamente: n E(X) =1/ ; n Var(X) = (1- )/ 2. n La media si ottiene come segue: n E(X) = x(1- ) x-1 = x(1- ) x-1 = -d[(1- ) x ]/d = n = - d[ (1- ) x ]/d = - d{ (1- )[1-(1- ) n ]/[1-(1- )]}/d = n = - d{(1- )/ }/d = - (-1/ 2 ) = 1/ ;

28 CONDIZIONE DI ASSOLUTA SOMMABILITA n Si consideri il seguente gioco di sorte. n Si lancia successivamente una moneta fino a quando si realizza per la prima volta levento Testa. n Il numero x, lancio nel quale si realizza per la prima volta levento Testa è aleatorio con f.p. p(x| ) geometrica, con = 1/2. n Se un gioco di sorte prevede la vincita di 2 x euro se si realizza Testa per la prima volta allx-esimo lancio, si osservi che in questo caso la vincita media non è definita poiché: n E(2 X ) = 2 x (1/2) x = 1, diverge. n Se un gioco di sorte prevede la vincita di 2 x euro se si realizza Testa per la prima volta allx-esimo lancio se pari e la perdita -2 x euro se si realizza Testa per la prima volta allx-esimo lancio se dispari, si osservi che in questo caso la vincita media non è definita poiché: n E{(-1) x 2 X } = (-1) x 2 x (1/2) x = ( …), oscilla. n In questi due casi non è soddisfatta la condizione di assoluta sommabilità della vincita aleatoria.

29 V.A. CON FUNZIONE DI PROBABILITA UNIFORME n La v.a. discreta X con determinazioni possibili (con probabilità diversa da zero) n x = 1,2,…,N, ciascuna con probabilità pari a 1/N: n ______________________________ n x = 1 2 … … N n ______________________________ n p(x) = 1/N 1/N … … 1/N n ______________________________ n è denominata v.a. discreta con f.p. uniforme. n Media, momento di ordine due e varianza risultano rispettivamente: n E(X) = ( …+ N)/N = [(1+N)(N/2)]/N = (1+N)/2; n E(X 2 ) = ( … + N 2 )/N = [N(N+1)(2N+1)/6]/N n Var(X) = E(X 2 ) - [E(X)] 2 = (N 2 - 1)/12. n Per la v.a. Dado, denotata di seguito con Z, ottenibile dalla v.a. con f.p. uniforme ponendo N = 6, si ottengono: n E(Z) = (1+6)/2 = 3.5 ; n Var(Z) = ( )/12 = 35/12.

30 SOMMA DI n ADDENDI IN PROGRESSIONE ARITMENTICA n Dati: b 1, b 2, b 3,…, b n, se risulta: b i -b i-1 = q, i = 2,3,…,n, si avrà: n S = b 1 + b 2 + b 3 +…+ b n-1 + b n = n = b 1 + (b 1 +q) + (b 1 +2q) + (b 1 +3q) + … + (b 1 +(n-2)q) + (b 1 +(n-1)q) = n = (b 1 +b n )(n/2). n Segue anche: n S = [b 1 + (b 1 +(n-1)q)](n/2) = nb 1 +q(n-1)n/2. n Vale la specificazione: n ( … + N) = (1 + N)(N/2).

31 SOMMA DEI QUADRATI DEI PRIMI n NUMERI INTERI n Risultano: n ( …+N 2 ) = i 2 = n = 1 + n n n n + N + N+ N N = n = i = (i+N)[(N-i+1)/2] = (-i 2 + i + N 2 + N)/2. n Segue quindi: n i 2 = -i 2 /2 + i/2 + N 2 (N+1)/2 ; n e quindi: n i 2 = (1/3)[(1+N)(N/2) + N 2 (N+1)] = N(N+1)(2N+1)/6.

32 V.A. CON FUNZIONE DI DENSITA UNIFORME [0, 1] n La v.a. X continua nellintervallo (a, b), (a b), con supporto costituito dallintervallo [a, b] {x: a x b}, con funzione di densità di probabilità f(x): n f(x) = 1/(b - a), per x: a x b e nulla altrove; n è chiamata v.a. (con funzione di densità di probabilità) Uniforme nellintervallo [a, b]. n Risultano: n E(X) = (a+b)/2; n Var(X) = (b - a) 2 /12. n Per la v.a. Z con f.d. Uniforme nellintervallo [0, 1], si ottengono: n E(Z) = 1/2; n Var(Z) = 1/12.

33 V.A. ESPONENZIALE n La v.a Esponenziale: n F(x) = 1 - exp(- x); per x 0; n ha media e varianza pari a: n E(X) =1/ ; n Var(X) = (1/ ) 2. n Si osservi che risulta: n E(X) = [1 - F(x)]dx = exp(- x)dx = = 1/ ;

34 V.A. CON FUNZIONE DI DENSITA DI PROBABILITA DI GAUSS (O NORMALE) n La v.a. X Normale o di Gauss ha funzione di densità di probabilità: n f(x|, 2 ) = [2 2 ] -1/2 exp[(-1/2)(x- ) 2 / 2 ], - x + ; n : - + ; n 2 0. n Si hanno: E(X) = ; Var(X) = 2. n Denotando con F(x|, 2 ) la f.r. di una v.a. Normale con media e varianza 2 e con G(z|0,1) la f.r. di una v.a. Normale con media zero e varianza uno, si ha: n F(x|, 2 ) = G((x- )/ |0,1). n Risultano: n ______________________________________ n Intervalli Probabilità n ______________________________________ n x n - x n x n x n x n - 2 x n x n - 3 x n __________________________________

35 QUANTILI n Data la v.a. X con f.r. F(x), si definisce quantile di ordine p (0 p 1), il valore x p F -1 (p) definito come segue: n x p F -1 (p) := inf(x: F(x) p). n Il quantile x 0.5 è chiamato mediana della v.a. X. n Per la v.a. con f.d. Normale risultano: n x = ; n x = ; n x = ; n x = ; n x = ; n x = ; n x = ; n x = ; n x =

36 DISUGUAGLIANZA DI CHEBYSHEV n Per la v.a. X con media e varianza 2, fissato, vale la seguente disuguaglianza: n P(| X - | ) / 2. n Si consideri la v.a. Y = (X - ) 2 e Z = h(X), definita come segue: n x: | x - |, h(x) = 0 ; n x: | x - |, h(x) = 2 ; n Si avranno: n E(Z) E[h(X)] = 2 [1 - P(| X - | )]; n E(Y) E[(X - ) 2 ] = 2 ; n Y Z; n E(Y) E(Z); n e quindi: n 2 2 [1 - P(| X - | )]; n da cui segue: n P(| X - | ) / 2.

37 DISUGUAGLIANZA DI CHEBYSHEV (CONTINUAZIONE) n Per la v.a. X con f.d.p. Normale risultano: n ___________________________________________________________ n Intervalli Probabilità Limite inferiore di Chebyshev n ___________________________________________________________ n x /(1.645) 2 = n x /(1.960) 2 = n x /(2.576) 2 = n ___________________________________________________________

38 DISUGUAGLIANZA DI JENSEN n Data la v.a. X con f.r. F(x), e valore medio E(X), considerata la funzione h(X) con media E[h(X)], si avrà in generale: E{h(X)} h(E{X}). n Se h(.) è una funzione monotona e quindi con funzione inversa h -1 (.), seguirà: n h -1 (E{h(X)}) E{X}. n (i) Se h(.) è una funzione convessa: n h( x 1 + (1- )x 2 ) h(x 1 ) + (1- )h(x 2 ), :0 1; n o equivalentemente: n x 0, (x 0 ): h(x) h(x 0 ) + (x-x 0 ), x ; n si ha: n E{h(X)} h(E{X}). n Esempio. x 2 è una funzione convessa di x; per la v.a. X segue pertanto: n E(X 2 ) [E(X)] 2. n (ii) Se h(.) e una funzione concava: -h(.) è convessa, si ha: n E{h(X)} h(E{X}). n Esempio. log(x), x 0, è una funzione concava di x e può essere interpretata quale funzione di utilità del valore monetario x; per la v.a. positiva X segue pertanto: n E{log(X)} log(E{X}). n Lutilità attesa è minore-uguale allutilità del valore monetario atteso. n Il certo equivalente allutilità attesa: x 0 : log(x 0 ) = E{log(X)}, e cioè x 0 = exp(E{log(X)}), è minore del valore monetario atteso E(X).

39 IL PARADOSSO DI S. PIETROBURGO n Si consideri il seguente gioco di sorte. n Si lancia successivamente una moneta fino a quando si realizza per la prima volta levento Testa. n Quanto si è disposti a versare per partecipare al gioco e vincere 2 x euro se si realizza Testa per la prima volta allx-esimo lancio? n Si osservi che la v.a. numero dordine del lancio nel quale si realizza per la prima volta levento Testa ha f.p. Geometrica: n p(x) = (1- ) x-1, x=1,2,…, con E(X) = 1/, con in questo caso =1/2. n Risultano: n E(2 X ) = 2 x (1/2) x = 1, con ( 1 ) = + ; n E{log(2 X )} = xlog(2)(1/2) x = log(2) x(1/2) x = log(2)E(x)=2log(2). n Se si considera la funzione log(.) come funzione di utilità della vincita monetaria, si conclude come segue: n la vincita monetaria attesa diverge e quindi dovremmo essere disposti a versare una cifra elevatissima per partecipare al gioco (ma così paradossalmente non accadrebbe), lutilità attesa è finita e il certo equivalente risulta pari a: exp{2log(2)} = 4.

40 ASIMMETRIA n Si consideri la v.a. X con funzione di probabilità p(x|n, ) Binomiale. n Se = 1/2, la funzione di probabilità è simmetrica con asse di simmetria passante per il punto x = x 0.5 =. n In questo caso risulta: n E{(x - ) 2k+1 } = 0, k =1,2,…. n Se 1/2, la funzione di probabilità è asimmetrica a sinistra (o negativamente) risultando x 0.5. n Se 1/2, la funzione di probabilità è asimmetrica a destra (o positivamente) risultando x 0.5. n Quale indice di asimmetria della f.p. o f.d.p. di una v.a. X si considera il seguente rapporto: n n E{(x - ) 3 }/[E{(x - ) 2 }] 3/2.

41 CURTOSI n Si può confrontare la legge di densità di probabilità di una qualsiasi v.a. con quella di una v.a. con f.d.p. Normale con uguale valore medio. n In una v.a. con f.d.p. Normale risulta: n E{(X- ) 4 }/[E{(x- ) 2 }] 2 = 3. n Pertanto per una v.a. continua X il seguente indice: n = E{(X- ) 4 }/[E{(x- ) 2 }] 2 - 3; n potrà risultare: n positivo, si dirà che la v.a. X ha f.d.p. ipernormale (o leptocurtica); n negativo, si dirà che la v.a. X ha f.d.p. iponormale (o platicurtica); n nullo, in tal caso si dirà che la v.a X non è né ipernormale, né iponormale.

42 TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE n Nella sua versione più semplice, il teorema del limite centrale afferma che date n v.a. stocasticamente indipendenti: X 1, X 2, …, X n, con: n i = E(X i ); n i 2 = Var(X i ); i=1,2,…,n; n la v.a. somma: n S = X 1 + X 2 + …+ X n ; n al divergere di n tende a distribuirsi con f.r. Normale: n S N(s| i, i 2 ). n Posti: n (n) = i ; n n 2 (n) = i 2 ; n denotando con F n (s| (n), 2 (n)) la f.r. della v.a. S e con G(z|0,1) la f.r. della v.a. Normale standardizzata, si avrà pertanto: n F n (s| (n), 2 (n)) = G([s- (n)]/ (n)|0,1).

43 APPROSSIMAZIONE DELLA f.r. BINOMIALE n Si possono approssimare i valori della funzione di ripartizione F(x|n, ) di una v.a. con f.p. Binomiale con quelli di della f.r. G(x|n, n (1- )) di una v.a. Normale con medesima media e medesima varianza. n Risulta in particolare: F(x|n, ) G(x+0.5| n, n (1- )), x=0, 1, 2, …, n. n Per n=10, =0.5, si ottengono i seguenti valori: n ____________________________________________ n x F(x|n, ) G(x+0.5| n, n (1- )) n ____________________________________________ n n n n n n n n n n n n ____________________________________________ n Lapprossimazione è tanto più buona quanto più n è elevato e è prossimo a 0.5.


Scaricare ppt "VARIABILI ALEATORIE n Sono presentate di seguito le nozioni di: n Variabile casuale (o aleatoria) (o numero aleatorio) n Funzione di probabilità n Funzione."

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