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MATEMATICA O ARTE? Gruppo 3 Le Permutazioni Permutare n oggetti significa cambiare lordine in cui tali oggetti sono disposti. 1234 3214.

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2 MATEMATICA O ARTE? Gruppo 3

3 Le Permutazioni Permutare n oggetti significa cambiare lordine in cui tali oggetti sono disposti

4 Definizione di gruppo In generale si dice gruppo un insieme dotato di unoperazione che gode delle seguenti proprietà ASSOCIATIVA IDENTITA INVERSO Anche le permutazioni sono un Gruppo

5 Simmetrie di figure geometriche Classificazioni delle isometrie del piano. (Chasles, 1831) Riflessioni (o ribaltamenti); Rotazioni; Traslazioni; Glissoriflessioni.

6 Simmetrie dei triangoli e quadrati

7 Che cosè un reticolo? Un reticolo è un insieme di punti del piano (o dello spazio) indotto dal gruppo generato da due traslazioni associate a vettori indipendenti.

8 Classificazione dei reticoli piani Le simmetrie di un reticolo piano dipendono dalla forma del parallelogramma di base, o cella elementare.

9 Sistemi regolari di punti E un insieme di punti ottenuto ripetendo uno stesso insieme di punti lungo i filari di un reticolo ad intervalli uguali al periodo di identità del filare. Esempi sono le tassellazioni o tappezzerie nel piano e cristalli nello spazio.

10 I Fregi Sono un gruppo di isometrie che contiene solo una: Traslazione; Rotazioni; Riflessioni. In totale sono 7.

11 Esempio di fregio

12 Tassellazioni nel piano I gruppi associati agli insiemi delle simmetrie delle tassellazioni sono 17. Un tipo di tassellazioni che permette di coprire il piano sono le tassellazioni di Penrose che non contengono simmetrie al loro interno.

13 Tassellazione di Penrose

14 Applicazione nellarte: Escher

15 Isometrie nello spazio Riflessioni rispetto a un piano; Rotazioni; Traslazioni; Glissoriflessioni; Glissorotazioni; Riflessioni rotatorie. I gruppi associati a queste simmetrie sono 230

16 Il tetraedro Ha esattamente 24 simmetrie E ci sono 4 rotazioni di 120°, 4 di 240°, 3 rotazioni di 180°, 6 riflessioni e lidentità, 6 riflessioni rotatorie ad uno dei 3 assi di rotazione


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