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Politecnico di Milano Laurea Specialistica Anno Accademico 2003-04 THE OSCILLATION-ROTATION ATTRACTORS IN THE FORCED PENDOLUM Corso : Caos deterministico.

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Presentazione sul tema: "Politecnico di Milano Laurea Specialistica Anno Accademico 2003-04 THE OSCILLATION-ROTATION ATTRACTORS IN THE FORCED PENDOLUM Corso : Caos deterministico."— Transcript della presentazione:

1 Politecnico di Milano Laurea Specialistica Anno Accademico THE OSCILLATION-ROTATION ATTRACTORS IN THE FORCED PENDOLUM Corso : Caos deterministico e applicazioni Docente : Carlo Piccardi Studente: Maria Pia Bazzano

2 Moto forzato del pendolo Il moto del pendolo forzato esternamente è un esempio di sistema dinamico non-lineare, ricco di fenomeni quali il caos e alcune biforcazioni complesse. Si tratta di moto sia oscillatorio sia rotazionale. Lequazione del moto del pendolo forzato è: in cui x rappresenta langolo formato rispetto alla posizione di equilibrio, h è il coefficiente di attrito viscoso, e F indicano rispettivamente la frequenza e lampiezza della forzante.

3 Trasformando lequazione in un sistema: con V Energia potenziale: V(x)=1-cos(x). sostituendo al termine nellequazione di partenza a lo sviluppo in serie di Taylor si ricava lequazione di Duffing: Equazione di Duffing

4 Nel diagramma della risposta x alla forzante in funzione della frequenza di questultima si nota la presenza di più tipologie di biforcazione, alcune delle quali definite strade verso il Caos. Indicatori di comportamenti Caotici: Cascata di Feigenbaum Finestre Periodiche Struttura Frattale Risposta in frequenza(1)

5 Risposta in frequenza(2) F<0.20 (a): gli attrattori di oscillazione risonante Sr e non-risonante Sn perdono la loro stabilità in un nodo-sella (snA). 0.20

6 Sezione di Poincaré (Mappa stroboscopica di periodo di campionamento T=2 / ), riduce la dimensione del sistema da tri-dimensionale a bi- dimensionale. La soluzione T-periodica si riduce così ad un solo punto. Si ricavano sia il bacino di attrazione degli attrattori coesistenti, sia il diagramma di biforcazione al variare dei parametri F e. Sezione di Poincaré

7 F<0.48 Il sistema ha comportamento periodico di periodo T= 2π/. Sr e Sn indicano le oscillazioni risonanti e non-risonanti attorno alla posizione di equilibrio x=0. Sr 1 e Sr 2 sono i due attrattori coesistenti di asimmetrica Risonanza, che appaiono dopo la biforcazione flip di Sr (sb). SnA è la biforcazione nodo-sella del ramo Sn. Cr indica il punto di inizio di comportamento caotico e il bacino di esistenza di Sr. M denota la condizione di Melnikov. Nella regione 1 appaiono gli attrattori Sor 1 e Sor 2 : il periodo di oscillazione e rotazione è lo stesso della semplice oscillazione data da Sn (il sistema completa una rotazione ed una oscillazione allinterno del periodo della forzante). 1 e 2 indicano il senso orario e anti- orario. Diagramma di Biforcazione(1)

8 Bacino di attrazione a Struttura frattale (a) Ritratto di fase(b) Bacino di attrazione

9 F>0.48 Si presenta il tumbling caos (Cascata di Feigenbaum) con attrattori evidentemente caotici, legati ad una irregolare combinazione di rotazioni ed oscillazioni, con senso di rotazione che cambia in modo random. Diagramma di Biforcazione(2) (a) Andamento temporale x(t)(b) Mappa di Poincaré dello strano attrattore Tumbling caos

10 Per =1.0 il sistema possiede un unico attrattore di oscillazione Sr. La biforcazione flip (sb) provoca la comparsa di due attrattori di oscillazione asimmetrica Sr 1 e Sr 2. Da Cr segue la Cascata di Feigenbaum. Nella regione 1 appare una finestra periodica allinterno della cascata di Feigenbaum, come nella regione 2. Nella regione 1 coesistono due attrattori periodici che subiscono il raddoppio di periodo e il successivo Caos. Invece nella regione 2 cè un solo attrattore periodico da cui parte la biforcazione flip e altra Cascata. Diagramma di Biforcazione(3)

11 Regione 1: attrattori Sor 1 e Sor 2, il cui bacino di attrazione ha struttura frattale. (b) Bacino di attrazione (a) Ritratto di fase

12 Regione 2: un solo attrattore di oscillazione e rotazione Sor w legato a due rotazioni, in senso sia orario sia antiorario e ad una completa oscillazione attorno alla posizione di equilibrio.

13 Finestra Periodica(1) (a)-(d) Finestre nella Regione 1 al variare di F Fig(a): Sor 1 e Sor 2 (rami stabili della soluzione) nascono per biforcazione nodo-sella e scompaiono per raddoppio di periodo. (F=0.6) Fig(b): si verifica la situazione della Fig(a), ma con la comparsa di altre soluzioni Sor 1 e Sor 2. (F=1.22) Fig(c): Sor 1 e Sor 2 nascono per dimezzamento di periodo e scompaiono per raddoppio di periodo. (F=1.32) Fig(d): si verifica la situazione della Fig(c). (F=1.40)

14 Per F=1.42 la prima Cascata di periodo cessa di esistere e per F=1.5 Sr rimane invariato e dopo la sua scomparsa il sistema si stabilizza su Sor 1 o Sor 2. (per ω decrescente) Finestra Periodica(2) Ciclo di Isteresi: (per ω=0.94) tumbling caos comparsa di Sor 1 e Sor 2 per dimezzamento di periodo scomparsa di Sor 1 e Sor 2 per raddoppio di periodo stabilizzazione del sistema su Sr 1 e Sr 2, seguita poi dal ramo della soluzione oscillante risonante di Sr (per ω crescente)

15 Conclusioni La coppia degli attrattori oscillo-rotatori di periodo T Sor 1 o Sor 2 coprono 3 differenti regioni: la zona in cui si trova lattrattore di oscillazione risonante Sn la zona di Tumblig caos, in cui Sor 1 o Sor 2 individuano la finestra periodica la zona, per alti valori della forzante, in cui si passa da comportamento periodico a comportamento caotico. Il bordo del loro bacino di attrazione ha struttura frattale. Per F 1.1 le loro orbite nascono per biforcazioni nodo-sella e muoiono per una cascata di raddoppio di periodo. Per F 1.3 la biforcazione nodo-sella sparisce, sostituita da una cascata di dimezzamento di periodo. Per alti valori di F Sor 1 o Sor 2 coesistono con lattrattore di oscillazione risonante Sr e appare anche il fenomeno dellisteresi.


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