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Potenziale costante V(x)=cost La forza (gradiente del potenziale) è nulla Particella libera Quando la relazione tra lenergia totale di una particella e.

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Presentazione sul tema: "Potenziale costante V(x)=cost La forza (gradiente del potenziale) è nulla Particella libera Quando la relazione tra lenergia totale di una particella e."— Transcript della presentazione:

1 Potenziale costante V(x)=cost La forza (gradiente del potenziale) è nulla Particella libera Quando la relazione tra lenergia totale di una particella e la sua energia potenziale è tale che classicamente la particella sarebbe limitata a una regione limitata dello spazio perché lenergia potenziale eccederebbe quella totale al di fuori di tale regione, allora la teoria di Schroedinger predice che lenergia totale è quantizzata. e che la particella non è legata ad una regione limitata allora la teoria predice che lenergia può assumere qualunque valore Quando questa relazione è tale che la particella non è legata ad una regione limitata allora la teoria predice che lenergia può assumere qualunque valore Ma anche la funzione con –k è soluzione associata con lo stesso valore dellenergia. Sono due onde che viaggiano in direzione opposta

2 Potenziale costante V(x)=cost Una combinazione lineare delle due funzioni è ancora soluzione dellequazione per la stessa energia (eq alla derivata seconda quindi due costanti di integrazione) Se una delle costanti è presa nulla si ha un onda che viaggia in una direzione o nellaltra. Se le due costanti sono uguali si ha unonda stazionaria Vediamo nel caso di onda che viaggia in una direzione i valori di aspettazione della posizione e dellimpulso

3 Gradino di Potenziale Funzione donda finita in tutto lintervallo di validità V(x>0)=V 0 V(x<0)=0 Prendiamo 0

4 Gradino di Potenziale V(x>0)=V 0 V(x<0)=0 Interpretiamo la soluzione trovata onda piana che viaggia da - verso 0 una che viaggia da 0 verso - da 0 verso esponenziale decrescente da 0 verso - Onda incidente Coefficiente di riflessione OPPURE Onda riflessa Onda evanescente Onda stazionaria Onda evanescente Penetrazione in una zona classicamente esclusa (x>0)

5 Penetrazione in una zona classicamente esclusa V(x>0)=V 0 V(x<0)=0 Distanza di penetrazione x per una particella, r = m = 104 kg/m3, v = m/sec, V 0 (x>0)=2K(x<0) V 0 -E=K= Per particelle più massive e/o energie maggiori (tipiche dei casi della meccanica classica) la penetrazione diminuisce ancora

6 Gradino di Potenziale Prendiamo ora E>V 0 e consideriamo separatamente leq per x positive e negative Continuità della funzione donda in x=0 Continuità della derivata della funzione donda Due (coppie di) onde con diverso impulso/lunghezza donda nelle due diverse regioni di potenziale. Non cè però ragione di considerare un onda che si propaga nella direzione delle x decrescenti per x>0 Quindi D=0

7 Gradino di Potenziale V(x>0)=V 0 V(x<0)=0 Interpretiamo la soluzione trovata onda piana che viaggia da - verso 0 una che viaggia da 0 verso - da 0 verso una che viaggia da 0 verso Onda incidente Coefficiente di riflessione Onda riflessa Onda trasmessa X<0 onda stazionaria (probabilità oscillante tra il valore di min e quello di max) X>0 onda viaggiante (probabilità costante su tutta la regione) ( Assumendo k 1 =2k 2 ovvero R=1/3)

8 Barriera di potenziale Le soluzioni nelle zone a potenziale nullo sono note Per le usuali considerazioni si può assumere D=0 Per la zona allinterno della barriera invece bisogna considerare separatamente il caso di E maggiore o minore di V 0 In entrambi i casi non si può assumere che G=0 La regione è limitata e quindi nessuno dei due esponenziali esplode La regione è limitata e quindi nessuno dei due esponenziali esplode in alcun limite Allinterfaccia si ha riflessione dellonda e quindi occorre prevedere una componente che viaggia nella direzione delle decrescenti Allinterfaccia x=a si ha riflessione dellonda e quindi occorre prevedere una componente che viaggia nella direzione delle x decrescenti

9 Barriera di potenziale E

10 Barriera di potenziale E>V 0 Abbiamo onde viaggianti in tutte le regioni ma allinterno della barriera la lunghezza donda aumenta ovvero la velocità diminuisce

11 Potenziale a gradino In entrambi i casi la riflessione tende a uno per In entrambi i casi la riflessione tende a uno per E/V 0 0 e a zero per E/V 0 Ma per la barriera di potenziale si ha un passaggio più progressivo a causa dello spessore finito della zona classicamente esclusa che permette il tunneling di una parte dellonda. Inoltre si osservano oscillazioni dovute alla interferenza delle onde riflesse alle due interfacce della barriera (lo stesso vale anche per la parte trasmessa) Barriera di potenziale Il caso del potenziale a gradino corrisponde al limite della barriera di potenziale di larghezza infinita

12 Fenomeni di tunneling attraverso barriere di energia sono frequenti. La riflessione totale frustrata alla doppia interfaccia di due mezzi è lanalogo classico del tunneling di particelle Ma il tunnelling attraverso una barriera di potenziale è anche allorigine di un paradosso riguardo allemissione di particelle nel decadimento a di nuclei radioattivi di nuclei radioattivi lenergia della particella emessa era sensibilmente minore del potenziale Coulombiano a distanze nucleari. La risposta sta nel tunneling quantistico attraverso una barriera di potenziale. Ma il tunnelling attraverso una barriera di potenziale è anche allorigine di un paradosso riguardo allemissione di particelle nel decadimento a di nuclei radioattivi. Dagli esperimenti di Rutherford si era determinato il potenziale nucleare con grande precisione. Però si osservava che nel decadimento a di nuclei radioattivi lenergia della particella emessa era sensibilmente minore del potenziale Coulombiano a distanze nucleari. La risposta sta nel tunneling quantistico attraverso una barriera di potenziale. Un altro esempio lo si può trovare nelloscillazione della molecola di Ammonia NH 3 tra le sue due configurazioni

13 La buca di potenziale Classicamente la particella oscillerebbe tra le due pareti per un valore di energia (

14 La buca di potenziale I valori di energia E>V 0 invece sono tutti permessi e danno onde propaganti come nei casi precedenti Le funzioni donda saranno del tipo riportato qui sotto. La onda deve essere stazionaria e questo impone che la lunghezza donda sia in relazione con la dimensione della buca (la penetrazione nella zona classicamente proibita entra anchessa nel conto) Quanto più profonda sarà la buca tanto minore sarà la penetrazione al di fuori

15 La buca infinita di potenziale Imponiamo le condizioni di continuità sulla funzione donda ai due estremi della buca Sommando e sottraendo perveniamo alle due relazioni. Entrambe devono essere soddisfatte. Possiamo imporre che una tra A e B sia nulla e che k soddisfi laltra n=1,3,5, … n=2,4,6, … E 0 =0 non è permesso dal principio di indeterminazione.

16 Oscillatore armonico semplice Potenziale continuo Vastissima applicazione Insieme al potenziale Coulombiano copre una gamma vastissima di fenomeni fisici Tutte le piccole vibrazioni intorno ad una posizione di equilibrio Ogni potenziale dotato di minimo può essere approssimato per piccole oscillazioni da un oscillatore armonico

17 Oscillatore armonico semplice Classicamente frequenza Classicamente energia (x 0 ampiezza) Quantisticamente energia Funzioni donda Energia di punto zero n Autofunzioni


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