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1 Giulia Rotundo Università degli Studi della Tuscia RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16.

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1 1 Giulia Rotundo Università degli Studi della Tuscia RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio

2 2 RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie 90

3 3 MATEMATICA COMBINATORIA TEORIA DEI GRAFI INFORMATICA RANDOM NETWORKS TEORIA DELLA PERCOLAZIONE FISICA AREE DI STUDIO COMPLEX NETWORKS RICERCA OPERATIVA 90

4 4 RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio Definizione di network; esempi; 2.Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; 3.Processi diffusivi su reti; 4.Self-organized criticality; 5.Applicazioni economiche e finanziarie. 90

5 5 rete grafo (graph) (Sylvester (1878) Nature)Sylvester Definizione Nodi (vertici, unità) Archi (edges, lines). Un arco unisce due nodi. Un grafo è un insieme di: Applicazioni: i grafi servono per creare modelli astratti di problemi concreti. RANDOM + NETWORKS

6 6 Leonhard Euler ( ) 90

7 7 Koenigsberg ed il problema dei 7 ponti (Eulero, 1736) Problema: Esiste un cammino che attraversi tutti i ponti percorrendo ciascuno di essi una volta sola ? esempio Lunghezza del cammino= N. dei suoi archi PROBLEMI DI CAMMINO MINIMO Cammino (path): Sequenza di nodi uniti da archi

8 8 Osservazione: studio del caso peggiore del cammino minimo= studio del diametro esempio Applicazioni: Il problema del commesso viaggiatore Problemi di trasporto Logistica Instradamento del flusso dati (reti di comunicazione) … PROBLEMI DI CAMMINO MINIMO Osservazione: Limite superiore per la lunghezza del cammino Diametro lunghezza del path più lungo tra due nodi del grafo 90

9 9 RANDOM + NETWORKS rete grafo (graph) (Sylvester (1878) Nature)Sylvester Definizione Utilizzo di metodi probabilistici Studio delle proprietà che valgono con alta probabilità per grafi ottenuti utilizzando particolari distribuzioni di probabilità per selezionare nodi ed archi. 90

10 10 RANDOM NETWORKS Primo articolo sui random graphs (Erdos e Renyi, 1959) 1.esempio Rete con N nodi e connettendo ogni coppia di nodi con probabilità p Osservazione: Il numero delle coppie di nodi è N(N-1)/2 Osservazione: il valore atteso del numero di archi m è E(m)= p N(N-1)/2 Domande classiche: Come dipende il diametro dal numero di nodi? Esiste un cammino che tocca tutti i nodi (ovvero, il grafo è connesso)? Ci sono cammini del tipo (triangoli) ? Obbiettivo: trovare la soglia p c oltre la quale le proprietà sono verificate quasi sempre. 90

11 11 RANDOM NETWORKS Scoperta principale: per molte proprietà p(N) esiste p c (N) tale che 1.esempio - Se la p(N) cresce con N più velocemente di p c (N) allora quasi ogni grafo con probabilità di connessione p(N) ha la proprietà Risposte: 1. diametro=O(log(N)) 2. -Se il valore medio degli archi uscenti da un nodo è 3. solo se p>=1/N - Se la p(N) cresce con N più lentamente di p c (N) allora quasi ogni grafo con probabilità di connessione p(N) NON ha la proprietà Domande classiche: 1. Come dipende il diametro dal numero di nodi? 2. Esiste un cammino che tocca tutti i nodi (ovvero, il grafo è connesso)? 3. Ci sono triangoli ? =pN<1, no > 1 no, ma il diametro è lo stesso di un grafo dello stesso tipo e connesso >=ln(N) si 90

12 12 Random networks Formalizzazione matematica e calcolo della soluzione Ottima; algoritmi. Utilizzo della probabilità e soprattutto del calcolo combinatorio per lo studio della dipendenza del diametro dal numero dei nodi ed archi Ricerca operativa Complex networks 1. esempio Differenze di approccio tra le varie discipline Utilizzo della probabilità per studiare reti con particolari strutture e proprietà Studio delle componenti connesse Percolazione

13 13 RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio Definizione di network; esempi; 2.Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; 3.Processi diffusivi su reti; 4.Self-organized criticality; 5.Applicazioni economiche e finanziarie. 90

14 14 RANDOM NETWORKS grafi ottenuti utilizzando particolari distribuzioni di probabilità per selezionare nodi ed archi. COMPLEX NETWORKS grafi con proprietà topologiche non banali 2. Dalle random network alle complex network Il termine COMPLEX è in opposizione a SEMPLICE Reti SEMPLICI sono quelle con struttura regolare, come le griglie (lattice) oppure grafi completi (ciascun nodo è collegato con ciascun altro).

15 15 Proprietà importanti: 2. Dalle random network alle complex network 1.Clustering 2.Betweenness 3.Small world 4.Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free 5.Assortativity/disassortativity 6.Community structure 7.Hierarchical structure 8.Resilience 90

16 16 Gli amici dei miei amici sono miei amici? 2.Dalle random network alle complex network 1. clustering coefficient Clustering coefficient = N. triangoli cui manca un arco + + = A B C D A è amico di B che è amico di A e C, ma A e C non sono amici Proprietà di transitività 90

17 17 Gli amici dei miei amici sono miei amici? 2.Dalle random network alle complex network 1. clustering coefficient C Reti sociali Reti tecnologiche 90 Reti complesse:

18 18 Gli amici dei miei amici sono miei amici? 2.Dalle random network alle complex network 1. clustering coefficient C reti puramente random: C=O(n -1 ) 90 Griglie non triangolari: C=0 Grafi totalmente connessi: C=1

19 19 Proprietà importanti: 2. Dalle random network alle complex network 1.Clustering 2.Betweenness 3.Small world 4.Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free 5.Assortativity/disassortativity 6.Community structure 7.Hierarchical structure 8.Resilience 90

20 20 2.Dalle random network alle complex network 2. betweenness (centrality) Esprime limportanza di un nodo nel grafo Numero dei cammini più brevi tra qualsiasi coppia di nodi che passa attraverso v C(v)= Numero dei cammini più brevi tra qualsiasi coppia di nodi Esempio: il nodo ha C(v) più alto betweenness (rosso=0,blu=massimo) 90

21 21 Proprietà importanti: 2. Dalle random network alle complex network 1.Clustering 2.Betweenness 3.Small world 4.Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free 5.Assortativity/disassortativity 6.Community structure 7.Hierarchical structure 8.Resilience 90

22 22 il diametro della rete è piccolo rispetto al numero di nodi N (<=log(N)) Esempi (reti sociali): esperimento del sociologo Stanley Milgram (1967): è possibile contattare chiunque tramite (in media) d=6 conoscenti Per gli attori di Hollywood (in media) d=3.65 Co-autori matematici (in media) d =9.5 Fotografia di un poster nella metro di Parigi che pubblicizzava una serie di eventi musicali (agosto 2007) 2.Dalle random network alle complex network 3. small world 90

23 23 Kevin Bacon number: Kevin Bacon. Nick Nolte CAPE FEARRobert De Niro GOODFELLASJoe Pesci JFK Grado di separazione di Nick Nolte: 3 Val Kilmer Tom Cruise Kevin Bacon Numero di conoscenze intermedie per arrivare a Kevin Bacon (gioco del 1994) Grado di separazione di Val Kilmer: 2 TOP GUNA FEW GOOD MAN Esempio 1 Esempio 2 2.Dalle random network alle complex network 3. small world

24 24 Erdős–Bacon number: Erdős : matematico ungherese Numero di Erdős = lunghezza della più breve catena di coautori in cui solo lultimo ha scritto un lavoro con Erdős Erdős–Bacon number= Erdős number + Bacon number Esempio: Erdős ha Bacon number 3: Erdős -> N is a number: a portait of Paul Erdős -> Mark Adler -> Rat Pack -> Joe Mantegna -> Sognando Manhattan K.Bacon 2.Dalle random network alle complex network 3. small world 90

25 25 Proprietà importanti: 2. Dalle random network alle complex network 1.Clustering 2.Betweenness 3.Small world 4.Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free 5.Assortativity/disassortativity 6.Community structure 7.Hierarchical structure 8.Resilience 90

26 26 Grado 1 Grado 2Grado 3 Per ogni rete si può calcolare la probabilità P(k) del grado k dei nodi Grado di un nodo = numero di archi uscenti 2.Dalle random network alle complex network 4. scale-free Reti scale-free: P(k) k - 90

27 27 2.Dalle random network alle complex network 4. scale-free 90

28 28 single-scale network Decresce rapidamente. Esempi: random networks (decrescita esponenziale), traffico tra aeroporti, rete di conoscenti: comunità mormone dello Utah, studenti della scuola superiore. Sono small world le reti in cui la distribuzione di probabilità del grado dei nodi 2.Dalle random network alle complex network 4.a confronto small-world e scale-free broad-scale network Decresce polinomialmente fino ad un certo punto e poi più rapidamente (cutoff) Esempi: movie-actor network scale-free network Decresce polinomialmente Esempi: rete di citazione di lavori scientifici, www, Internet (router, domini), reti elettriche, rete neurale del verme caenorhabditis elegans, …

29 29 Osservazione: le griglie NON sono small world e NON sono scale-free Lattice d=1 Lattice d=2 Lattice d=3 Come costruire una rete scale-free? 2.Dalle random network alle complex network 4.a confronto small-world e scale-free 90

30 30 preferential attachment I nuovi nodi che sono aggiunti alla rete sono collegati più facilmente a nodi che hanno più archi. 2.Dalle random network alle complex network 4.b algoritmi per le scale-free networks Modelli di reti sociali 90

31 31 Proprietà importanti: 2. Dalle random network alle complex network 1.Clustering 2.Betweenness 3.Small world 4.Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free 5.Assortativity/disassortativity 6.Community structure 7.Hierarchical structure 8.Resilience 90

32 32 Assortative networks: I nuovi nodi che sono aggiunti alla rete sono collegati più facilmente a nodi che hanno più archi. 2.Dalle random network alle complex network 5. assortativity/disassortativity Esempi: reti sociali Correlazione tra i gradi di nodi uniti da archi Disassortative networks: Nodi con pochi archi sono collegati con nodi con molti archi e viceversa. Esempio: reti tecnologiche 90

33 33 Grafo dei collegamenti dalla pagina principale di wikipedia 90

34 34 Proprietà importanti: 2. Dalle random network alle complex network 1.Clustering 2.Betweenness 3.Small world 4.Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free 5.Assortativity/disassortativity 6.Community structure 7.Hierarchical structure 8.Resilience 90

35 35 I nodi si dividono in gruppi con - alta densità di connessioni fra di loro e - bassa densità di connessioni verso gli altri 2.Dalle random network alle complex network 6. community structure Esempio: rete di amicizie nelle scuole 90

36 36 Proprietà importanti: 2. Dalle random network alle complex network 1.Clustering 2.Betweenness 3.Small world 4.Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free 5.Assortativity/disassortativity 6.Community structure 7.Hierarchical structure 8.Resilience 90

37 37 2.Dalle random network alle complex network 7. strutture gerarchiche 90 Caso particolare della suddivisione In communities

38 38 Proprietà importanti: 2. Dalle random network alle complex network 1.Clustering 2.Betweenness 3.Small world 4.Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free 5.Assortativity/disassortativity 6.Community structure 7.Hierarchical structure 8.Resilience 90

39 39 Robustezza delle reti rispetto a rimozione random dei nodi -scale-free: rimozione di piu del 99% dei nodi 2.Dalle random network alle complex network 8. resilience Interventi mirati: isolare gli hubs (nodi piu connessi) Assortative: rimuovere il club centrale Disassortative: gli hubs sono sparsi nella rete 90

40 40 Interventi mirati: isolare gli hubs Robustezza delle reti rispetto a rimozione random dei nodi -scale-free: rimozione casualedi piu del 99% dei nodi 2.Dalle random network alle complex network 8. resilience Assortative: rimuovere il club centrale Disassortative: rimuovere gli hubs sparsi nella rete 90 La proprietà di resilience è particolarmente importante nello studio della diffusione di epidemie.

41 41 RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio Definizione di network; esempi; 2.Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; 3.Processi diffusivi su reti; 4.Self-organized criticality; 5.Applicazioni economiche e finanziarie. 90

42 42 La struttura della rete è importante per lo studio dei processi diffusivi 3. Processi diffusivi Problema importante per la diffusione delle epidemie. Esempio: diffusione della SARS Interventi mirati: isolare gli hubs 90

43 43 Importanza della struttura dei primi vicini: diffusione delle epidemie 3. Processi diffusivi Disassortative Neutral Assortative t 90

44 44 Diffusione dellinformazione 3. Processi diffusivi importanza della struttura dei primi vicini

45 45 The Diffusion of Innovations in Social Networks H. Peyton Young [..] New ideas and ways of doing things do not necessarily take hold all at once, but often spread gradually through social networks. In a classic study, Coleman, Katz, and Menzel (1966) showed how doctors willingness to prescribe the new antibiotic tetracycline diffused through professional contacts. A similar pattern has been documented in the adoption of family planning methods, new agricultural practices, and a variety of other innovations (Rogers and Shoemaker, 1971; Rogers and Kincaid, 1981; Rogers, 1983; Valente, 1995). In the first stage a few innovators adopt, then people in contact with the innovators adopt, then people in contact with those people adopt, and so forth until eventually the innovation spreads throughout the society. [..] 3. Processi diffusivi importanza della struttura dei primi vicini 90

46 46 RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio Definizione di network; esempi; 2.Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; 3.Processi diffusivi su reti; 4.Self-organized criticality; 5.Applicazioni economiche e finanziarie. 90

47 47 3. Self-organized criticality Self-organized criticality is a property of (classes of) dynamical systems which have a critical point as an attractor.dynamical systemscritical point attractor Their macroscopic behaviour thus displays the spatial and/or temporal scale-invariance characteristic of the critical point of a phase transition, but without the need to tune control parameters to precise values.scale-invariancecritical pointphase transition Modello di Bak e Sneppen 90

48 48 1-d Bak-Sneppen Evolution Model L agents Fitness Drawn at t=0: uniform distribution in (0,1) coevolution: at each time step t the lowest f i and its first 2 neighbours are replaced by a uniform sampling min(fi) 90

49 49 Caratteristiche per Soglia critica f c : i valori di f i hanno una distribuzione uniforme al di sopra di un valore f c : Avalanche: Durata di un avalanche= tempo che intercorre tra due istanti in cui tutti i valori sono al di sopra di f c Probabilità di avere un avalanche di durata s: Media delle fitness

50 50 Modello co-evolutivo Fase transiente Fase stabile 90

51 51 2-d Bak-Sneppen Evolution Model L 2 agents Fitness drawn at t=0 : uniform distribution coevolution: at each time step t the lowest f i and its first 4 neighbours are replaced by a uniform sampling 90

52 52 90

53 53 RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio Definizione di network; esempi; 2.Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; 3.Processi diffusivi su reti; 4.Self-organized criticality; 5.Applicazioni economiche e finanziarie. 90


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