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Domingo Paola Liceo scientifico Issel di Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova Per docenti di quinta elementare Modena.

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1 Domingo Paola Liceo scientifico Issel di Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova Per docenti di quinta elementare Modena 8 Novembre 2005

2 Il nucleo di processo argomentare e congetturare caratterizza le attività che preparano alla dimostrazione, ossia a una delle attività che caratterizzano il pensiero matematico maturo, quale sarà acquisito nella scuola secondaria di secondo grado.

3 Si considerano perciò quei processi eminentemente discorsivi che concernono il pensiero matematico; essi risultano da un intreccio tra rappresentazioni simboliche (i segni dellaritmetica, le figure della geometria) e le attività discorsive su questi con cui il soggetto dà significato agli enunciati matematici che sono generalmente di tipo misto (segni specifici del linguaggio simbolico proprio della matematica e parole del linguaggio naturale).

4 Il significato dei segni matematici è analizzabile a due livelli: il primo significato riguarda principalmente gli oggetti matematici (per esempio un numero naturale); il secondo le relazioni tra questi (per esempio la relazione essere maggiore di)

5 Le attività argomentative in cui si producono ipotesi o si generano condizionalità sono riconducibili a due modalità principali […] caratterizzate dal diverso modo con cui il soggetto si rapporta al mondo esterno rispetto al suo mondo interno. La prima modalità è caratterizzata dalla produzione di congetture interpretative di ciò che si percepisce, per esempio al fine di organizzarlo. La seconda è caratterizzata dalla produzione di congetture previsionali

6 Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività in verticale Seconda - Terza elementare Il Signor O deve andare dal punto A al punto C che si trovano a una stessa distanza da una strada rettilinea. Unauto sta passando sulla strada e deve consegnare un pacco al Signor O. Questauto può viaggiare solo sulla strada, e può fermarsi nel punto indicato dal Signor O per incontrarlo e consegnargli il pacco. Siccome il Signor O è molto pigro, vuole compiere il cammino più breve possibile dal punto A al punto C passando per il punto in cui gli sarà consegnato il pacco sulla strada. Qual è il punto in cui deve farsi consegnare il pacco il Signor O per compiere il cammino più breve possibile?

7 Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività in verticale

8 Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Che cosa cambia se i punti A e C si trovano a diversa distanza dalla strada? Dove dobbiamo far posare il pacco? Quale sarà il percorso più breve per il Signor O? Un esempio di attività in verticale Quarta – Quinta elementare

9 Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Che cosa possiamo aspettarci come risposte a domande di questo tipo? Un esempio di attività in verticale Scuola primaria

10 Sotto osservazione: gli alunni capiscono la consegna? Sanno costruire un modellino della situazione con materiale povero (cartoncino, spilli…)? Producono congetture, ipotesi, come le validano? Come cambiano i ragionamenti dalla prima alla seconda situazione? Un esempio di attività in verticale Scuola primaria Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale

11 Un esempio di attività in verticale Scuola secondaria di primo grado Lo stesso problema con Cabri, suggerendo anche possibili interpretazioni sul piano cartesiano della variazione della distanza AF+FC al variare di F.

12 Che cosa possiamo aspettarci come risposte a domande di questo tipo? Un esempio di attività in verticale Scuola secondaria di primo grado Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale

13 Sotto osservazione: che cosa cambia nelle modalità di esplorazione con Cabri? Che cosa cambia nella comunicazione delle osservazioni e delle scoperte (gesti, metafore, segni …) Come cambiano le modalità di validazione? Quali difficoltà nella lettura del grafico? Un esempio di attività in verticale Scuola secondaria di primo grado

14 Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività in verticale Biennio scuola secondaria di secondo grado Il punto F si determina costruendo il punto A simmetrico di A rispetto alla retta su cui giace F e congiungendo C con A: perché? Richiesta di una dimostrazione

15 Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Che cosa possiamo aspettarci come risposte a domande di questo tipo? Un esempio di attività in verticale Biennio scuola secondaria di secondo grado

16 Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Sotto osservazione: Come cambiano le modalità di validazione? Apprezzano la potenza della dimostrazione e della generalizzazione? Che cosa cambia nella comunicazione delle osservazioni e delle scoperte (gesti, metafore, segni …) Un esempio di attività in verticale Biennio scuola secondaria di secondo grado

17 Attività 4. Come eravamo: il valore del denaro nel tempo (quinta elementare) Prima fase: racconto di esperienze personali Seconda fase: progettazione e realizzazione di un cartellone murale con una striscia del tempo dal 1946 a oggi e progettazione e realizzazione di una copia personale in scala Terza fase: raccolta di documenti e informazioni Quarta e quinta fase: rappresentazione con adeguati diagrammi cartesiani delle variazioni dei prezzi di vari prodotti e uso di adeguati indici per effettuare confronti

18 Importanza degli strumenti come mediatori nel processo di costruzione di conoscenza

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20 Che cosè una circonferenza?

21 Le calcolatrici nella scuola elementare Le operazioni in colonna s ì o no? Come è possibile utilizzare sensatamente le risorse che le calcolatrici mettono a disposizione? Che cosa si perde e che cosa si guadagna?

22 Al di fuori della scuola, la calcolatrice viene utilizzata come protesi che potenzia le nostre limitate capacità di calcolo e rende i risultati più affidabili. Questo schema dutilizzazione è appropriato per la scuola elementare? Se lobiettivo è quello di far conoscere agli alunni laritmetica elementare, come può essere utile uno strumento che nasconde i processi di calcolo e le proprietà delle operazioni limitandosi a fornire un risultato? Lo schema duso sociale della calcolatrice che viene fatto al di fuori della scuola non è adatto a essere importato nelle aule scolastiche dei primi anni della scuola elementare

23 è necessario pensare ad altre modalità di utilizzazione che consentano di perseguire lobiettivo prefissato, magari ponendo nuovi problemi esplorazione, osservazione, produzione e validazione di congetture per motivare, infine, a porsi e a rispondere a domande del tipo ma perché è così?

24 Esempi di attività Attività 1. (con la calcolatrice) Parti da 0 e aggiungi 5. Continua così, aggiungi sempre 5 al risultato che ottieni. Riuscirai mai a raggiungere il numero 37? E il numero 72? E se, invece, parti dal numero 2? E dal numero 3? Attività 2 (inizialmente senza la calcolatrice) Date nel tempo più breve possibile, senza usare la calcolatrice, due numeri che si avvicinino al risultato di Il primo numero deve essere più piccolo del risultato di , mentre il secondo numero deve essere maggiore. Lo scopo è di rendere più piccola possibile, nel breve tempo concesso, la differenza tra i due numeri forniti.

25 Più ancora delle risposte che vengono fornite alle domande del tipo perché? è il senso, il significato di queste domande a essere importante: è necessario lavorare costantemente e sistematicamente ai fianchi gli alunni per portarli a comprendere il significato delle domande del tipo perché. Le risposte a queste domande possono darsi solo ricorrendo alla teoria, ossia a un sistema di conoscenze organizzate, nel quale certi fatti sono utilizzati per spiegarne altri.

26 Software di geometria dinamica e insegnamento – apprendimento della geometria nella scuola elementare

27 Caratteristiche di questo ambiente: Fogli di lavoro già costruiti dallinsegnante e sui quali gli studenti possano effettuare esplorazioni e osservazioni limitandosi alluso del mouse. Menu equilibrato, costruito sullesperienza degli studenti. Aspetto delicato: acquisizione dello schema duso del trascinamento.

28 attività di questo tipo, se inserite in un ambiente di insegnamento – apprendimento opportuno, potrebbero aiutare significativamente levoluzione dallesplorazione e osservazione di fatti geometrici, alla verbalizzazione di quanto osservato e alla produzione e formulazione di congetture Ma che cosa vuol dire ambiente di insegnamento – apprendimento opportuno?

29 didattica lunga, tesa alla costruzione di significati per gli oggetti di studio attenzione dellinsegnante rivolta ai processi di pensiero degli studenti motivare gli studenti a produrre pensiero e ad ascoltare e discutere le idee che emergono con il lavoro in classe. condividere un concetto di razionalità più ampio di quello che in genere si individua con il termine razionalità scientifica

30 Noi conosciamo fatti e possediamo un sapere su di essi soltanto quando, contemporaneamente, sappiamo perché i giudizi corrispondenti sono veri. Altrimenti parliamo di sapere intuitivo o implicito, di un sapere pratico di come si fa qualcosa. Ci si può benissimo intendere di qualcosa senza sapere che cosa è che costituisce queste competenze. Invece lespresso sapere qualcosa è implicitamente legato a un sapere perché e rimanda, per questo, a potenziali giustificazioni. […] Naturalmente ciò non significa che opinioni o convinzioni razionali siano sempre composte di giudizi veri. Chi condivide opinioni che si dimostrano non vere non è ipso facto irrazionale; irrazionale è chi difende dogmaticamente le proprie opinioni e le mantiene, pur vedendo che non può motivarle. Per qualificare unopinione come razionale basta che essa, nel contesto di giustificazione dato, possa con buone motivazioni essere ritenuta vera, ossia accettata razionalmente Habermas

31 Ma che cosa vuol dire didattica sensata? Sensatus : giudizioso, ragionevole Sensus : sentire per mezzo dei sensi Didattica sensata: ragionevole e legata ai sensi

32 Galileo Galilei, quando parlava di sensata esperienza, si riferiva alla necessaria compresenza, per lo studio del mondo, di aspetti percettivi e di aspetti razionali. Il sogno di Galileo è unimmagine del sapere. In essa si dice che gli uomini possono conoscere il mondo facendo appello solamente alle dimostrazioni matematiche e agli esperimenti […] Secondo Galileo, infatti, i discorsi nostri hanno a essere intorno al mondo sensibile e non sopra un modo di carta E. Bellone

33 I nostri studenti possono conoscere il mondo facendo appello ai sensi e alle teorie: quelli per percepire e fondare, sulle percezioni, i significati degli oggetti di studio, quelle per aiutare a orientarci nel labirinto delle percezioni, per sistemare e organizzare le nostre conoscenze in modo da poter rispondere ai perché. Da modalità di insegnamento – apprendimento ricostruttivo – simboliche a modalità percettivo – motorie

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