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U.Gasparini, Fisica I1 Equivalenza degli enunciati di Clausius e di Kelvin-Plank del 2 o Principio della Termodinamica : I) se lenunciato di Clausius non.

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Presentazione sul tema: "U.Gasparini, Fisica I1 Equivalenza degli enunciati di Clausius e di Kelvin-Plank del 2 o Principio della Termodinamica : I) se lenunciato di Clausius non."— Transcript della presentazione:

1 U.Gasparini, Fisica I1 Equivalenza degli enunciati di Clausius e di Kelvin-Plank del 2 o Principio della Termodinamica : I) se lenunciato di Clausius non è vero anche lenunciato di Kelvin è violato T1T1 T 2 > T 1 M se esiste una macchina M che realizza, come unico risutato complessivo, il passaggio del calore Q dal serbatoio a temperatura T 1 a quello a temperatura T 2 > T 1 T1T1 T 2 > T 1 M Q -Q Q Q2Q2 M Q 1 Q allora è possibile affiancarle una macchina M che lavori tra T 1 e T 2 scambiando i calori Q 1 e Q 2 e producendo il lavoro W W Si può inoltre fare in modo che Q 1 Q il risultato complessivo è una macchina termica M+M che assorbe il calore Q 2 - Q > 0 dallunica sorgente a T 2 producendo lavoro, violando lenunciato di Kelvin-Plank 2 o Principio della Termodinamica :

2 U.Gasparini, Fisica I II) se lenunciato di Kelvin non è vero anche lenunciato di Clausius è violato T2T2 M se esiste una macchina M che realizza un ciclo monotermo producendo il lavoro W assorbendo un calore Q da un unica sorgente a temperatura T 2 T1T1 T 2 > T 1 M Q QQ2Q2 M Q1Q1 allora è possibile affiancarle una macchina frigorifera M che utilizzando il lavoro W= -W assorba il calore Q 1 da un serbatoio a temperatura T 1 < T 2 cedendo a T 2 il calore Q 2 : W=Q complessivamente, la macchina termica M+M realizza il passaggio spontaneo del calore Q 1 dalla sorgente a temperatura inferiore T 1 a quella a temperatura superiore T 2, violando lenunciato di Clausius ( il calore scambiato dal serbatoio a T 2 è : W ) Equivalenza tra gli enunciati di Kelvin e Clausius

3 U.Gasparini, Fisica I3 Conseguenza del 2 o Principio della Termodinamica è il teorema di Carnot : Tutte le macchine termiche reversibili che operino fra due stesse sorgenti a temperature T 1 e T 2 hanno lo stesso rendimento R ; ogni altra macchina irreversibile termica che lavori tra le due stesse sorgenti ha un rendimento inferiore. La macchina termica di Carnot è una macchina reversibile che opera tra le sorgenti a temperature T 1 e T 2 ed ha rendimento : In generale quindi: Il rendimento della macchina di Carnot costituisce un limite superiore al rendimento di qualsiasi macchina che lavori tra le due temperature considerate; ciò è vero anche per macchine che lavorino scambiando calore con più di due sorgenti (a temperature intermedie tra T 1 e T 2 ; es. Macchina di Stirling). Teorema di Carnot

4 U.Gasparini, Fisica I4 T1T1 T 2 > T 1 M rev - Q 2 M rev -Q 1 W Q2Q2 Q1Q1 macchina reversibile con rendimento rev macchina reversibile con rendimento rev utilizzata come macchina frigorifera Supponiamo, violando il teorema di Carnot, che sia: le due macchine sono regolate in modo tale da produrre e ricevere rispettivamente lo stesso lavoro W la macchina (M+M) cede il calore Q 2 - Q 2 < 0 al serbatoio a temperatura superiore T 2, ed assorbe il calore Q 1 - Q 1 > 0 al serbatoio a temperatura inferiore T 1, senza alcuna fornitura di lavoro esterno, in contrasto col 2 o Principio Pertanto deve essere : Dimostrazione del teorema di Carnot: Si considerino le due macchine reversibili M ed M :

5 U.Gasparini, Fisica I5 Essendo M ed M macchine reversibili, il loro funzionamento può essere invertito, utilizzando M come macchina frigorifera ed M come macchina termica: T1T1 T 2 > T 1 M rev Q2Q2 Q1Q1 W -Q 2 -Q 1 Ripetendo il ragionamento, si ricava che per non violare il 2 o Principio, deve essere: Confrontando le due diseguaglianze, si deduce: indipendentemente dal sistema termodinamico che compie il ciclo nella macchina M e M. Se la macchina M è irreversibile con rendimento irr, resta dimostrato, dalla prima parte del ragionamento, che: mentre non è possibile invertire il funzionamento di M. Pertanto: Dimostrazione del teorema di Carnot (II)

6 U.Gasparini, Fisica I6 Il teorema di Carnot permette di definire una scala assoluta delle temperature, detta temperatura termodinamica assoluta che è indipendente dalle caratteristiche di un particolare sistema termodinamico (termometro) : si assume come caratteristica termometrica il calore scambiato da una macchina reversibile tra la sorgente la cui temperatura si vuole definire ed una sorgente di temperatura convenzionalmente prefissata (ad es., alla temperatura del punto triplo dellacqua, fissata per convenzione uguale a 273,16 K). Detta una generica temperatura empirica (ad es. quella misurata da un termometro a gas ideale), si definisce la temperatura termodinamica assoluta : calore scambiato da una qualsiasi macchina reversibile col serbatoio alla temperatura calore scambiato dalla macchina reversibile col serbatoio alla temp.di riferimento del punto triplo dellacqua : g tr g( tr ) = 273,16 K Il teorema di Carnot assicura che g è unicamente funzione di Temperatura termodinamica assoluta

7 U.Gasparini, Fisica I7 In particolare, date due sorgenti alle temperature empiriche e, le loro temperature termodinamiche assolute sono: e ossia: Se si considera la temperatura empirica =T del termometro a gas ideale, sappiamo che: Pertanto: le scale della temp. termodinamica assoluta e del termometro a gas ideale sono proporzionali: Poichè inoltre al punto triplo dellacqua esse coincidono: ossia: la scala della temperatura termodinamica assoluta e della temperatura del termometro a gas ideale coincidono Temperatura assoluta e temperatura del termometro a gas ideale

8 U.Gasparini, Fisica I8 Conseguenza del 2 o Principio della Termodinamica è il Teorema di Clausius : per una qualsiasi macchina termica che compie una trasformazione ciclica, la somma dei calori Q i scambiati divisi per le temperature T i dei serbatoi con i quali avvengono gli scambi di calore è minore o uguale a zero, dove il segno di uguaglianza vale per le macchine reversibili: calore scambiato col serbatoio i-esimo temperatura assoluta del serbatoio i-esimo Esso generalizza del teorema di Carnot a cicli termodinamici con scambi di calore con un numero arbitrario di serbatoi. Per un ciclo che scambi calore con soli 2 serbatoi, infatti: teorema di Carnot: Teorema di Clausius

9 U.Gasparini, Fisica I9 M T1T1 T2T2 TiTi TNTN :.. :.. R1R1 R2R2 RiRi RNRN. :. : T0T0 QiQi Q 0i -Q i Q1Q1 -Q 1 Q 0 1 WMWM Data una generica macchina ciclica M che scambi i calori Q i con N serbatoi a temperature T i, si utilizzino N macchine reversibili di Carnot R i che lavorino tra i serbatoi T i ed un serbatoio a temperatura T 0, in modo tale che R i scambi il calore -Q i col serbatoio T i (essa scambierà il calore Q 0 i col serbatoio a temperatura T 0 ). Per ciascuna macchina R i vale la relazione di Carnot: ( i =1,2,…N ) Sommando le N equazioni: calore scambiato dal sistema complessivo (M+R 1 …R N ) che compie un ciclo monotermo; per il Dimostrazione del teorema di Clausius: 2 o Principio:

10 U.Gasparini, Fisica I10 Se la macchina M scambia calore con infiniti serbatoi a temperatura T (ossia T è una variabile continua), la relazione di Clausius si generalizza : quantità infinitesima di calore scambiata col serbatoio a temperatura T temperatura del serbatoio col quale avviene lo scambio di calore Q Se la macchina M è reversibile, deve valere la relazione di uguaglianza, altrimenti invertendo il modo di lavorare di M e di tutte le macchine R i, sarebbe possibile ottenere un ciclo monotermo che produce lavoro, violando il 2 o Principio : Disuguaglianza di Clausius

11 U.Gasparini, Fisica I11 Il teorema di Clausius permette di introdurre una nuova funzione dello stato termodinamico del sistema, l entropia S, tale che la sua variazione tra uno stato iniziale 1 e uno stato finale 2 sia : dove lintegrale è calcolato lungo una qualsiasi trasformazione reversibile che porti il sistema dallo stato 1 allo stato 2. In virtù del teorema di Clausius tale integrale non dipende dalla trasformazione reversibile scelta, e pertanto definisce una funzione unicamente dei parametri termodinamici del sistema nei due stati finale e iniziale : 1 2 (I) (II) Entropia

12 U.Gasparini, Fisica I12 Considerando un ciclo irreversibile, costituito da una trasformazione (1) irreversibile e da una trasformazione (II) reversibile, dalla disuguaglianza di Clausius: 1 2 (I) (II) S 21 S(1)-S(2) In particolare, per un sistema isolato che compia una trasformazione irreversibile da uno stato 1 a uno stato 2, essendo Q 0 : ( N.B: un sistema non isolato che compia una trasformazione irreversibile può ovviamente diminuire la propria entropia) Principio dellaumento dellentropia per un sistema isolato principio dellaumento dellentropia per un sistema isolato

13 U.Gasparini, Fisica I13 Energia inutilizzabile: energia che in un processo irreversibile viene sprecata, ossia non viene utilmente trasformata in lavoro a causa della irreversibilità del processo: è la differenza tra il lavoro W ottenuto nel processo considerato ed il lavoro W R che si sarebbe ottenuto da un processo reversibile che realizzasse gli stessi scambi di calore: La variazione di entropia dell Universo ( sistema che compie la trasformazione + ambiente che scambia calore col sistema), moltiplicata per la temperatura inferiore tra quelle in gioco negli scambi di calore, è una misura di tale energia inutilizzata. Esempi: i) macchina che produce il lavoro W lavorando tra due serbatoi: T1T1 T 2 > T 1 Q2Q2 M Q1Q1 W=Q 1 + Q 2 Energia inutilizzabile

14 U.Gasparini, Fisica I14 ii) per un passaggio spontaneo di calore tra due sorgenti senza alcuna produzione di lavoro ( W=0 ) : T1T1 T 2 > T 1 Q iii) espansione libera di Joule di un gas ideale: W = 0 Energia inutilizzabile (II)

15 U.Gasparini, Fisica I15 Lefficienza di un ciclo frigorifero di Carnot è: operando a temperature ordinarie (T 300 K) e con piccoli intervalli di temperature (ad es. : T = T 2 -T 1 10 K ) è possibile sottrare grandi quantità di calore allambiente più freddo utilizzando piccole quantità di calore : pompa di calore T 1

16 U.Gasparini, Fisica I16 Gli stati termodinamici e le trasformazioni termodinamiche possono essere rappresentati in un diagramma T-S : T SS i S f T i T f i f T(S) In un diagramma T-S, larea sottesa dalla curva rappresentativa di una trasformazione reversibile è uguale al calore scambiato dal sistema nella trasformazione: Per una trasformazione ciclica reversibile, le aree incluse nelle curve chiuse rappresentative del ciclo nei diagrammi p-V e T-S sono uguali, essendo, per il 1 o Principio: W=Q p V T S W ciclo Q ciclo A B A B Diagramma T-S :

17 U.Gasparini, Fisica I17 A B C D p V T S T2T2 T1T1 A D C B T2T2 T1T1 S A =S D S C =S B trasf. isoentropica trasf. isoterma Utilizzando il diagramma T-S, il calcolo del rendimento del ciclo è immediato: ed essendo: Diagramma T-S per il ciclo di Carnot:

18 U.Gasparini, Fisica I18 Rappresentazione di trasf.isobare e isocore di un gas ideale nel diagramma T-S: isobara reversibile: isocora reversibile : p V T1T1 T2T2 T1T1 T2T2 T S A B C A B C Trasformazioni isocore e isobare in diagrammi T-S Diagramma p-V: Diagramma T-S:

19 U.Gasparini, Fisica I19 E possibile definire funzioni di stato, genericamente chiamati potenziali termodinamici, che in virtù dei Principi della Termodinamica, ossia : 1 o Principio 2 o Principio hanno la caratteristica di assumere il valore minimo, in determinati tipi di trasformazione, quando il sistema raggiunge lequilibrio termodinamico ( in analogia con i sistemi meccanici, che sono in una posizione di equilibrio stabile quando è minima lenergia potenziale del sistema) Per qualsiasi trasformazione: ( 1 o Principio ) ( 2 o Principio: disuguaglianza di Clausius ) Potenziali termodinamici

20 U.Gasparini, Fisica I20 ( in un gas ideale: lentalpia è, come lenergia interna, funzione della sola temperatura ) In un processo isobaro: la variazione di entalpia è uguale al calore scambiato: nelle reazioni chimiche (processi isobarici): trasf. esotermiche (producono calore): trasf. endotermiche (assorbono calore): Nei processi isobari ed isoentropici (dp = 0, dS=0): = 0 dp=0 lentalpia assume il valore minimo nelle trasformazioni isobare e isoentropiche Entalpia :

21 U.Gasparini, Fisica I21 Energia libera (o potenziale di Helmotz): Nelle trasf. isocore e isoterme, dalla disuguaglianza: dV=0 dT=0 lenergia libera assume il valore minimo nelle trasformazioni isocore e isoterme Entalpia libera (o potenziale di Gibbs) : Nelle trasf. isobare e isoterme, dalla disuguaglianza: dp=0, dT=0 lentalpia libera assume il valore minimo nelle trasformazioni isobare e isoterme Potenziali termodinamici

22 U.Gasparini, Fisica I22 Esempio di trasformazione isoentalpica: di un gas attraverso un setto poroso (1853) : gas setto poroso pApA p B < p A V A,T A V B,T B Il gas passa da una parte allaltra del setto, per effetto dellazione dei due pistoni; nella trasformazione: (processo adiabatico) 1 o Principio: la trasformazione è isoentalpica espansione adiabatica di Joule-Thomson

23 U.Gasparini, Fisica I23 Se il gas che compie lespansione è un gas ideale: H = U + (pV)=nc V T + nR T = nc P T H=0 T=0 T A = T B la trasformazione isoentalpica è isoterma Per un gas reale, in generale T B T A : pBpB pApA TATA TBTB Se si utilizza come fluido un liquido saturo ( allinizio della linea di equilibrio liquido-vapore), nel processo si ha sempre una diminuzione della temperatura con parziale evaporazione del fluido. Il processo è sfruttato nei frigoriferi. Fluidi frigoriferi


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