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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Le strutture algebriche e le matrici Bruna Consolini Liceo Norberto Rosa - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico.

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1 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Le strutture algebriche e le matrici Bruna Consolini Liceo Norberto Rosa - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico

2 DEFINIZIONE DI MATRICE Una matrice A(m,n) a i,j I è una tabella finita di elementi a i,j I posti su righe e colonne i = 1, 2 … m - j =1, 2 … n

3 ESEMPI

4 MATRICI PARTICOLARI MATRICE SIMMETRICA MATRICE NULLA MATRICE IDENTITA MATRICE TRIANGOLARE

5 TIPI DI MATRICI Matrice rettangolare mxn con m n Matrice rettangolare mxn con m n Matrice quadrata se m = n Matrice quadrata se m = n Matrici hanno la stessa dimensione se hanno lo stesso numero di righe e di colonne Matrici hanno la stessa dimensione se hanno lo stesso numero di righe e di colonne Matrici sono uguali se hanno la stessa dimensione e se sono uguali gli elementi della stessa posizione Matrici sono uguali se hanno la stessa dimensione e se sono uguali gli elementi della stessa posizione Matrice trasposta M di M se si scambiano le righe con le colonne Matrice trasposta M di M se si scambiano le righe con le colonne

6 SOMMA DI MATRICI Si definisce matrice somma di due matrici A(m,n) e B(m,n) la matrice che ha come elementi la somma delle coppie di elementi che occupano la stessa posizione. A(m,n)=(a i,j ) B(m,n)=(b i,j ) S(m,n) = (s i,j ) si,j = a i,j + b i,j A e B devono avere la stessa dimensione … S ha ancora la stessa dimensione

7 ESEMPIO SOMMA La somma può essere calcolata per matrici quadrate o rettangolari… La matrice nulla funge da elemento neutro Per ogni matrice A esiste la matrice opposta -A

8 DEFINIZIONE DI GRUPPO Linsieme R (mxn) delle matrici di dimensioni mxn dotato delloperazione somma è un gruppo commutativo in quanto vengono rispettate le seguenti condizioni: G1) – proprietà associativa G2) – esistenza dell'elemento neutro G3) – esistenza del simmetrico G4) – proprietà commutativa

9 PRODOTTO DI MATRICI Si definisce matrice prodotto di due matrici A(m,n) e B(n,p) la matrice P(m,p) i cui elementi sono la somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga di A per la j-esima colonna di B A(m,n) =(a i,j ) B(n,p)=(b j,k ) P(m,p) = (p i,k ) p i,k = a i,1 b 1k + a i,2 b 2,k +….a i,n b n,k A deve avere il numero delle colonne uguale al numero delle righe di B P ha il numero di righe di A e il numero di colonne di B

10 ESEMPIO PRODOTTO

11 PRODOTTO… PROP. ASSOCIATIVA E DISTRIBUTIVA

12 PRODOTTO… PROP. ESISTENZA ELEMENTO NEUTRO SOLO PER MATRICI QUADRATE

13 PRODOTTO… PROP. ESISTENZA MATRICE INVERSA PRIMO CASO PRIMO CASO SECONDO CASO SOLO PER MATRICI QUADRATE

14 PRODOTTO … PROP. COMMUTATIVA Date 2 matrici A e B per cui si può calcolare P1=A*B, Non sempre si può calcolare P2=B*A Non sempre si può calcolare P2=B*A Esempio A(2,3) B(3,4) Esempio A(2,3) B(3,4) Se si può calcolare, P1 e P2 potrebbero avere dimensioni diverse Se si può calcolare, P1 e P2 potrebbero avere dimensioni diverse Esempio A(2,3) B(3,2) P1(2,2) P2(3,3) Esempio A(2,3) B(3,2) P1(2,2) P2(3,3) Se si può calcolare, P1 e P2 potrebbero avere stessa dimensione ma valori differenti Se si può calcolare, P1 e P2 potrebbero avere stessa dimensione ma valori differenti Esempio ………………. Esempio ……………….

15 ESEMPIO PRIMO CASO PRIMO CASO SECONDO CASO

16 PRODOTTO… LEGGE DELLANNULLAMENTO Date due matrici non nulle è possibile che A*B=O Date due matrici non nulle è possibile che A*B=O Dati due numeri vale sempre Dati due numeri vale sempre n*m=0 n=0 m=0 n*m=0 n=0 m=0

17 PRODOTTO… LEGGE DELLA CANCELLAZIONE Date tre matrici è possibile che A*B=A*C anche se B C Date tre matrici è possibile che A*B=A*C anche se B C Dati due numeri vale sempre Dati due numeri vale sempre n*m=n*p m=p n*m=n*p m=p

18 DEFINIZIONE DI MONOIDE Linsieme R (nxn) delle matrici quadrate di dimensioni nxn dotato delloperazione prodotto è un monoide non commutativo in quanto vengono rispettate le seguenti condizioni: G1) – proprietà associativa G2) – esistenza dell'elemento neutro

19 LANELLO DELLE MATRICI QUDRATE La struttura (R (nxn),+, * ) delle matrici quadrate di dimensioni nxn dotata delle operazioni somma e prodotto è un anello unitario non commutativo in quanto vengono rispettate le seguenti condizioni: (R(nxn),+) è un gruppo commutativo G1) – (R(nxn),+) è un gruppo commutativo (R(nxn),* ) è un monoide non commutativo G2) – (R(nxn),* ) è un monoide non commutativo il prodotto è distributivo rispetto alla somma G3) – il prodotto è distributivo rispetto alla somma

20 PER DIVENTARE UN CORPO… MATRICI MATRICI MATRICI SINGOLARI MATRICI SINGOLARI SOLO MATRICI QUADRATE NON SINGOLARI

21 DETERMINANTE Per le matrici det(A)=a 1,1 *a 2,1 – a 1,2 *a 2,1 Per le matrici det(A)=a 1,1 *a 2,1 – a 1,2 *a 2,1 Per le matrici A(n,n) esiste la regola di Laplace Per le matrici A(n,n) esiste la regola di Laplace Si definisce determinante di una matrice quadrata A(n,n) avente come elementi dei numeri reali un numero reale indicato con det(A)

22 COMPLEMENTO ALGEBRICO Esempio: Esempio: Si definisce complemento algebrico di un elemento a r,s di una matrice quadrata A(n,n) il determinante della matrice ottenuta sopprimendo alla matrice A la r-sima riga e la s-sima colonna preceduto da segno + se r+s è pari, dal segno – se r+s è dispari

23 MATRICE INVERSA

24 MATRICI QUADRATE NON SINGOLARI La struttura (R(nxn),+, * ) delle matrici quadrate non singolari di dimensioni nxn dotata delle operazioni somma e prodotto è un corpo in quanto vengono rispettate le seguenti condizioni: (R(nxn),+) è un gruppo commutativo G1) – (R(nxn),+) è un gruppo commutativo (R(nxn),* ) è un gruppo G2) – (R(nxn),* ) è un gruppo il prodotto è distributivo rispetto alla somma G3) – il prodotto è distributivo rispetto alla somma


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