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Momento di una forza il momento di un vettore c rispetto ad un punto O è definito dal prodotto OA×C dove A è un punto qualsiasi della retta di applicazione.

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Presentazione sul tema: "Momento di una forza il momento di un vettore c rispetto ad un punto O è definito dal prodotto OA×C dove A è un punto qualsiasi della retta di applicazione."— Transcript della presentazione:

1 Momento di una forza il momento di un vettore c rispetto ad un punto O è definito dal prodotto OA×C dove A è un punto qualsiasi della retta di applicazione di c OA X C ha il verso della rotazione che porta OA su C(i.e. parallelo a C) e modulo OA *C* sin θ = C *OA* sin θ = C* (distanza tra C e il polo O) = C* (braccio) il punto O viene detto polo se consideriamo un altro punto A' sulla retta definita dal vettore c e spostiamo il vettore c in A' avremo: OAX C = OA X C in generale il momento di una forza F è definito come M = r X F il cui modulo è: M = r F sin(θ) O C A x y θ O C A OA sinθ x y

2 Momento angolare Se il punto materiale P si muove con velocita V e O e un punto qualunque il vettore Lo = OP X mV = OP X q è il momento rispetto al polo O della quantità di moto q = mv e viene chiamato momento della quantità di moto o momento angolare è perpendicolare al piano individuato da OP e v in generale la sua direzione e il suo modulo cambiano mentre il punto materiale si muove Da F = dq/dt si ha OP X F = OP X dq/dt dLo /dt = dOP/dt X q + OP X dq/dt dOP/dt = V e parallelo a q, quindi il primo prodotto e nullo e si ha dLo/dt = OP x dq/dt = OP X F = Mo La derivata del momento della quantita di moto rispetto al polo O e il momento della forza rispetto al polo O (ovvia conseguenza del fatto che la derivata di q e la forza agente) P O K mg T θ Le forze sono T e mg. Il momento di T e nullo quello di mg vale Mo = K X mg = K mg sinθ = dLo/dt dLo/dt = d/dt K X q + K X dq/dt dK/dt = V V X q = V X mV = 0 dq/dt ha due componenti : una centripeta parallela a K e una, tangenziale, che vale d/dt (mv) = m d 2 s/dt 2 = mK d 2 θ/dt 2. K X K = 0 quindi resta dLo/dt = K 2 m d 2 θ/dt 2 = K mg sin θ da cui d 2 θ/dt 2 = g/k θ Il momento delle forze rispetto ad O genera la rotaz. intorno ad O

3 La sbarra, priva di massa, e ferma. Sono dati m1, m2, L= L1 + L2 e θ Calcolare F e L1 ( e L2) F sostiene m2 e m1, quindi F = (m1+m2) g La sbarra non ruota intorno ad O quindi dLo/dt = 0 e Mo = 0 Mo = L2 X m2g + L1 X m1g= = L2m2 sinθ g +(L- L2) m1 sin θ Da cui si ottiene L2 m1 m2 O F L1 L2 θ Per un sistema isolato vale il principio di conservazione del momento angolare: se il momento risultante delle forze rispetto ad un polo O e nullo il momemnto angolare rispetto ad O rimane costante nel tempo. Se la sbarra ruotasse intorno ad O con velocita angolare ω, il momento della QdM: L = Se L1=L2 =R e m1=m2 : Se Mo = 0 L = costante

4 Archimede e famoso per la frase datemi un punto dappoggio e sollevero Il mondo. Data una forza F ed un punto O nello spazio si puo definire il prodotto vettoriale M= R X F = momento della forza F rispetto al polo O. Un momento produce una rotazione: data la leva L (di massa nulla) con fulcro in O e le due masse m1 e m2 Archimede trova che si ha equilibrio (assenza di moto) se d2Xm2g + d1Xm1g = 0 a) d1X m1g = ( r1 –L)X m1g b) d2X m2g = (r2 – L) X m2g La somma a+b deve dare zero r1Xm1g + r2Xm2g = (m1+m2) LXg (m1r1 + m2r2)Xg = (m1 + m2) LXg L(m1+m2) = m1r1 + m2r2 L = (m1r1 +m2r2) / (m1+ m2) L e il raggio vettore di O che viene chiamato Centro di Massa o baricentro = centro dei pesi. Nel caso di n masse O e il punto sul quale il vincolo esercita la forza (m1+m2)g in modo che la leva non ruoti (cioe sia in equilibrio). Da qui il nome centro di massa d1 d2 m 1 g m2gm2g r1 r2 O L

5 Dinamica dei sistemi consideriamo un sistema di N punti materiali, indichiamo con: P i il punto i-esimo m i la massa del punto i-esimo F i (t) la forza agente sul punti i-esimo all'istante t la forza Fi che agisce su un certo punto ad un certo istante è dovuta alla interazione del punto con gli altri punti materiali e del punto con corpi esterni: forza interna: ogni forza esercitata sopra un punto del sistema da un altro punto del sistema stesso per distinguere il contributo delle forze indichiamo con F i,j forza di P j su P i F i I la risultante delle forze interne agenti sul punto i-esimo F i E la risultante delle forze esterne agenti sul punto i-esimo la forza totale agente sul punto i-esimo sarà allora:

6 Forze interne ed esterne se consideriamo la forza che il punto P i esercita sul punto P j, dal principio di azione-reazione ricaviamo che otteniamo: ad ogni istante la risultante di tutte le forze interne agenti in un sistema materiale è nulla l'equazione del moto del punto Pi è: Che dipende dalle forze interne ed esterne agenti su i. Sommando su tutti gli indici i si ha

7 Dinamica dei sistemi la quantità di moto totale di un sistema materiale isolato è costante nel tempo viene chiamata quantità di moto totale del sistema, essa e uguale alla Quantita di moto del Centro di massa del sistema. Si puo allora scrivere è la quantità di moto del punto P i, la somma ad ogni istante la risultante di tutte le forze esterne agenti su un sistema materiale è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema Teorema del moto del centro di massa: il centro di massa di un sistema materiale si muove come un punto materiale di massa uguale alla massa totale del sistema e soggetto ad una forza uguale alla risultante delle forze esterne agenti sopra il sistema

8 Si immagini un insieme di n masse mi nello spazio : su di ognuna di esse agisce la forza di gravita dovuta alla terra, FORZA ESTERNA, ma anche la forza di gravita reciproca fra le masse.FORZE INTERNE Le masse acquisteranno tutte una stessa accelerazione verso la terra. ed una accelerazione le une verso le altre dovuta alla mutua attrazione. A causa della forza esterna dQi/dt = G mi M t /r 2 (assumendo che le dimensioni del sistema di n masse sia piccolo rispetto a r ) dQ/dt = Σ dQi/dt = G Mt/r 2 x Σ mi = F E notare che Σ mi e la massa totale. Poiche le attrazioni interne a due a due sono eguali e opposte, eguali e opposte sono le variazioni delle loro QdM, la cui somma totale e quindi nulla. In conclusione il sistema ha un moto collettivo verso la terra la cui QdM varia secondo la dQ/dt = Σ DQi/dt = G Mt/r2 x Σ mi diversa da zero, e un moto indipendente di contrazione dovuto alla mutua interazione per cui la somma vettoriale delle DQij /dt e nulla.

9 Il moto delle masse mi consiste di un moto collettivo durante il quale il CM si muove come se su di esso fosse applicata la risultante delle forze esterne. Piu un moto relativo al CM. In un corpo rigido questo puo essere solo una rotazione. Poiche il momento delle forze interne rispetto al CM e zero ( per definizione la retta dazione di una forza di scambio passa per il CM dei due punti che si scambiano) la condizione di non rotazione da che Mcm delle forze ext.=0 a)Non ce attrito : scende con acc. a =gsinθ Ma cade indietro a causa del momento rispetto al CM della reazione Vincolare normale. La posizione di Equilibrio e quella per cui CM e sulla normale al pendio b) ce attrito, laccelerazione e minore o nulla, il Momento dellattrito Fa tende a provocare una rotazione in avanti. La persona dovra spostarsi leggermente indietro in modo che il momento della reazione normale equilibri quello dellattrito.Cioe che Rn +Fa passi per CM. Poiche lattrito e (μ Rn) il rapporto tra Fa e Rn e μ. Langolo di arretramento rispetto alla normale al terreno e tang θ = μ Se μ = 0,1 si ha θ ~ 6 gradi. Su ghiaccio disperatamente in avanti, su neve fresca o molle un po indietro.( ma sempre avanti rispetto alla verticale g) Caso tipico dello sciatore a b

10 O P1 P2 Larea di OP1P2 e A ~ ½ r s sinθ = ½ r X s dA/dt = ½ dr/dt X s + ½ r X ds/dt = ½ r X v perche dr/dt = v che e parallelo a s s θ r Lo = r x q = r x mv = costante perche Mo = 0 (la forza passa per o) Lo = 2m dA/dt quindi se Lo e costante lo e anche la velocita areale Un caso importante e il moto geenrato da una forza centrale come la gravita: Un oianeta descrive unorbita circoalre o ellittica intorno al sole. La forza e sempred diretta verso il sole : il suo momento rispetto al sole e nullo. Ne segue che il momento della quantita di moto rispetto al sole e costante.

11 Impulso Per una forza costante F si definisce come IMPULSO I (t1,t2) della forza tra t1 e t2 come il prodotto della forza per il tempo in cui ha agito I (t1,t2) = F Δ t dI = F dt = m dv/dt dt = m dv Limpulso e un vettore che ha la stessa direzione della Forza e si misura in N sec. Se la forza non e costante limpulso e dato dallintegrale La somma degli impulsi di tutte le forze agenti su un punto materiale e uguale allimpulso della forza risultante. Teorema dell'impulso: l'impulso di una forza in un certo intervallo di tempo è uguale alla variazione, in quell'intervallo di tempo, della quantità di moto del corpo sul quale agisce la forza

12 Urto = scambio di impulsi Lurto puo essere ELASTICO = forza elastica (molla) conservativa si conserva lenergia meccanica E = U+ Ek Lurto puo essere parzialmente o totalmente ANELASTICO : E non si conserva Forze interne = Σij Fij = 0 lo stesso vale per gli impulsi Q = q1 +q2 = costante la quantita di moto si conserva SEMPRE !!! Σij Fij = 0 d Q = 0 Q iniz = = Qfin Se lurto e elastico : Lavoro = Uf + Ekf – (Ui + Eki) = 0 Le biglie si sono compresse e ridistese Uf = Ui variaz. E cin=

13 U1 e U2 V iniziali v1 e v2 le V finali m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 ½ m1 v12 +1/2m2v22 = ½ m1u12 +1/2 m2 u22 m1 ( u1-v1) = - m2 (u2-v2) m1 (u12-v12) = - m2(u22-v22) U1+v1=u2+v2 v1-v2 = -(u1-u2) V1 = (m1u1+m2u2- e m2(u1-u2))/(m1+m2) V2= (m1u1 +m2u2 + e m2(u1-u2))/(m1+m2) e= 1 urto elastico e= 0 totalmente inelastico

14 m 1 v 1 = m 1 v 1 + m 2 v 2 ½ m 1 v 1 2 = ½ m 1 v /2m 2 v 2 2 Dalla 1 si ha v 2 = m 1 /m 2 ( v 1 -v 1 ) Allaumentare di m 2 v 2 diminuisce e ½ m 2 v 2 2 tende a zero V 1 a V 1 Assumendo le masse uguali e sostituendo v2 = v1- v1 si ha v1= 0 Se m2 tende a infinito v2 tende a zero non si ha conservazione di q ma solo dL = dEk Cioe ½ mv12 – 1/2mv12 = 0 e quindi v1 = -v1 Nel caso non perpendicolare si vara che la componente di q parallela alla parete si conserva e quella perp. No Limpulso sulla parete = 2q limpulso DALLA parete = - 2q

15 Pendolo balistico M v m Vi sono due forze esterne,la gravita e la tensione, entrambe agiscono lungo L Latto di moto iniziale e pero tangente al cerchio di raggio L, quindi il loro lavoro, anche impulsivo, e nullo. Le sole forze agenti,impulsivamente, sono Interne e frenano il proiettile nel tempo dT. La quantita di moto si conserva, lenergia no a causa dellattrito sacco proiettile. (M+m)V = mv V = mv/(m+M ) L Dopo listante dellurto agiscono la sola gravita e la Tensione. Si conserva lenergia meccanica. Quando (M+m) raggiunge la max elongazione, la sua Velocita e nulla e si e sollevato di H. (M+m)V 2 /2 = (M+m) gH = (m+M) m 2 v 2 /(m+M) 2 /2 = [(m/(m+M)] mv 2 /2 H e quindi proporzionale allenergia cinetica del proiettile. v 2 =2[(m+M)/m] 2 g H Notare che lenergia cinetica finale e m/(m+M) Ek iniziale. (dispositivi analoghi sono usati dai giostrai per misurare lintensita dellimpulso di un pugno o di un calcio. In elettronica m e un impulso brevissimo di corrente I e M e un circuito RC con costante di tempo molto lunga, la tensione finale raggiunta Ai capi del condensatore e; proporzionale a alla carca I dt portata dallimpulso. M= sacco pesante, m proiettile di fucile con velocita v, che vi si conficca e arresta. Sia M=5 Kg, m= 15 gr, H= 40 mm Calcolare la v del proiettile. H

16 S v V = costante Nel tempo T avanza di X = VT spazzando il volume SVT e spostando Una massa di aria M = ρ SVT = ρ SX. Laria deve essere spinta di lato di un tratto ~ k S 1/2 nel Tempo T=x/V La velocita /T = k S 1/2 V/x e lenergia cinetica Ek = ½ ρ SX k 2 S V 2 /X 2 = ½ ρ S k 2 S V 2 /X Moltiplicando e dividendo per X Ek = ½ ρ S V 2 Cx X Dove Cx = k 2 S/X 2 e un a quantita adimensionale che dipende dalla forma Ek e energia cinetica dissipata = lavoro della Fattrito per percorrere X = Lavoro fatto dal motore per mantenere la V costante Ek = Fa X e quindi Fa = ½ ρ S V 2 Cx [ m l2 l2 /l3 t2] = [mlt -2 ] Resistenza dellaria? Dimensionalmente : massa auto,densitaaria, Sezione frontale,velocita, forma…….. F ~ ρ S V 2 La potenza e lavoro nellunita di tempo = Ek/T = F v = ½ ρ S V 3 Cx

17 a e una perturbazione che si propaga Lungo la corda. Sia Y= Y(x) la sua Forma. F e la tensione ai capi di dx. Il moto di dx e lungo Y sotto lazione Della forza Fy = F ( sinθ2- sin θ1)~ F( tg θ2- tg θ1) tg θ2 = dY/dx (x=x+dx) e tg θ1= dY/dx (x=x) ( tg θ2- tg θ1) = d 2 Y/dx 2 dx Fy = F d 2 Y/dx 2 dx = ma y = ρ dx d 2 Y/dt 2 d 2 Y/dx 2 = ρ/F d 2 Y/dt 2 Questa equazione ha soluzioni del tipo f = f (X)= f (wt – kx) e rappresenta Unonda che si propaga. Infatti il valore f (0) per X = 0 si ottiene per tutte Le copie (x,t) che soddisfano la condizione wt-kx=0 cioe x = w/k t Dove V= w/k e la velocita di propagazione della forma f. Si noti che [w] = [t-1] e [k]=[x-1] quindi w rappresenta una frequenza e t una Lunghezza (donda o altro). Poiche d 2 f/dx 2 = k 2 d 2 f/dX 2 e d 2 f/dt 2 = W 2 d 2 f/dX 2 lequazione e anche d 2 f/dx 2 = (k/w) 2 d 2 f/dt 2 e V 2 = ρ/F y x a F θ1θ1 θ2θ2 F dX x

18 Su una corda tesa e inestensile: gli unici parametri fisici sembrano essere la densita lineare λ della corda e la sua tensione T (la lunghezza e ininfluente e supposta infinita, la gravita trascurabile (cioe la tensione e >> λg) [λ] = m/l [T] = ml/t2 [v2] = T/λ Tensioni elevate o λ piccole = v alta = frequenza elevata o lungh. donda corta. Masse elevata o T bassa = frequenze basse o lungh. donda lunga In un fluido incomprimibile (es. acqua) : lampiezza A, ρ, la lunghezza donda L, g ………… lampiezza A potrebbe essere importante, ma probabilmente e A/h (profondita) che e importante e se h >>A lampiezza dovrebbe essere irrilevante. A parita di ρ la velocita sara v 2 ~ Lg cioe w/k = L 1/2 /g 1/2 londa lunga e piu veloce. Londa si disperde perche le alte frequenze corrono meno,rimangono indietro……. Se pero A diventasse importante (cioe A/h non infinitesimo) si potrebbe ottenere V 2 = Ag E questo e interessante perche non ci sarebbe dipendenza da L (nessuna dispersione) e londa potrebbe propagarsi con velocita elevata dipendente dalla sua ampiezza. (solitoni,onde solitarie e Tsunami)


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