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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Le strutture algebriche e le classi di resto Simonetta Guglielmetto Liceo Norberto Rosa - Indirizzo Scientifico e Scientifico.

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1 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Le strutture algebriche e le classi di resto Simonetta Guglielmetto Liceo Norberto Rosa - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico

2 DEFINIZIONE DI GRUPPO Un insieme G dotato di una operazione binaria interna, è un GRUPPO se sono verificate le seguenti proprietà: G1) – proprietà associativa G2) – esistenza dell'elemento neutro G3) – esistenza del simmetrico Se un gruppo gode anche della proprietà commutativa, si chiama GRUPPO COMMUTATIVO O ABELIANO.

3 DEFINIZIONE DI ANELLO Un insieme A dotato di due operazioni binarie interne, * è un ANELLO se vengono rispettate le seguenti condizioni: ) A1) – la struttura (A, ) è un gruppo abeliano *) A2) – la struttura (A, *) è associativa A3) – loperazione * è distributiva rispetto a Se * è commutativa, si ha un ANELLO COMMUTATIVO Se esiste lelemento neutro di *, si ha un ANELLO UNITARIO

4 DEFINIZIONE DI CORPO E CAMPO Un insieme C dotato di due operazioni binarie, * è un CORPO se vengono rispettate le seguenti condizioni: ) C1) – la struttura (C, ) è un gruppo abeliano *) C2) – la struttura (C 0, *) è un gruppo C3) – loperazione * è distributiva rispetto a Un corpo è detto CAMPO se (C,,*) e loperazione * è commutativa

5 RELAZIONI IN UN INSIEME E LORO PROPRIETA Dato un insieme A si chiama relazione definita in A ogni legge che associa elementi di A con elementi di A Esempi : 1) A = insieme degli alunni di una scuola Relazione R: a R b a e b appartengono alla stessa classe 2) A= insieme dei numeri interi Relazione R: a R b a < b

6 Una relazione definita in un insieme A può verificare alcune proprietà : RIFLESSIVA : a A a R a ANTIRIFLESSIVA : a A a R a SIMMETRICA : a,b A se a R b allora b R a ANTISIMMETRICA : a,b A se a R b e b R a allora a=b TRANSITIVA : a,b,c A, se a R b e b R c allora anche a R c

7 Una relazione in un insieme si dice RELAZIONE DORDINE LARGO se verifica le proprietà RIFLESSIVA, ANTISIMMETRICA E TRANSITIVA ESEMPIO: In Z la relazione R: a R b a b Una relazione in un insieme si dice RELAZIONE DI EQUIVALENZA se verifica le proprietà RIFLESSIVA, SIMMETRICA E TRANSITIVA ESEMPIO: A = insieme degli alunni di una scuola a R b a e b appartengono alla stessa classe

8 LE CLASSI DI RESTO DEFINIZIONE: due numeri interi a e b sono CONGRUI MODULO n se differiscono per un multiplo di n e si scrive a b mod n se a – b = nk Indicando con nZ linsieme dei multipli interi di n si può anche dire che a b mod n se a – b n Z Si può dimostrare la seguente proprietà: a b mod n solo se i resti della divisione di a e b per n sono uguali Esempi mod mod mod 3 (perché?) -15 ?? mod 2

9 Proprietà : Dati due numeri interi a e b, con b 0, esistono sempre e sono unici i due numeri interi q e r tali che: a = b q + r con la condizione 0 r <|b| Se a 0 e b > 0 la divisione è quella tra i numeri naturali Es. 15:215 = q=6r=1 Se a 0, si esegue la divisione di – a per b, ma considerando il resto negativo e poi si cambia segno sia al quoziente sia al resto Es.-12 : 512= – 12 = 5 (- 3) + 3 q=-3 r =3

10 La relazione di congruenza modulo n definita in Z gode delle proprietà riflessiva : a a mod n simmetrica : se a b mod n allora b a mod n transitiva : a b mod n e b c mod n allora anche a c mod n Pertanto si possono costruire n classi di equivalenza [0],[1],[2],…, [n-1] dette CLASSI DI RESTO MODULO N e costruire linsieme quoziente Zn

11 dove [0]=insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 0, [1] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 1, [2] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 2, [n-1] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è n-1 Esempi Z2= [0],[1] Z4= [0],[1],[2], [3] Z5= [0],[1],[2], [3],[4] Z6= [0],[1],[2], [3],[4],[5]

12 OPERAZIONI IN Z n Definiamo in Zn loperazione ADDIZIONE [a] + [b] =[a+b] e loperazione MOLTIPLICAZIONE [a] [b] =[a b] Costruiamo le relative tabelle nel caso di n=2,3,4,5, Z

13 Z Z

14 Z

15 Z

16 ESERCIZI Verificare per ogni operazione le proprietà associativa, commutativa, esistenza elemento neutro, esistenza simmetrico, distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione in Z 4, Z 5, Z 6

17 PROPRIETA DI ( Z n, +, ) Dalle tabelle precedenti si osserva che loperazione ADDIZIONE è sempre associativa, commutativa, esiste lelemento neutro esiste il simmetrico di ogni elemento quindi ( Zn, + ) è un gruppo abeliano

18 Dalle tabelle precedenti si osserva che loperazione MOLTIPLICAZIONE è sempre associativa, commutativa, esiste lelemento neutro esiste il simmetrico di ogni elemento SOLO in Z 3 e Z 5 vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione NON vale la legge di annullamento del prodotto in Z 4 e Z 6

19 ( Zn, +, ) è un ANELLO UNITARIO COMMUTATIVO ( Zn, +, ) è un CAMPO solo se n è primo

20 Esercizio: Costruire le tabelle relative a Z9 e verificare che si tratta solo di un anello unitario commutativo ; individuare quali elementi non hanno il simmetrico e cercare una legge che li individui in Zn Esercizio: Verificare che la nota prova del nove della moltiplicazione altro non è che unapplicazione delle classi di resto modulo 9


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