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U.Gasparini, Fisica I1 Centro di massa G di un sistema di punti materiali P i : G x y z r CM y CM massa totale del sistema O P1P1 r1r1 Esempio: CM di un.

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1 U.Gasparini, Fisica I1 Centro di massa G di un sistema di punti materiali P i : G x y z r CM y CM massa totale del sistema O P1P1 r1r1 Esempio: CM di un sistema di 3 punti materiali di egual massa m posti ai vertici di un triangolo equilatero di lato l : y x 0 0 h G Centro di massa P2P2 P3P3 z CM x CM P1P1 P2P2 P3P3

2 U.Gasparini, Fisica I2 v1v1 v2v2 v CM Accelerazione del CM : La quantità di moto totale di un sistema di punti materiali può essere espressa da: Velocità e accelerazione del CM

3 U.Gasparini, Fisica I3 Per ogni punto materiale P i di massa m i : risultante delle forze esterne al sistema agenti su P i risultante delle forze interne agenti su P i forza interna che il punto P j esercita su P i P1P1 P2P2 F 12 F 21 = - F 12 F1EF1E (es.: m 1 g ) R E legge di Newton legge di azione e reazione risultante delle forze esterne che agiscono sul sistema accelerazione del CM in un sistema di riferimento inerziale Teorema del moto del centro di massa CM

4 U.Gasparini, Fisica I4 Considerando la quantità di moto totale del sistema : Esempio: il CM di un sistema di punti materiali in moto sotto lazione della forza peso compie il moto parabolico di un punto materiale soggetto allaccelerazione g : In particolare, per un sistema isolato o per il quale la forza risultante di tutte le forze esterne sia nulla : P = costante la quantità di moto totale si conserva. Quantità di moto totale del sistema

5 U.Gasparini, Fisica I5 - il momento risultante delle forze peso agenti sul sistema di punti materiali rispetto ad un polo O é uguale al momento della forza peso totale applicata nel centro di massa del sistema O G m i g M g riri PiPi - lenergia potenziale della forza peso per un sistema di punti materiali è uguale allenergia potenziale di un punto materiale di massa uguale alla massa totale del sistema e coincidente col centro di massa : Proprietà del centro di massa mimi

6 U.Gasparini, Fisica I6 Dato un insieme di forze parallele applicate nei punti P i, esiste un punto C, detto centro delle forze parallele: tale che il momento risultante delle forze F i rispetto ad un generico polo O sia uguale al momento rispetto ad O della risultante applicata in C. Infatti: FiFi riri C PiPi O R Se il sistema delle forze parallele è costituito dalle forze peso : il centro delle forze peso, o baricentro, è: e coincide col centro di massa. Proprietà dei sistemi di forze parallele

7 U.Gasparini, Fisica I7 Un sistema di forze F i applicate in n punti P i ha un momento risultante che in generale dipende dal polo considerato: O O PiPi FiFi OP i OO = OO + OP i = M O Si ha: risultante del sistema di forze In particolare un sistema di forze a risultante nulla ha un momento che non dipende dal polo considerato Momento risultante di un sistema di forze

8 U.Gasparini, Fisica I8 Sistema di due forze di egual modulo e direzione e di verso opposto ( R 0 ). Il momento di una coppia di forze è indipendente dal polo rispetto al quale viene calcolato; prendendo come polo il punto A: A B - F F braccio: b= AB sin (= distanza tra le due rette dazione) M = AB F Per la legge di azione e reazione, le forze interne di un sistema costituiscono un insieme di coppie di braccio nullo. Coppia di forze :

9 U.Gasparini, Fisica I9 Momento angolare di un sistema di punti materiali L G O PiPi G r i = r i rGrG vGvG v i = v i + v G ri +rGri +rG Teorema di Koenig del momento angolare:

10 U.Gasparini, Fisica I10 Moto traslatorio: v G = v 1 = v 2 v1v1 v2v2 v 1 = v 2 = 0 nel sistema di riferimento del CM: G O r2r2 r1r1 Moto roto-traslatorio: Quantità di moto totale: G v2v2 v1v1 v 2 v 1 vGvG rGrG rGrG r 2 r 1 O Quantità di moto totale: Teorema di Koenig del mom.angolare: esempi:

11 U.Gasparini, Fisica I11 Teorema del momento angolare per un sistema di punti materiali ( 2 a equazione cardinale della dinamica) : momento totale delle forze esterne rispetto al polo O velocità del polo O nel sistema di riferimento inerziale nel quale i punti materiale hanno le velocità v i che entrano nella definizione di L O : C O sistema inerziale v GG v i vOvO r i = 0 massa totale del sistema Teorema del momento angolare Infatti:

12 U.Gasparini, Fisica I12 = 0 poichè le forze interne costituiscono coppie di forze a braccio nullo : O m1m1 m2m2 r1r1 r2r2 F 12 F 21 = - F 12 r 12 Pertanto: Infatti, il momento risultante delle forze interne è nullo: Teorema del momento angolare (II)

13 U.Gasparini, Fisica I13 Se il polo O è fisso nel sistema inerziale nel quale sono misurate le velocità v i dei punti materiali: Se il sistema é isolato o il momento risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nullo : L O = costante Il momento angolare totale di un sistema isolato si conserva Momento angolare (III) Una galassia è con ottima approssimazione un esempio di sistema con momento angolare costante

14 U.Gasparini, Fisica I14 Il collasso gravitazionale (e la successiva esplosione) di una supernova avviene conservando il momento angolare della stella originaria. Al centro dei resti della Supernova della nebulosa del Granchio (esplosione osservata da astronomi cinesi nel 1054) vi è una pulsar (oggetto compatto che emette un fascio di radiazione e.m. ruotando con un periodo T pulsar = 33 ms ) L = costante Assumendo, come ordine di grandezza: La pulsar è una stella di neutroni (distanze internucleari 1 fm) pulsar La Supernova della nebulosa del Granchio Dalla conservazione del momento angolare [per un oggetto sferico rotante, come la stella iniziale prima dellesplosione o la pulsar finale: L= I, dove I=5MR 2 /2 (vedi più avanti, lezioni sul corpo rigido), dove M=massa delloggetto e R è il suo raggio ] si ha allora: giorni

15 U.Gasparini, Fisica I15 Se viene scelto come polo il centro di massa del sistema: O G, dove: vettori posizione rispetto al polo G velocità dei punti materiali nel sistema inerziale: velocità rispetto a G Applicando il teorema di Koenig del momento angolare: vettore posizione di G rispetto ad O al caso in cui O=G : e quindi: ossia calcolato utilizzando sia le posizioni r i che le velocità v i rispetto al centro di massa G. i Momento angolare rispetto al centro di massa dove è il momento angolare relativo al sistema del CM,

16 U.Gasparini, Fisica I16 Energia cinetica di un sistema di punti materiali: O G r i = r i rGrG v i = v i + v G PiPi ri +rGri +rG energia cinetica associata al moto del CM energia cinetica E K associata al moto relativo al CM Teorema di Koenig per lenergia cinetica: vGvG

17 U.Gasparini, Fisica I Teorema dellenergia cinetica per un sistema di punti materiali : lavoro delle forze interne tra gli istanti iniziale e finale lavoro delle forze esterne al sistema ds j Il lavoro infinitesimo dW di tutte le forze agenti sul sistema quando ciascun punto materiale si sposta del vettore infinitesimo ds j è: FjFj Integrando su spostamenti finiti: posizione finale di ciascun punto P j posizione iniz. Teorema dellenergia cinetica

18 U.Gasparini, Fisica I18 Nel calcolo del lavoro, si deve tener conto sia delle forze interne che di quelle interne; il lavoro delle forze interne non è, in generale, nullo : O tempo t tempo t +dt F 12 0 dr 1 dr Lavoro delle forze interne ed esterne


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