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A. Castelletti, MCSA, 2004/05 L12 Modelli empirici Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

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1 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 L12 Modelli empirici Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

2 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 2 Mappa didattica COMPONENTESerbatoioBacino imbrifero TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici

3 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 3 Il bacino imbrifero sezione di chiusura

4 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 4 t P impulso di pioggia unitario Il metodo razionale (Mulvany, 1850) d(t)d(t) pioggia P t scalino di pioggia unitario t A d tctc t tctc t+dt A(t)A(t) t

5 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 5 Lidrogramma unitario (Sherman, 1932) Postulati Per un dato bacino: a) la durata del deflusso superficiale è uguale per precipitazioni di ugual durata, indipendentemente dal volume totale della stessa. b) precipitazioni con ugual distribuzione temporale producono al tempo t dal loro inizio, deflussi con rapporto pari al rapporto dei volumi totali delle precipitazioni. c) la distribuzione temporale del deflusso è indipendente dalla storia precedente del bacino.

6 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 6 Integrale di convoluzione : Lidrogramma unitario (Sherman, 1932) t P d t tctc somma di idrogrammi successivi idrogramma unitario pioggia Il bacino è un sistema lineare.

7 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 7 Modello di Nash, 1957 PtPt dtdt Interpreta il bacino come una sequenza di serbatoi in cascata. Equazione di transizione di stato h1Pth1Pt k1xt1k1xt1 x1x1 h2Pth2Pt k2xt2k2xt2 x2x2 h3Pth3Pt k3xt3k3xt3 x3x3 x4x4 h4Pth4Pt k4xt4 =k4xt4 = dtdt

8 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 8 Modello di Nash, 1957 Interpreta il bacino come una sequenza di serbatoi in cascata. Equazione di transizione di stato Sistema lineare

9 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 9 Modelli ARX (anni 70) d t+1 = d t ipotesi di persistenza d t+1 = 2d t - d t-1 AR(2) d t+1 = a 1 d t +….+a n d t-n+1 AR(n) ARX d t+1 = P t-n+1 n legato al tempo di corrivazione d t+1 = b 1 P t + …+b n P t-n+1 3) modello completo: 1) previsione deflusso con dati di precipitazione : 2) previsione deflusso con dati di deflusso : t d t-2 t-1 t t+1 misurato calcolato

10 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 10 Considerazioni ARX Sherman : un modello lineare, descritto tramite la risposta allimpulso. ARX Mulvany : il bacino è un sistema lineare ( la risposta allo impulso è la derivata della risp. allo scalino). I quattro modelli fin qui visti sono matematicamente identici. Corrispondono tutti a una stessa equazione: un sistema lineare. ARX è la relazione ingresso-uscita di un modello discreto lineare RX Nash

11 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 11 Considerazioni I quattro approcci differiscono solo per il metodo di taratura dei parametri Mulvany : effettua una stima qualitativa partendo da considerazioni topografiche. Sherman : attribuisce all idrogramma unitario forme data a priori, oppure lo stima a partire da eventi impulsivi realmente accaduti. Nash : classicamente stima i parametri per tentativi ed errori. ARX : adotta algoritmi di stima parametrica ai minimi quadrati.

12 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 12 ma allora... Perchè non identificare direttamente la struttura del modello senza preoccuparsi di ricostruire le relazioni causali che caratterizzano il processo fisico? Più precisamente, si potrebbe identificare la relazione che lega gli ingressi alluscita senza preoccuparsi di cosa avviene allinterno del sistema! Si potrebbe ad esempio descrivere la dinamica delluscita con una relazione della forma detta forma ingresso-uscita o rappresentazione esterna modelli empirici

13 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 13 Modelli empirici Si limitano a riprodurre il legame intercorrente tra ingressi e uscite del sistema. Serie storica delle piogge Modello empirico Serie storica delle portate non permettono di descrivere cambiamenti nella struttura del sistema idrico. Svantaggi:

14 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 14 Modelli empirici Siamo certi che esista sempre una rappresentazione esterna? La Teoria dà risposte, ma... inutili. In pratica si procede così: si assume empiricamente che esista; si fissa a priori una struttura e lordine (p,r,r,q) e si tarano i parametri con opportuni algoritmi; se laderenza alla realtà è buona si è trovata la forma cercata; altrimenti si torna al passo precedente aumentando lordine e si continua fino a che la si trova o lordine raggiunto è troppo elevato. rappresentazione interna del serbatoio rappresentazione esterna Esempio

15 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 15 Modelli empirici Questi modelli non si propongono di capire come il sistema funzioni (scopo scientifico), ma solo di predire luscita che si otterrà in risposta a dati ingressi (scopo ingegneristico). modelli a scatola nera (black-box models) Si cerca la forma esterna in una classe di funzioni fissata a priori Se le variabili sono tutte scalari viene spesso adottata la forma lineare classe PARMAX

16 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 16 Modelli empirici La forma lineare è semplice ed esistono potenti algoritmi per la stima dei suoi parametri, ma non è sempre la più adatta... ma... non-lineare! NO! Conviene utilizzare una classe di funzioni non-lineare, come le RETI NEURALI ARTIFICIALI

17 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 17 Modelli empirici stocastici Conviene, inoltre, considerare la forma stocastica O a volte In generale rumore di processo

18 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 18 Osservazioni La forma esterna può essere identificata solo se sono disponibili serie storiche abbastanza lunghe di ingressi e uscite. I modelli empirici non possono essere adottati quando le alternative comportano modifiche alla struttura interna del sistema, perchè non possono descriverne gli effetti. Non esistono ovviamente serie storiche che risentano di tale modifica. La capacità predittiva di un modello empirico dipende fortemente dalla classe di funzioni adottata a priori.

19 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 19 Modelli concettuali Realtà Modelli empirici Modelli concettuali e empirici come trovarlo? spazio dei modelli

20 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 20 Ricapitolando I modelli meccanicistici rischiano di essere troppo complicati e spesso descrivono particolari irrilevanti ai fini del progetto, che non influenzano, cioè, la relazione ingresso-uscita. Lidentificazione dei modelli empirici richiede di specificare a priori la classe di funzioni in cui cercare la loro forma definitiva e questa scelta condiziona fortemente la qualità del modello. IDEA (1994) Utilizzare un modello meccanicistico, ma individuare la forma della relazione che lo definisce non da conoscenze a priori (la Fisica, lIdraulica,...), ma direttamente dai dati.

21 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 21 Un esempio Cunning river - Australia ? Il suolo asciutto assorbe la pioggia.

22 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 22 deflusso misurato deflusso stimato Un primo modello del fiume Cunning proviamo con un PARMAX precipitazione NO

23 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 23 Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) proviamo con un DBM Il valore del parametro dipende dalla portata di deflusso, che a sua volta dipende dallumidità del terreno.

24 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 24 deflusso misurato deflusso stimato Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) proviamo con un DBM ora la previsione è molto buona

25 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 25 Mappa didattica COMPONENTESerbatoioBacino imbrifero TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici Empirici Modello del disturbo Meccanicistici basati sui dati

26 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 26 I disturbi Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa. Per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi. definito dalla politica deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto? casuale: chi lo fornisce? N.B. I disturbi di cui parliamo sono quelli del sistema globale, non del componente.

27 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 27 per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi. deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto? casuale: chi lo fornisce? I disturbi Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa. definito dalla politica N.B. I disturbi di cui parliamo sono quelli del sistema globale, non del componente. Mare Adriatico Fucino VILLA VOMANO PIAGANINI PROVVIDENZA CAMPOTOSTO MONTORIO (M) SAN GIACOMO (SG) Distretto irriguo (CBN) S. LUCIA (SL) PROVVIDENZA (P)

28 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 28 Chi li fornisce? Due possibilità: 1.adottare la traiettoria storica ma potrebbe essere troppo breve. 2.identificare un modello non deve avere disturbi tra gli ingressi altrimenti si cade in un circolo vizioso che, però, è a volte utile.

29 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 29 Chi li fornisce? Due possibilità: 1.adottare la traiettoria storica ma potrebbe essere troppo breve. 2.identificare un modello non deve avere disturbi tra gli ingressi altrimenti si cade in un circolo vizioso che, però, è a volte utile. Prima o poi il disturbo deve essere spiegato senza introdurre altri ingressi e, quindi, solo in base ai valori che ha assunto negli istanti precedenti o, al più, delle variabili di stato e di controllo del sistema.

30 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 30 Il modello deve dunque essere empirico meglio cambiare notazione NO! circolo vizioso! a meno che... … non debba e non possa essere spiegato perché è un rumore bianco rumore di processo

31 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 31 Il rumore bianco Se una serie di dati ammette un modello si dice che è algoritmicamente comprimibile. Una serie non algoritmicamente comprimibile è un rumore bianco Quando il disturbo è stocastico ciò equivale a dire che il suo correlogramma è identicamente nullo. Conclusione: i disturbi devono essere bianchi Vedremo in seguito come descriverli.

32 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 32 Tipi di modelli Rete Bayesiane di credenza (BBN) Modelli meccanicistici Modelli empirici Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) Modelli dei disturbi (Catene di Markov)

33 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 33 Leggere MODSS Cap. 4

34 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 34 Bacini imbriferi del Vomano Utilizziamo dei modelli PARMA 1.Identificazione di una distribuzione di probabilità che descriva i dati

35 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 35 Carta prob. Log1100 e prec strum.Carta prob. Log1100 e prec strum.

36 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 36 Bacini Utilizziamo dei modelli PARMA 1.Identificazione di una distribuzione di probabilità che descriva i dati 2.Normalizzazione 3. Standardizzazione 4. Modello PARMA

37 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 37 Bacini Definizione dellordine del modello PARMA (n, p) Si procede iterativamente, provando diverse combinazioni di n e p e verificando per ognuna se il residuo è bianco Se il residuo è bianco ci si ferma: il modello spiega completamente i dati

38 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 38 Bacini Nel caso del Vomano per tutti e tre i bacini si è scelto un PAR(0) definito dunque solo da media t e deviazione standard t ciclostazionario di periodo 365: media e varianza sono diverse ogni giorno

39 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 39 PAR(0) Campotosto

40 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 40 PAR (0) Provvidenza

41 A. Castelletti, MCSA, 2004/05 41 PAR(0) Piaganini


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