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1/23/2014 C.4 A. Bettini 1 Istituzioni di Fisica Subnucleare A. Bettini 2006 Capitolo 5 Elettrodinamica quantistica.

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1 1/23/2014 C.4 A. Bettini 1 Istituzioni di Fisica Subnucleare A. Bettini 2006 Capitolo 5 Elettrodinamica quantistica

2 1/23/2014 C.4 A. Bettini 2 I componenti del modello standard. I quark B QIIzIz SCBTm d1/3–1/31/2–1/ MeV u1/32/31/2+1/ MeV s1/3–1/300– MeV c1/32/ GeV b1/3–1/30000– GeV t1/32/ ±3 GeV Ci sono 6 quark, ciascuno con un sapore (per d e u è I z ) Tre coppie con cariche –1/3 e 2/3 segno del sapore del quark = segno carica elettrica IF e EM conservano tutti i sapori, non trasformano un quark in un altro, le ID li violano I quark hanno J P =1/2 + Ipercarica definita come Non esistono liberi; i valori delle masse hanno significato solo entro uno schema teorico assunto

3 1/23/2014 C.4 A. Bettini 3 Invarianza di gauge dellEM La costante di accoppiamento dellinterazione EM è la costante di struttura fine è adimensionale, quindi indipendente da unità di misura e piccola La carica elettrica si conserva. Miglior limite Conservazione carica elettrica invarianza sotto il gruppo di gauge U(1) Macroscopicamente: equazioni di Maxwell implicano conservazione della carica sono gauge-invarianti (r,t) = funzione di gauge Fock 1929; la lagrangiana quantistica è gauge invariante se si cambia contemporaneamente anche la funzione donda dellelettrone (della particella) di un fattore di fase dipendente dal punto-istante Si scrive lhamiltoniana del campo EM libero più quella dellelettrone libero, si impone linvarianza di gauge; si ottiene linterazione elettromagnetica

4 1/23/2014 C.4 A. Bettini 4 Invarianza di gauge Tutte le interazioni hanno lagrangiana invariante sotto un gruppo di gauge Ciò implica in ogni caso una carica conservata in modo assoluto La struttura del gruppo determina la struttura della carica corrispondente QED: gruppo U(1); una carica=elettrica, positiva o negativa; mediatore: fotone, massa nulla, senza carica elettrica (non interagiscono tra loro) QCD: gruppo SU(3); Gruppo SU(3), tre carche di colore (R,G,B), ciascuna dei due segni; mediatori: 8 gluoni; masse nulle, hanno carica di colore (due ciascuno), interagiscono tra loro EW: gruppo SU(2) U(1); Gruppo SU(2) U(1), contiene anche EM. Linterazione debole dipende dalla chiralità del fermione, che può essere left o right: i due stati hanno carica debole diversa. I mediatori W +, W – e Z˚ hanno masse grandi (80 e 90 GeV rispettivamente); hanno carica debole, interagiscono tra loro Il MS è stato sottoposto a test di precisione alle macchine acceleratrici e ai collisori, senza mai fallire. Ma, nei laboratori sotterranei dedicati allo studio di fenomeni naturali rari si sono osservati fatti in contrasto che implicano che I neutrini di sapore definito, e, e non sono stati stazionari, ma si trasformano uno nellaltro al passare del tempo. Sono sovrapposizioni degli stati stazionari 1, e. I sapori leptonici sono violati (potrebbe esserlo anche il numero leptonico) I neutrini hanno massa piccolissima, ma non nulla

5 1/23/2014 C.4 A. Bettini 5 I fermioni del modello standard

6 1/23/2014 C.4 A. Bettini 6 Latomo di idrogeno Notazione spettroscopica: n 2s+1 L j n = numero quantico principale s = spin totale degli elettroni Per H sempre 2s+1=2 lo omettiamo scrivendo nL j (nS j, nP j, nD j, …) j momento angolare totale degli elettroni (non include quello del nucleo, il che darebbe la struttura iperfina) In prima approssimazione cè molta degenerazione tra i livelli dellH La velocità dellelettrone è << c ( 10 –2 ) Equazione di Schroedinger se V –1/r lenergia dei livelli dipende solo da n Ma se si osserva lo spettro ad alta risoluzione (Fabry-Perot, lamina di Lummer, ecc.) le righe appaiono formate da multipletti struttura fina Ci interessa il livello n=2

7 1/23/2014 C.4 A. Bettini 7 Esperimento di Lamb e Retherford La struttura fina è un effetto relativistico equazione di Dirac al 1˚ in 2 [ (1/137) 2 ] Tutti i livelli, tranne S, si sdoppiano a causa dellinterazione spin-orbita (momento magnetico orbitale con momento magnetico dellelettrone) Ma per V –1/r lenergia dei livelli dipende solo da n e da j non da l E(2S 1/2 ) E(2P 1/2 )? Impossibile con spettroscopio Forzare transizioni 2S 1/2 2P 3/2 creando un campo a radiofrequenza (decine di GHz) Ipotesi E =E(2S 1/2 ) – E(2P 1/2 )>0 (Lamb shift) il livello 2S 1/2 è metastabile ( >>10 –8 s). Infatti 2S 1/2 1S 1/2 proibita da l=±1 velocità di 2S 1/2 2P 1/2 (E) 3 piccolissima

8 1/23/2014 C.4 A. Bettini 8 Leffetto Zeeman Supponiamo E(2S 1/2 )–E(2P 1/2 ) 1 GHz Applicando campo magnetico, i livelli si sdoppiano Per 0.05 < B < 0.25 T circa il livello 2S 1/2,m=–1/2 è vicino ad un livello 2P 1/2 e si mescola con questo. Non più metastabile decade ( 10 –8 s) 2S 1/2 (m=+1/2) si allontana dai 2P e rimane metastabile

9 1/23/2014 C.4 A. Bettini 9 Lamb e Retherford. Lapparato (1/2) 1.Forno Dissociazione termica H atomico (65%); velocità 8000 m/s 2.Eccitazione 1S 1/2 2S 1/2 (1/10 8 ) con fascio di elettroni [impossibile tramite luce ( l=±1)] 3.Campo B (aggiustabile) divide in due tutti i livelli: m=+1/2 e m=–1/2 2S 1/2 (m=+1/2) è metastabile 100µs percorso d 10 – = 0.8 m tutti gli altri sono instabili 10 ns percorso d 10 – mm 4.Cavità a radiofrequenza ( ) per forzare transizioni 2S 1/2 (m=+1/2) 2P 3/2 2P 3/2 (m=–3/2) non raggiungibile, m=–2 tre transizioni possibili: a 2P 3/2 (m=–1/2), 2P 3/2 (m=+1/2), 2P 3/2 (m=+3/2) se la frequenza del campo em è in risonanza con una di queste transizioni, per il valore fissato di B, i sono pompati e 2S 1/2 (m=+1/2) non arrivano al rivelatore al rivelatore 2S 1/2 (m=+1/2) arrivano al rivelatore se e B non sono in risonanza Gli atomi 2P sono metastabili e non arrivano, comunque, al rivelatore

10 1/23/2014 C.4 A. Bettini 10 Lamb e Retherford. Lapparato (2/2) 5. Il rivelatore deve essere sensibile agli atomi eccitati non a quelli nel livello fondamentale. Lastrina di tungsteno lavoro di estrazione dal W, W W 6 eV; per gli atomi eccitati E(n=2)–E(n=1) 10.2 eV quindi un atomo di H eccitato può cedere energia a un elettrone nel W che ne esce 6. Gli elettroni sono raccolti da un sensibile pico-amperometro (I 10 –14 A)

11 1/23/2014 C.4 A. Bettini 11 Lamb e Retherford. Risultati Si fissa a un valore opportuno la frequenza del campo a micro-onde e si varia lentamente B, cercando i valori di risonanza (B * ) [per i quali E=µgB *m =µgB * =h ] transizione a 2P instabile, decade subito a B * si osserva un minimo dellintensità di corrente Si ripete per diversi valori di punti rossi Le rette vs. B * porgono E B =h vs. B * per ciascuna delle transizioni studiate Estrapolando a B * =0, si ottengono i salti di energia E per le tre transizioni in assenza di campo Rette tratteggiate = teoria di Dirac Risultato: il livello S 1/2 è spostato rispetto alla teoria di 1 GHz Più precisamente nel 1952 Contemporaneamente, nel 47, P. Kusch scoprì che il fattore g dellelettrone 2

12 1/23/2014 C.4 A. Bettini 12 Ma lelettrone può emettere un fotone, che presto riassorbe Sia se lelettrone è libero sia se è legato nellatomo Le conseguenze Questo grafico di Feynman rappresenta la linea di vita di un elettrone (il tempo scorre verso destra) che sente il campo del nucleo, scambiando con esso un fotone Il fotone si può materializzare in e – e +, che subito si ricombinano ri-formando un fotone Il processo è la polarizzazione del vuoto perché avviene anche nel vuoto Enormi conseguenze teoria completa dell Elettrodinamica Quantistica (QED) Lequazione di Dirac rimane valida, ma linterpretazione deve essere cambiata. Il campo non può più essere considerato come dato a priori, ma deve essere quantizzato (seconda quantizzazione) I due processi spostano diversamente lenergia nei due casi, contribuendo al Lamb shift

13 1/23/2014 C.4 A. Bettini 13 La rinormalizzazione Lelettrone interagisce non solo con il campo esterno, ma col campo da lui stesso creato. Come nellelettromagnetismo classico, questa auto-interazione comporta valori infiniti della massa- energia dellelettrone Un mese dopo il risultato di Lamb e Retherford nel 1947, Bethe diede un contributo cruciale, riconoscendo che la teoria poteva non occuparsi del valore infinito del termine di auto- interazione, perché non osservabile. Si rinormalizza la massa, sottraendo il termine infinito. Per un elettrone nel vuoto il contributo dellauto-interazione è nullo. Se lelettrone è legato, il campo esterno modifica leffetto col risultato di uno spostamento finito dei livelli energetici, in accordo con le misure Il processo successivo dello sviluppo teorico, che comportò la rinormalizzazione non solo della massa, ma anche della carica, si sarebbe concluso con la creazione dellElettrodinamica Quantistica (QED) da parte di Tomonaga, Feynman e Schwinger nel

14 1/23/2014 C.4 A. Bettini 14 La quantizzazione del campo Il moto dellelettrone nel campo elettrico di un nucleo non è relativistico ( 10 –2 ) In prima approssimazione si può considerare il campo esterno come dato a priori, non influenzato dalla presenza e dal moto dellelettrone. è la probabilità di trovare lelettrone in un certo punto Ma Lamb e Retherford hanno mostrato che ci sono effetti molto piccoli che implicano processi come la polarizzazione del vuoto. In QED il numero di particelle è un osservabile quantistico, con una sua distribuzione di probabilità si deve interpretare diversamente la funzione donda, il bispinore (seconda quantizzazione): essa diviene un operatore, col seguente significato fondamentale Spinore crea una particella o distrugge unantiparticella Spinore distrugge una particella o crea unantiparticella Le due componenti di ciascuno dei due spinori creano o distruggono stati con le due diverse terze componenti dello spin

15 1/23/2014 C.4 A. Bettini 15 Linterazione come scambio di quanti Un elettrone che viaggia nel vuoto non è in realtà solo, ma continuamente emette e riassorbe fotoni In generale una qualsiasi particella a che interagisca col campo di mediatore V continuamente emette e riassorbe V Se nelle vicinanze passa la particella b che interagisce col medesimo campo, essa può assorbire un mediatore a e b interagiscono scambiando il quanto mediatore V In generale il mediatore ha massa, m, quindi il processo di emissione a a+V viola la conservazione dellenergia di E=m! Ma questo può accadere, purché la violazione duri abbastanza poco, t tale che V quindi può propagarsi solo su distanze dellordine di R è il raggio dazione (range) della forza, inversamente proporzionale alla massa del mediatore. In unità naturali R=1/m

16 1/23/2014 C.4 A. Bettini 16 Diffusione da potenziale Il caso più semplice è la diffusione non relativistica di una particella (a) da parte di un potenziale (r) centrale, dovuto ad un oggetto (centro di forze) di massa molto maggiore. Sia g la carica di a g (r) è lenergia potenziale lampiezza di diffusione f(q) è proporzionale alla trasformata di Fourier di g (r) Nella diffusione il centro di forze trasferisce alla particella il (tri)momento q = p = p f – p i, ma non energia (urto elastico di pallina contro muro) NB. la particella trasferisce al centro di forze –q Se m è la massa del mediatore, il potenziale è quello di Yukawa, di range R=1/m Lelemento di matrice di transizione è

17 1/23/2014 C.4 A. Bettini 17 Propagatore bosonico Supponiamo ora che la diffusione sia ancora elastica, ma che la massa M del bersaglio non sia infinita. Cè trasferimento di quantità di moto p = p 2 – p 1 come prima, ma anche di energia E=E 2 – E 1 La norma invariante del 4-momento trasferito E, p è indicata con t Si dimostra che lampiezza di probabilità di diffusione è È il prodotto delle cariche g e g 0 (fattori di vertice) e dellampiezza di probabilità che ha il mediatore di massa m e 4-momento (p,E) di propagarsi, che si chiama propagatore Le probabilità dei processi fisici (sezioni durto e velocità di decadimento) sono date da |f(t)| 2 moltiplicata per il fattore di spazio delle fasi, come vedremo t < 0 il momento trasferito è di tipo spazio

18 1/23/2014 C.4 A. Bettini 18 Diagrammi di Feynman (1/3) La QED fu la prima teoria relativistica di campo storicamente sviluppata. Feynman sviluppò una serie di regole, visivamente rappresentabili con grafici per calcolare le ampiezze di probabilità dei processi (diffusione, decadimento), dette anche elementi di matrice Lampiezza di probabilità di un processo è la somma (integrale) delle probabilità di tutte le diverse ampiezze che portano dallo stato iniziale allo stato finale Le regole si estendono anche alla QCD e alla teoria elettrodebole EW I grafici si disegnano sul foglio di carta, le linee sono linee-universo delle particelle CONVENZIONE tempo spazio Può rappresentare una qualsiasi particella di spin 1/2 La freccia indica il verso, rispetto a quello del tempo, in cui fluiscono le sue cariche Per concretezza sia un elettrone: con lelettrone avanzano nel tempo la carica elettrica, il sapore leptonico di elettrone, il momento magnetico La freccia al contrario quindi rappresenta cariche, tutte opposte che avanzano nel tempo: è un positrone (vedi poi)

19 1/23/2014 C.4 A. Bettini 19 Gli elementi dei grafici Particella (ferma) che avanza tempo o antiparticella che regredisce nel tempo Antiparticella (ferma) che avanza tempo o particella che regredisce nel tempo Particella che si sposta verso lalto o antiparticella che va in basso Fotone W o Z Gluone Vertice Bisogna sommare su tutte le possibilità; sono lo stesso grafico

20 1/23/2014 C.4 A. Bettini 20 Esempio e – +µ – e – +µ – le particelle sulle linee interne sono virtuali la relazione tra energia e momento non è quella delle particelle reali, hanno se nel canale t, massa= t immaginaria Il grafico rappresenta la somma su tutte le possibili situazioni integrale su tutti i valori del 4-momento del compatibili con gli stati iniziale e finale i casi in cui il va indietro nel tempo, cioè sia quando lelettrone emette il virtuale e il mu lo assorbe, sia quando il mu emette e lelettrone assorbe. Il grafico di sopra comprende anche questo a destra fattore di vertice, la carica e libero entrante e libero uscentepropagatore µlibero entrante µlibero uscente Lampiezza è proporzionale ad cioè al quadrato della carica

21 1/23/2014 C.4 A. Bettini 21 Grafici di ordine più alto Livello albero: lordine più basso nello sviluppo nella serie perturbativa, che converge perché i termini successivi sono proporzionali a potenze crescenti di che è <<1 loop fermionico Attenzione. Il calcolo di un loop è un integrale su tutti i valori possibili delle energie e dei momenti delle particelle del loop. Questi integrali sono infiniti. La cura: rinormalizzazione

22 1/23/2014 C.4 A. Bettini 22 Analiticità Il grafico è una funzione analitica che può rappresentare lampiezza di diversi processi fisici, girando le gambe esterne (continuando analiticamente da un caso allaltro) Canale t = diffusione elastica eµCanale s = annichilazione e + e – in µ + µ – + Se gli stati iniziale e finale nel canale s e nel canale t sono i medesimi bisogna sommare le due ampiezze e poi prendere il quadrato del modulo Massa della particella virtuale nel canale t è t cioè immaginaria Massa della particella virtuale nel canale s è s, reale ma in genere particella reale. Se = massa di una particella libera, in risonanza, ad esempio alla, allora la particella è reale. Differenza tra reale e virtuale è solo quantitativa

23 1/23/2014 C.4 A. Bettini 23 Propagatore fermionico Il propagatore può anche essere un elettrone (virtuale). Esempio: effetto Compton Canale s Un solo grafico Canale t

24 1/23/2014 C.4 A. Bettini 24 Propagatore fermionico. Canale t Fissati quantità di moto e energie di elettrone e fotone iniziali, elettroni e fotone finali, si deve integrare su tutte le possibilità, conservando energia e momento a entrambi i vertici Il propagatore può avere qualsiasi direzione La funzione analitica ampiezza non si annulla fuori dal cono di luce. Conseguenza dellindeterminazione quantistica nella misura della velocità Se AB di tipo spazio, lelettrone viaggia più veloce della luce In altro riferimento B prima di A. Elettrone indietro nel tempo. Questo osservatore interpreta: A: il fotone si materializza in coppia e – e +, in B positrone trova elettrone e si annichilano in fotone finale. La particella virtuale di uno è antiparticella virtuale dellaltro Interpetazione non Lorentz invariante, grafico di Feynman Lorentz-invariante Meccanica quantistica + Invarianza di Lorentz = antiparticelle

25 1/23/2014 C.4 A. Bettini 25 e + e – µ + µ – e + e – µ + µ – semplice perché solo canale s, a differenza di e + e – e + e – µ + µ – semplici da rivelare, a differenza di – teoricamente puro, a differenza di adroni Trascurate masse rispetto alle energie e considerato p f =p i Calcolo dellelemento di matrice (Lorentz invariante) mostra che esso non dipende dallenergia Gli anelli di accumulazione e + e – permettono di realizzare in laboratorio uno stato quantistico puro, di numeri quantici definiti: tutte le cariche e sapori nulli, J PC =1 – – Il fotone virtuale di massa s si trasforma in un adrone in risonanza s =m come per o (poi) Z, ma molte informazioni anche fuori rispnanze, nel continuo

26 1/23/2014 C.4 A. Bettini 26 Costante daccoppiamento adimensionale [ ] = [L 2 ] = [E –2 ] Se E>>m, sola energia in gioco s 1/s Le sezioni durto dei processi elementari ad alte energie sono proporzionali a 1/s Due situazioni fondamentali g W adimensionale [G F ]=[E –2 ]=[L 2 ] [ ] = [L 2 ] = [E –2 ] propagatore costante s dato che |M if | 2 = costante ( s) 2 s 2 (propagatore) 2 s 2

27 1/23/2014 C.4 A. Bettini 27 Dipendenza dallangolo. Con elicità approssimazione di masse nulle Il fotone (virtuale) può avere nella direzione del moto J z =+1 o J z =–1

28 1/23/2014 C.4 A. Bettini 28 (adronica) 87(nb)/s(GeV) La sezione durto adronica Gli stati finali qq non sono in generale distinguibili sperimentalmente. Si misura la somma

29 1/23/2014 C.4 A. Bettini 29 Rinormalizzazione QED risolve il problema delle divergenze con il processo di rinormalizzazione della massa e della carica. Si definiscono una carica nuda che non è osservabile ed una carica efficace (quella che si misura); ciò consente di introdurre nella Lagrangiana dei controtermini (infiniti) che vengono sottratti cancellando le divergenze, pur mantenendo la stessa forma della Lagrangiana originale eff Analogia:una carica immersa in un dielettrico ne polarizza le molecole, che la schermano. Alla misura quindi appare minore di quanto sia. Se si misura la diffusione di una particella sonda questa vede la carica bersaglio tanto minore quanto più distante passa da essa

30 1/23/2014 C.4 A. Bettini 30 Evoluzione della costante di accoppiamento Nel vuoto sono le coppie e + e – delle fluttuazioni quantistiche a polarizzarsi. La carica efficace è tanto più grande quanto più ci si avvicina ad essa, cioè quanto maggiore è la variazione il momento trasferito nello scattering La teoria della rinormalizzazione fornisce levoluzione delle costanti di accoppiamento al variare del 4-momento trasferito o dellenergia nel CM, a parte un fattore di scala µ che va fissato dallesterno Q 2 =s o =t a seconda del caso Se la polarizzazione del vuoto fosse dovuta alla creazione di coppie di un solo fermione, ad esempio lelettrone, levoluzione della costante efficace sarebbe NB. Dipende dal valore assoluto di Q 2 In realtà ci sono anche coppie µ + µ –, –, uu, dd, ecc., che contribuiscono proporzionalmente al quadrato delle loro cariche elettriche

31 1/23/2014 C.4 A. Bettini 31 Alfa non è costante Lespressione è quindi dove z f è il numero di carica fermionica = numero di fermioni, pesato con il quadrato della carica, che può contribuire al valore considerato di |Q| 2. In buona sostanza con m<|Q| Ad esempio per |Q|> 10 GeV contribuiscono tre leptoni carichi, due quark di tipo up, u e c, di carica 2/3 e tre quark di tipo down, d, s e b di carica 1/3. Quindi Cioè: se il numero di fermioni eccitati non varia linverso della costante daccoppiamento varia linearmente con il logaritmo del momento trasferito Misura di precisione con effetto Hall quantizzato a Q=0 Bisogna controllare levoluzione sia per intervalli di tipo tempo sia di tipo spazio

32 1/23/2014 C.4 A. Bettini 32 Evoluzione di per Q 2 >0 Strumento: collisori e + e – ad alta energia, soprattutto LEP 90 GeV

33 1/23/2014 C.4 A. Bettini 33 Evoluzione di per Q 2 <0 Q 2 cresce con langolo di diffusione LEP 1800 GeV 2

34 1/23/2014 C.4 A. Bettini 34 Qualche complicazione Per la precisione. Bisogna calcolare anche i grafici e loro termini di ordine superiore, e sottrarne i contributi

35 1/23/2014 C.4 A. Bettini 35 Evoluzione di nella regione tipo spazio s=198 GeV


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