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L20 Razionalità parziale Andrea Castelletti Modellistica e Controllo dei Sistemi Ambientali.

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Presentazione sul tema: "L20 Razionalità parziale Andrea Castelletti Modellistica e Controllo dei Sistemi Ambientali."— Transcript della presentazione:

1 L20 Razionalità parziale Andrea Castelletti Modellistica e Controllo dei Sistemi Ambientali

2 2 Il Problema di progetto

3 3 Perché lACB non funziona Gli indicatori non sono esprimibili nella stessa unità di misura (difficilmente monetizzabili) Es.: come monetizzare la vita umana? Esistono diversi indicatori (punti di vista) Es. zambesi: ogni decisore è interessato al suo beneficio Gli indicatori sono conflittuali Es. zambesi ogni stato ha più portatori il massimo beneficio globale non dice come è distribuito il beneficio individuale

4 4 Analisi a molti attributi Spesso gli obiettivi sono numerosi e incommensurabili. Esempio Risanamento di un lago inquinato n alternative di intervento q obiettivi Quale scegliere? J2J2 J1J1 min [costo]J1J1 min [impopolarità]J2J2 min [tempo]J3J3 min [rischio]J4J4 a molti attributi

5 5 Analisi a molti obiettivi Esempio: Gestione delle acque di un lago regolato: infinite alternative (politiche) q obiettivi Vale la pena spostarsi da H ? H J2J2 J1J1 min [piene a valle]J2J2 min [deficit agricoli]J3J3 min [deficit idroelettrici]J4J4 min [zanzare]J7J7 min [ostacoli navigazione]J5J5 min [rischio igienico]J6J6 min [piene sul lago]J1J1 a molti obiettivi

6 6 Il Piano del Sinai Obiettivo: migliorare la qualità della vita in Egitto, aumentando la superficie coltivata, Proposte di progetto: bonifica di zone desertiche (reclaimed lands) nelle 7 aree Z j (j=1,...,7) sfruttando lacqua dei 4 canali S s (s=1,...,4) e scegliendo la rotazione R i colturale e la tecnica irrigua I h (h=1,2,3) appropriate. Criterio di valutazione: beneficio netto a regime economico popolamento della regione socio-politico e accrescere loccupazione, presidiando al contempo la regione.

7 7 Il Piano del Sinai: Fase2- definizione degli indicatori Il Progetto comprende 2 obiettivi e non può più essere formulato con lABC (richiesta inizialmente dal Ministero). Oltre allobiettivo economico... va considerato anche quello socio-politico Massimizzare la più piccola frazione di area bonificata tra tutte le zone. Area [feddan] da destinare alla rotazione R i nella zona Z j con la tecnica irrigua I h.

8 8 Il Piano del Sinai: Fase 4 – Progetto delle alternative Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma soggetto ai vincoli

9 9 Il Problema di progetto a MO

10 10 Efficienza = Pareto ottimalità A C J1J1 J2J2 A B C J2J2 J1J1 C e preferibile ad A perche migliore rispetto a entrambi gli obiettivi A edominato da C A e B sono semidominati da C B

11 11 Efficienza = Pareto ottimalità J2J2 J1J1 soluzione efficiente soluzione non dominata da altre soluzioni J2J2 J1J1 linsieme di queste soluzioni è detto: frontiera di Pareto

12 12 Formalmente Z spazio delle alternativeJ2J2 J1J1 spazio degli obiettivi frontiera di Pareto Non e una relazione biunivoca!!

13 13 Soluzione di un problema a MO Spesso si suddivide la ricerca in 2 fasi: 1) determinazione della Frontiera; (metodo dei pesi, dei vincoli, del punto di riferimento) Lidea guida è di ricondurre il problema MO a un insieme di problemi a un solo obiettivo. 2) Scelta del miglior compromesso da parte dei DM (o Portatori). Quando il DM è unico si possono suggerirgli dei metodi per scegliere: massima curvatura, utopia, funzione utilità globale. Esistono anche tecniche che non suddividono la ricerca in due fasi grazie alla partecipazione interattiva con il DM. (ad es. Pareto Race)

14 14 Metodi per la determinazione della frontiera Metodo lessicografico

15 15 Metodo lessicografico Gli obiettivi J i possono avere diverse priorità. Esempio: Legge Galli => stabilisce che luso dellacqua per consumo umano è prioritario rispetto agli altri usi. Si deve tenerne conto nellimpostazione del problema di controllo. Si avrà un ordinamento degli obiettivi: obiettivo primario, secondario …..

16 16 Metodo lessicografico Supponiamo di avere due obiettivi J 1 e J 2 così ordinati: primario J 2, secondario J 1 1° problema J 2 J 1 sottoinsieme Z 2 dove J 2 è minimo z 2 z 1 2° problema Z J 1 e J 2 minimi J 2 minimo

17 17 Metodo lessicografico Se lordine è invece: primario J 1, secondario J 2 1° problema J 2 J 1 z 2 z 1 2° problema Z sottoinsieme Z 1 dove J 1 è minimo J 1 minimo J 1 e J 2 minimi estremi della Frontiera di Pareto

18 18 Metodi per la determinazione della frontiera Metodo dei pesi Metodo lessicografico

19 19 Metodo dei pesi Al variare di {λ i } si generano i punti della frontiera. q-1 gradi di libertà modifico il valore dei pesi J1J1 J2J2 punto paretiano

20 20 Pregi e difetti Pregio : si ottiene sempre un punto Paretiano Difetto : non sempre si ottengono tutti i punti J2J2 J1J1 Ciò accade quando la frontiera di Pareto non è convessa. Punti non ottenibili Il metodo assomiglia allAnalisi Costi –Benefici. I pesi corrispondono ai prezzi ombra.

21 21 Metodi per la determinazione della frontiera Metodo dei pesi Metodo dei vincoli Metodo lessicografico

22 22 L2L2 Metodo dei vincoli J1J1 J2J2 Al variare delle soglie {L i } si generano i presunti punti paretiani. q-1 gradi di libertà presunto punto paretiano modifico il valore della soglia L 2 P P L2L2

23 23 Pregi e difetti Difetto: non tutti i punti generati appartengono alla frontiera di Pareto P può essere semi-efficiente! J2J2 J1J1 P J2 =L2J2 =L2 Se si usa un vincolo di uguaglianza si possono ottenere punti dominati J2J2 J1J1 P Pregio: trova punti in zone concave della frontiera J2J2 J1J1 P

24 24 Metodi per la determinazione della frontiera Metodo dei pesi Metodo dei vincoli Metodo del punto di riferimento Metodo lessicografico

25 25 J1J1 J2J2 Metodo del punto di riferimento Preso un punto P qualsiasi nel piano (J 1,J 2 ), definiamo una misura S: Le linee di livello di S sono delle spezzate con vertice lungo la retta inclinata a 45° passante per R. Il DM sceglie un punto R nel piano. R P S S S S

26 26 Metodo del punto di riferimento Lalgoritmo cerca il punto della frontiera di Pareto più vicino secondo la metrica S(J i (z),R). Modificando R si può esplorare la frontiera di Pareto. R J1J1 J2J2 P R Il DM fornisce R.

27 27 Pregio: se la trasformazione dellinsieme Z nello spazio degli obiettivi è un insieme non convesso, posso ottenere punti che non giacciono sulla retta passante per R e inclinata di 45°; N.B.: R può appartenere allinsieme degli obiettivi realizzabili. Infatti S(J,R) non è una distanza e può quindi assumere valori negativi. J1J1 J2J2 R R Pregi e difetti

28 28 Scelta del miglior compromesso La scelta di un punto sulla frontiera di Pareto non è una decisione tecnica, ma politica. Deve essere dunque fatta dal DM o dai decisori. Lanalista deve solo assistere (supportare) il DM nella sua scelta o gestire gli aspetti tecnici della negoziazione tra i decisori. I metodi suggeriti nelle prossime diapositive devono essere visti come esempi di supporto al DM. La Pareto race può essere utilizzata anche nel caso di molti decisori. Si veda il Progetto Verbano.

29 29 Scelta del migliore compromesso criterio della max curvatura In C la curvatura è max: non conviene spostarsi da lì per cercare una soluzione migliore. J2J2 J1J1 C Per migliorare di poco un obiettivo si peggiorerebbe di molto laltro.

30 30 Scelta del migliore compromesso criteri dellutopia Lutopia U rappresenta i minimi assoluti (e indipendenti) degli obiettivi (per questo non è quasi mai realizzabile). J2J2 J1J1 U C Partendo da un punto H storico J2J2 J1J1 U H C Minima distanza

31 31 Scelta del migliore compromesso curve di indifferenza La scelta del miglior compromesso dovrebbe rispecchiare i meccanismi di preferenza del DM. Si utilizzano tecniche basate sui test o sulle interviste per ottenere le curve di indifferenza. Luogo dei punti equivalenti per il DM: linee di livello della funzione utilità globale. J2J2 J1J1 C Il punto di compromesso è il punto C in cui una curva di indifferenza è tangente alla frontiera di Pareto.

32 32 Scelta del migliore compromesso Pareto race Dato un punto R 1 proposto dal DM, si determina un punto paretiano. Si itera permettendo così al DM di esplorare la frontiera di Pareto e di assumere la decisione. J1J1 J2J2 R1R1 R2R2 In base al risultato il DM propone uno spostamento; tenendo conto di questa indicazione si individua un punto R 2 e quindi un nuovo punto paretiano.

33 33 328R1 Scelta del migliore compromesso Pareto race Il decisore non e soddisfatto: vuole un valore di J 2 molto più basso. E ancora insoddisfatto: vuole un valore di J 1 più basso. Si itera permettendo così al DM di esplorare la frontiera di Pareto e di assumere la decisione J1J1 J2J2 J2J2 J1J1 P2 P3 P1 CalcoloPunto di vista DM 1540 R R3 R2

34 34 Dalla teoria alla pratica Se il Problema è di Pianificazione pura, la scelta delluno o dellaltro dei tre metodi visti è a discrezione dellAnalista: con tutti è possibile risolvere il Problema mono-obiettivo risultante. Se invece il Problema è di Controllo, la soluzione del Problema mono-obiettivo è facile solo se lobiettivo aggregato è separabile. Ciò richiede una scelta oculata del metodo, ma esploreremo questaspetti nel corso specialistico. Qui ci limitiamo a considerare solo il Problema di Pianificazione Puro.

35 35 Problema di Pianificazione puro La scelta del metodo dipende dalla particolare forma del Problema considerato. Lo mostreremo analizzando il Piano del Sinai.

36 36 Il Piano del Sinai Obiettivo: migliorare la qualità della vita in Egitto, aumentando la superficie coltivata, Proposte di progetto: bonifica di zone desertiche (reclaimed lands) nelle 7 aree Z j (j=1,...,7) sfruttando lacqua dei 4 canali S s (s=1,...,4) e scegliendo la rotazione R i colturale e la tecnica irrigua I h (h=1,2,3) appropriate. Criterio di valutazione: beneficio netto a regime economico popolamento della regione socio-politico e accrescere loccupazione, presidiando al contempo la regione.

37 37 Il Piano del Sinai: Fase2- definizione degli indicatori Il Progetto comprende 2 obiettivi e non può più essere formulato con lABC (richiesta inizialmente dal Ministero). Oltre allobiettivo economico... va considerato anche quello socio-politico Massimizzare la più piccola frazione di area bonificata tra tutte le zone. Area [feddan] da destinare alla rotazione R i nella zona Z j con la tecnica irrigua I h.

38 38 Il Piano del Sinai: Fase 4 – Progetto delle alternative Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma soggetto ai vincoli La presenza del minimo crea qualche difficoltà: riformulare lindicatore

39 39 Il Piano del Sinai: Fase 4- Progetto delle alternative Lobiettivo socio-politico Massimizzare la più piccola frazione di area bonificata tra tutte le zone. può essere così riformulato: Si massimizzi essendo il minimo rapporto, tra tutte le zone, tra larea bonificata e la massima area bonificabile (A j ) in ciascuna di esse..

40 40 Il Piano del Sinai: Fase4 – Progetto delle alternative Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma soggetto ai vincoli

41 41 Il Piano del Sinai: Fase4 – progetto delle alternative Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma soggetto ai vincoli Problema di Programmazione Matematica non-lineare 55 variabili di decisione 80 vincoli Conviene risolverlo con il metodo dei vincoli: si fissa un valore per e si risolve il problema mono-obiettivo che ne consegue. + 7

42 42 Il Piano del Sinai: la frontiera di Pareto

43 43 Il Piano del Sinai: Analisi di sensitività rispetto al costo opportunità O s dellacqua della sorgente s

44 44 Il Piano del Sinai: Analisi di Sensitività rispetto alle perdite dei canali (conviene impermeabilizzarli?)

45 45 Discretizzazione delle alternative Per determinare la frontiera di Pareto la soluzione del problema andrebbe effettuata per tutti i possibili valori del parametro (ad esempio ). In pratica è impossibile e si deve risolverlo solo per alcuni valori. Come sceglierli? Una griglia uniforme in raramente produce una griglia uniforme sulla frontiera.

46 46 Discretizzazione delle alternative SPAZIO DEI PESI Alternative di compromesso tra J 1 e J = 0 1 = 0 J2J2 J1J1 Alternativa estrema: conta solo J 1 SPAZIO DEGLI OBIETTIVI Alternativa estrema: conta solo J 2

47 47 Leggere MODSS Cap. 17

48 48 Il canale del Sudd EGITTO SUDAN Nilo Bianco Lago Nasser Nilo Azzurro Khartoum


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