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1 Richiami di teoria dei processi di diffusione. QuantoElettroDinamica. Diffusione elastica elettrone-nucleone; fattori di forma elastici del nucleone.

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1 1 Richiami di teoria dei processi di diffusione. QuantoElettroDinamica. Diffusione elastica elettrone-nucleone; fattori di forma elastici del nucleone. Capitolo I Bibliografia: - F.Halzen, A.D.Martin, Quarks & leptons, Wiley & Sons, 1984 cap.5, 6, e 8 - D.H. Perkins, Introduction to High Energy Physics, Addison-Wesley,1987 cap.6

2 2 QED : brevi richiami E il prototipo di teoria quantistica di campo di gauge (basata sul gruppo abeliano U1): descrive l interazione elettromagnetica tra particelle cariche point-like di Spin ½ ( e.g. elettroni, muoni, quarks… la cui equazione del moto libera e data dall eq. di Dirac) mediata dal fotone, il quanto del campo elettromagnetico. matrici di Dirac: [ k matrici di Pauli: ] inserendo nell eq. del moto la derivata covariante: (1.1) (1.2) L interazione e.m. elettrone-fotone e introdotta nell eq. di Dirac per una particelle libera:

3 3 Richiami di QED (II) L eq. del moto di un elettrone (carica elettrica - e ) in presenza di un campo e.m. e quindi : dove A = (, A) e il quadri-potenziale del campo e.m. : (ricordiamo che i campi E, B sono invarianti rispetto ad una trasformazione di gauge del potenziale: con (x) funzione scalare qualsiasi delle quadri-coordinate ; (1.3) (1.5) (1.4)

4 4 Richiami di QED La forma dell eq. (1.2) discende dalla richiesta di rendere invariante la descrizione dell interazione rispetto a una trasformazione locale (=dipendente dalle coordinate) di gauge (x), da t a dalla (1.4) per il campo A (x) e, contestualmente, da una arbitrario cambiamento di fase dello spinore dell elettrone: (1.5) [ gli osservabili fisici, come la sezione durto di diffusione derivabile dalla ampiezza di transizione che si ottiene dalla (1.3), sono invarianti rispetto alla trasformazione (1.5), (1.5) ] E interessante ricordare come gia in meccanica quantistica non relativistica, la prescrizione di invarianza di gauge porti naturalmente alla descrizione dell interazione e.m. tra particelle cariche e campi (forza di Lorentz)

5 5 Richiami di QED la prescrizione di derivata covariante (1.2) diviene: che in meccanica quantistica (non relativistica), dall Hamiltoniana di una particella in un potenziale elettrostatico x : porta all eq. di Schroedinger: [ Nel formalismo operatoriale: (1.6) (1.2) L hamiltoniana viene modificata: La lagrangiana associata all hamiltoniana e: (1.7) (v= velocita della particella) (1.8) ( ricordiamo che :, con: ) L eq. del moto di Eulero-Lagrange: applicata alla lagrangiana (1.8) coincide con leq. del moto di una particella carica sotto l azione della forza di Lorentz (utilizzando le relazioni (1.4)) : per una completa discussione, cfr.: Goldstein, Meccanica Classica ]

6 6 Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark Siamo interessati al processo di diffusione tra due fermioni carichi puntiformi, ad esempio: e-e- e-e-, e- - e-, e q e q (q=quark) Nella teoria perturbativa dello scattering da un potenziale, la ampiezza di transizione tra uno stato iniziale (spinore i con 4-impulso (E i,p i ) ) ad uno stato finale (spinore f con 4-impul so (E f,p f ) ) e data da: (1.9) dove V(x) e il potenziale che perturba l hamiltoniana di particella libera H o : H = H 0 + V e si e introdotto lo spinore coniugato (la quantita e definita positiva e ha il significato di una densita di probabilita)

7 7 Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark In QED, per la quale leq. del moto e: (1.3) il potenziale e: ossia: dove si e introdotta la corrente elettro-magnetica: (1.10) (1.11) i (x) f (x) e- A (x)

8 8 Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark [ che abbia il significato fisico di densita di 4-corrente j =(,j) deriva dal fatto che vale leq. di continuita:, come si puo verificare dalleq. di Dirac e dalla sua equazione aggiunta per lo spinore coniugato; cfr., ad es., Halzen-Martin, pg.103 ] Nello scattering e-quark, il campo A e il 4-potenziale del campo e.m. associato alla presenza del quark: la sorgente del campo e la corrente e.m. del quark: i (x) f (x) e- A (x) q (x) k k p p 4-impulso iniziale dellelettr. 4-impulso iniziale del quark 4-impulso finale (vedremo successivamente come gli esperimenti giustificano questa assegnazione)

9 9 Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark La relazione tra il campo e la sua sorgente j quark e data dall eq. di Maxwell (nella gauge di Lorentz: ): (1.12) (c = 1) Al primo ordine della teoria perturbativa, possiamo prendere per j quark la soluzione del campo q che viene dalla eq. libera di Dirac: ossia: = q (4-momento trasferito nel processo) Nota: la conserv. del 4-impulso: k+ p = k+p implica: q = p-p = k-k

10 10 Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark Da tale soluzione libera, si vede che: e confrontando con (1.12): L ampiezza di transizione, al primo ordine perturbativo, e allora:

11 11 Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark Esprimendo anche la corrente dell elettrone in termini di soluzione dell eq. libera di Dirac: si ha: dove si e definito l elemento di matrice di transizione: (1.13)

12 12 Sezione d urto per lo scattering di QED e-q In un processo di diffusione, la quantita osservabile sperimentalmente e la sezione durto differenziale per avere, ad esempio, lelettrone diffuso ad un certo angolo solido d =2 sin d essa e legata all elemento di matrice M if dalla regola doro di Fermi [cfr. Perkins, app. E] : N o di stati finali disponibili che competono all energia E dello scattering: p (frequenza normalizzata ad un flusso unitario di particelle incidenti)

13 13 Sezione d urto per lo scattering di QED e-q L espressione data per d /d non e Lorentz-invariante; la sua espressione Lorentz-invariante dipende dalla normalizzazione delle funzioni donda spinoriali e, quark che compaiono in M if. Se nel rest-frame della particella la densita di probabilita e: in un altro sistema di riferimento (ad es., quello del C.M. della collisione) in cui l energia della particella e E = m, il volume viene contratto: la densita osservata diviene: (ossia cresce di un fattore E/m) La sezione durto va allora normalizzata per un fattore per ognuna delle funzioni donda che compaiono nellinterazione.

14 14 Sezione d urto per lo scattering di QED e-q In genere, lo stato finale osservato e quello che si ottiene mediando sugli stati iniziali di spin dell elettrone e del quark; in definitiva: (1.14) [cfr. Perkins, app.F e G ] Nel CM dello scattering, il momento dell elettrone diffuso e p=E/2 (1.14) dove si e introdotta la variabile di Mandelstam: [ esercizio 1.1 ] ( in unita naturali: ) [ trascurando le masse: p 2 /E e E q =1, E e E q =E e E q =E CM 2 /4=s/4, E CM =2E e ]

15 15 Sezione d urto per lo scattering di QED e-q Inseriamo ora nell espressione generale (1.14) per la sezione durto lelemento di matrice (1.13) derivato dalla dinamica della QED; utilizzando lalgebra delle matrici di Dirac [ la cosa e laboriosa… per una discussione completa si vedano Perkins, app.G ; Halzen-Martin, cap. 6 ] : (1.15) e- k k p p 4-impulso iniziale dellelettr. quark dove si e trascurata la massa m e (ma non quella del quark)

16 16 Sezione d urto per lo scattering di QED e-q L espressione (1.15) e Lorentz-invariante; e interessante esprimerla nel sistema del laboratorio, nel quale viene misurato l angolo di scattering dell elettrone diffuso: k=(E,k), k = (E, k), p = (M,0)(M=m q ) Si ottiene, utilizzando la conservazione del 4-impulso, k+p = k+p [ es.1.3]: dove il quadrato del momento trasferito e esprimibile in funzione dellangolo di scattering nel laboratorio [ es.1.2]: : e- k k M (1.15)

17 17 Sezione d urto per lo scattering di QED e-q Inserendo (1.15) in (1.14), si ottiene infine il risultato finale per lo scattering di QED di un elettrone su una targhetta point-likedi spin ½ e massa M: dove si e introdotta la costante di struttura fine: e la carica del quark e ora espressa in unita di carica dellelettrone: Nell ultima espressione di (1.16), si e di nuovo usata la (1.16) ( sezione durto di Mott ) In definitiva: (sezione durto classica per lo scattering coulombiano di particelle non relativistiche prive di spin)

18 18 Sezione d urto per lo scattering di QED e-q E importante sottolineare che per un fissato valore dell energia incidente E, la sezione d urto e solo funzione dell angolo di scattering, essendo [vedi es.1.4]: Infine, e utile esprimere la sezione durto elementare di Mott in forma Lorentz-invariante, utilizzando le variabili di Mandelstam: k p p k k k p e quark Dalla forma Lorentz-invariante (1.15) dell ampiezza di transizione (trascurando la massa del quark):

19 19 Sezione d urto per lo scattering di QED e-q Inserendo nella (1.14): si ha : (1.16) (nell ultima espressione la carica del quark si intende espressa in unita di carica elementare: ) Utilizzeremo questa espressione nella discussione del processo di Deep Inelastic Scattering elettrone-nucleone.

20 20 La costante di struttura fine La costante fondamentale dell interazione e.m.: detta costante di struttura fine (si misura con grande precisione osservando la struttura fine dei livelli energetici atomici) e espressa in unita naturali nel sistema di unita di misura razionalizzato di Heaviside- Lorentz, nel quale la 1 a eq.di Maxwell per il campo E (la legge di Gauss) e espressa nella forma: (ossia 0 =1 ; nel S.I. invece: ), o equivalentemente la legge di Coulomb che definisce il valore della carica elettrica e: La costante e adimensionale: essa entra in (1.16) [eq. espressa in unita naturali ], come rapporto tra una sezione d urto ( dimensione: [ ] = m 2 ) e l inverso del quadrato di un energia ( [1/s] = J -2 ) ; queste quantita sono tra loro omogenee, essendo: [h] = J s e [c] = m s -1. Nel S.I., l espressione di e:

21 21 La costante di struttura fine Infatti: (dalla legge di Coulomb) e quindi la combinazione e adimensionale. Numericamente:

22 22 Scattering elastico elettrone-nucleone Il processo di scattering elettromagnetico ep ep non e un processo point-like (come eq eq o e e ) La sezione durto di Mott, che nel sistema del laboratorio e data dalla (1.16): va modificata. La corrente adronica viene modificata: e- k k p p protone (1.17) con: ed M e ora la massa del nucleone.

23 23 Si dimostra che il termine entro parentesi nella corrente (1.17) e il piu generale 4-vettore che puo essere costruito dalle matrici di Dirac e dai 4-momenti in gioco p, p e q=p-p, tenendo conto che la 4-corrente j hadr deve essere conservata:, ossia q j = 0. [ per una completa discussione, vedi Halzen-Martin, es. 8.5 ] Le funzioni F 1 (q 2 ), F 2 (q 2 ) parametrizzano la nostra ignoranza della struttura dell adrone, e devono essere determinate sperimentalmente, come verra discusso in seguito. Notiamo che il fattore ek /2M che moltiplica F 2 (q 2 ) e il momento magnetico del nucleone ( k e il momento magnetico anomalo: misura il rapporto tra il momento magnetico del nucleone e quello e/2M di una particella point-like di spin ½ come l elettrone). Scattering elastico e-N

24 24 Scattering elastico e-N In effetti si dimostra che nel limite non relativistico, linterazione (1.10) tra una corrente e il 4-potenziale: si decompone in una parte elettrica e una magnetica. Cio discende dalla eguaglianza (decomposizione di Gordon della corrente): (1.18) (1.10) e dal fatto che il 2 o termine in (1.18) inserito in (1.10) da, nel limite non relativistico: dove (2) e uno spinore bidimensionale, sono le matrici di Pauli; il termine a destra da linterazione B di una particella di momento magnetico =e/2M col campo magnetico B [per maggiori dettagli, vedi Halzen-Martin, cap.6.2]

25 25 Scattering elastico e-N (1.19) dove ora M e la massa del nucleone. (ricordiamo che: ) la sezione durto che si ottiene e data dalla formula di Rosenbluth: Se si inserisce j hadr nell elemento di matrice (1.13):

26 26 Scattering elastico e-N La formula di Rosenbluth viene riscritta: (1.19) che sono, come vedremo, interpretabili come fattori di forma magnetico ed elettrico del nucleone: esse sono la trasformata di Fourier delle distribuzioni di carica elettrica e di momento magnetico nel nucleone. (1.20) E utile introdurre le combinazioni lineari:

27 27 Negli esperimenti di scattering elastico su targhetta fissa, il momento trasferito e determinato dalla misura dell energia E dell elettrone diffuso e dall angolo di diffusione: Scattering elastico e-N Nel diagramma di Rosenbluth costruito selezionando dati a q 2 fissato: [ da: Perkins fig.6.4] la pendenza misura direttamente il fattore di forma magnetico G M (q 2 ) al valore scelto di q 2 ; dall intercetta A(q 2 ) si determina G E (q 2 ). e- E E M

28 28 Esperimenti allo Stanford Linear Accelerator (SLAC) sono stati fatti su targhette di idrogeno (=> protoni) e su deuterio (=>neutroni+protoni)). Per sottrazione, da questi ultimi e possibile ottenere la sezione durto su neutroni: Scattering elastico e-N e quindi determinare i fattori di forma anche del neutrone. G E,M p,n (q 2 ) sono stati misurati in un esteso intervallo di momenti trasferiti [vedi, e.g., Phys.Rev.139B(458),1965] [da: Burkam-Jobes Fig.12.8] GMpGMp GEpGEp G M n /(1.91) GEnGEn

29 29 Scattering elastico e-N Tutti i dati sono descritti da un unico andamento di dipolo: dove il fit ai dati sperimentali da: m 2 = 0.71 GeV 2 e le quantita: misurano i momenti magnetici del protone e del neutrone: [ e il magnetone nucleare, momento magnetico di una particelle di Dirac point-like di massa m N ; si ricordi che il magnetone di Bhor vale: (1.21) (1.22)

30 30 Come detto, G E e G M sono i fattori di forma elettrico e magnetico del nucleone, sono cioe in relazione con la sua distribuzione di densita di carica elettrica e di momento magnetico. Osserviamo infatti che dalla (1.20): Scattering elastico e-N e inoltre, dalla formula di Rosenbluth (1.19), per q 2 0 : (1.23) A bassi q 2 ( basse velocita), l elettrone vede solo il potenziale elettrostatico (la parte magnetica e trascurabile), ossia nell ampiezza di scattering possiamo porre: con

31 31 Scattering elastico e-N (x) non dipende dal tempo Utilizzando l integrazione per parti: e l eq. di Poisson per il potenziale: ( e la densita di carica elettrica) dove:

32 32 Scattering elastico e-N Inserendo in T if tale espressione si ottiene: con: Se inserisce questa espressione di M if nel calcolo della sezione durto: si ottiene: (1.24)

33 33 Scattering elastico e-N e confrontando con (1.23) si vede che: ossia il fattore di forma elettrico G E (q 2 ) e la trasformata di Fourier della densita di carica elettrica e (r) del nucleone. Sperimentalmente, abbiamo visto che : Con m 2 =0.71 GeV 2 ; questo risultato puo essere direttamente messo in relazione con le dimensioni del nucleone. Consideriamo una distribuzione a simmetria sferica: (la costante di normalizzazione e A=m 3 /8, imponendo: ) (1.25) Dalla (1.25) si ha: -dcos

34 34 Scattering elastico e-N In definitiva, inserendo si ottiene: dove per brevita negli integrali si e sempre inteso q=|q| e quindi q 2 = |q| 2 >0; nell espressione con q 2 si intende invece il modulo quadro del 4-impulso trasferito q=(k-k): q 2 -2kk=-|q| 2 <0, e quindi le due espressioni coincidono. con:

35 35 Il valore m 2 =0.71 GeV 2 e quindi legato al raggio R della distribuzione di carica: Scattering elastico e-N (vedi Es. 1.5) Il raggio del nucleone misurato dal fattore di forma elettrico del protone e dell ordine di qualche frazione di Fermi. Piu precisamente, il valor medio del quadrato del raggio della distribuzione di carica e: SLAC, Hofstadter e collab. =(4!) / m 5

36 36 Es.1.1: variabile s di Mandelstam e- pepe p e pqpq p q per m e, m q << E essendo E CM =2p In un esperimento su taghetta fissa: p q =(m,0) Ad esempio, negli esperimenti a SLAC: E e =20 GeV, m= m N =0.94 GeV E CM 6 GeV Ad un collisore con fasci simmetrici invece: E CM = 2 E beam (esempio: LEP1,2 : E beam :44-47 GeV, GeV; Tevatrone: 0.9 TeV ); con fasci asimmetrici di energie E 1, E 2 : (esempio: collisore e-p HERA (Desy,Amburgo): E e =27.5 GeV, E p =920 GeV E CM 320 GeV )

37 37 Es.1.2: momento trasferito e angolo di scattering Dimostrare che: e- E M E angolo di scattering nel laboratorio Si ha:

38 38 Es.1.3: formula di Mott Dimostrare che: Utilizzando la conserv. del 4-impulso: p= p+q = p + k - k, si ha: 0 0 q 2 =(k-k) 2 -2kk Nel laboratorio: p=( M, 0) k=( E, k)

39 39 Es.1.3: formula di Mott (cont.) Allora: [es. 1.2] [ si osservi: 0 ] In definitiva:

40 40 Es.1.4: energia dell elettrone uscente nello scattering elastico e-p Dimostrare: Abbiamo visto che [es. 1.3]: Allora: Esperimento a SLAC: E= 401 MeV, =75 o M=939 MeV (targhetta di idrogeno) E = 305 MeV [Hofstadter e collab., 1956]

41 41 Es.1.5: raggio del nucleone Ricordiamo che in unita naturali: inoltre: Pertanto: Allora: Come gia discusso: [nota: un altro utile fattore di conversione e il seguente: infatti: 1 barn = cm 2 = m 2 1 mb = m 2 = 0.1 fm 2 ]

42 42 Esperimenti di scattering elastico e-N a Stanford LINAC da 550 MeV di energia massima entrato in funzione a Stanford (California) a meta degli anni 50: Spettrometro su piattaforma rotante contatore di elettroni [R.Taylor,J.Friedman, W.Kendall Lectures for Nobel Prize, 1990; Rev.Mod.Phys63 (1991),573]

43 43 Lo Stanford Linear Accelerator (SLAC) Alla fine degli anni 60, e entrato in funzione l acceleratore Lineare lungo 2 Miglia: E beam =20 GeV - lintervallo di q 2 e stato notevolmente esteso - si ha accesso allo scattering inelastico (il nucleone viene spaccato con produzione di adroni nello stato finale) Furono realizzati 3 spettrometri dedicati per elettroni da 1.6, 8 e 20 GeV

44 44 Gli esperimenti a SLAC Spettrometri a piccola accettanza angolare (d 1 msterad) posizionabili a diversi angoli di diffusione (1, per E=20 GeV)

45 45 Gli esperimenti a SLAC separatore e/ 1 GeV 2 Esperimenti precedenti:

46 46 Gli esperimenti a SLAC (II) Spettrometro da 20 GeV Primo uso massiccio di computer nel controllo on-line…


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