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Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte1 Esempio 1 Bruce e Sheila decidono se andare allopera oppure ad un incontro di wrestling. Sheila ottiene una.

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2 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte1 Esempio 1 Bruce e Sheila decidono se andare allopera oppure ad un incontro di wrestling. Sheila ottiene una utilità di 4 se andrà allopera e di 1 se va a veder il wrestling. Bruce ottiene una utilità di 1 se andrà allopera e di 4 se va a vedere il wrestling. I due decidono cosa fare nel modo seguente: Bruce e Sheila mettono entrambi un euro sulla guida televisiva in salotto (assumiamo che nessuno cerca di guardare come punta laltro). Contano fino a 3 e simultaneamente svelano quale faccia delleuro è su. Se le facce delleuro sono uguali (entrambe testa (heads), o entrambe croce (tails)), Sheila decide dove andare, mentre se le monente mostrano due facce diverse decide Bruce.

3 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte2 Esempio 1 Il payoff atteso di Bruce giocando Head è il seguente: EU 1 (H, (q, 1 – q)) = q×1 + (1 – q)×4 = 4 – 3q Il payoff atteso di Bruce giocando Tail è il seguente: EU 1 (T, (q, 1 – q)) = q×4 + (1 – q)×1 = 1+3q Bruce è indifferente fra giocare Head o Tail quando EU 1 (H, (q, 1 – q)) = EU 1 (T, (q, 1 – q)) 4 – 3q = 1+3q 6q = 3 Ciò dà un valore di q = 1/2 Sheila H ( q )T ( 1–q ) Bruce H ( r ) 1, 44, 1 T ( 1–r ) 4, 11, 4

4 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte3 Esempio 1 Il payoff di Sheila giocando Head è il seguente: EU 2 (H, (r, 1–r)) = r ×4+(1–r)×1 = 3r + 1 Il payoff di Sheila giocando Tail è il seguente: EU 2 (T, (r, 1–r)) = r×1+(1–r)×4 = 4 – 3r Sheila è indifferente fra giocare Head o Tail quando EU 2 (H, (r, 1–r)) = EU 2 (T, (r, 1–r)) 3r + 1 = 4 – 3r 6r = 3 Ciò da un valore di r = ½ ( (1/2, 1/2), (1/2, 1/2) ) è un MNE. Sheila H ( q )T ( 1–q ) Bruce H ( r ) 1, 44, 1 T ( 1–r ) 4, 11, 4

5 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte4 Esempio 2 Il payoff atteso di Player 1 giocando T è: EU 1 (T, (q, 1 – q)) = q×6 + (1 – q)×0 = 6q Il payoff atteso di Player 1 giocando B è: EU 1 (B, (q, 1 – q)) = q×3 + (1 – q)×6 = 6-3q Player 1 è indifferente tra giocare T e B se EU 1 (T, (q, 1 – q)) = EU 1 (B, (q, 1 – q)) 6q = 6-3q 9q = 6 Ciò da un valore di q = 2/3 Player 2 L ( q )R ( 1–q ) Player 1 T ( r ) 6, 00, 6 B ( 1–r ) 3, 26, 0

6 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte5 Example 2 Il payoff atteso di Player 2 giocando L è: EU 2 (L, (r, 1–r)) = r ×0+(1–r)×2 =2- 2r Il payoff atteso di Player 2 giocando R è: EU 2 (R, (r, 1–r)) = r×6+(1–r)×0 = 6r Player 2 è indifferente tra giocare L e R quando EU 2 (L, (r, 1–r)) = EU 2 (R, (r, 1–r)) 2- 2r = 6r 8r = 2 Ciò da un valore di r = ¼ ( (1/4, 3/4), (2/3, 1/3) ) è un MNE. Player 2 L ( q )R ( 1–q ) Player 1 T ( r ) 6, 00, 6 B ( 1–r ) 3, 26, 0

7 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte6 Esempio 3: Il gioco di entrata nel mercato Due imprese, Firm 1 e Firm 2, devono decidere simultaneamente se aprire un ristorante in un centro commerciale. Ognuna ha due strategie: Enter, Not Enter Se entrambe giocano Not Enter, guadagnano 0 profitti Se una gioca Enter e laltra gioca Not Enter allora limpresa che gioca Enter guadagna $500K Se entrambe giocano Enter allora entrambe perdono $100K perché la domanda è limitata

8 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte7 Esempio 3: Il gioco di entrata nel mercato Quanti equilibri di Nash potete trovare? Due equilibri di Nash in strategie pure (Not Enter, Enter) e (Enter, Not Enter) Un equilibrio di Nash in strategie miste ((5/6, 1/6), (5/6, 1/6)) questo perchè r=5/6 e q=5/6 Firm 2 Enter ( q )Not Enter ( 1–q ) Firm 1 Enter ( r ) -100, , 0 Not Enter ( 1–r ) 0, 5000, 0

9 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte8 Esempio 4 Quanti equilibri di Nash trovate? Due equilibri di Nash in strategie pure (B, L) e (T, R) Un equilibrio di Nash in strategie miste ((2/3, 1/3), (1/2, 1/2)) Questo perchè r=2/3 e q=1/2 Player 2 L ( q )R ( 1–q ) Player 1 T ( r ) 1, 11, 2 B ( 1–r ) 2, 30, 1

10 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte9 Esempio: Roccia, carta e forbici Ognuno dei due giocatori annuncia simultaneamente Roccia (R), o Carta (P), o Forbici (S). La carta batte la roccia La roccia batte le forbici Le forbici battono la carta Il giocatore che nomina loggetto vincente riceve $1 dallavversario Se entrambi giocano lo stesso oggetto nessuno vince o perde

11 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte10 Esempio: Roccia, carta e forbici Riuscite a trovare un equilibrio di Nash in strategie miste? Player 2 RockPaperScissors Player 1 Rock 0, 0-1, 1 1, -1 Paper 1, -1 0, 0-1, 1 Scissors -1, 1 1, -1 0, 0

12 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte11 2-giocatori ognuno con un numero finito di strategie pure Insieme dei giocatori: {Player 1, Player 2} Insiemi delle strategie: player 1: S 1 = { s 11, s 12,..., s 1J } player 2: S 2 = { s 21, s 22,..., s 2K } Funzioni di payoffs: player 1: u 1 (s 1j, s 2k ) player 2: u 2 (s 1j, s 2k ) per j = 1, 2,..., J e k = 1, 2,..., K

13 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte12 2-giocatori ognuno con un numero finito di strategie pure La strategia mista di Player 1: p 1 =(p 11, p 12,..., p 1J ) La strategia mista di Player 2: p 2 =(p 21, p 22,..., p 2K ) Player 2 s 21 (p 21 )s 22 (p 22 ) s 2K (p 2K ) s 11 (p 11 ) u 2 (s 11, s 21 ) u 1 (s 11, s 21 ) u 2 (s 11, s 22 ) u 1 (s 11, s 22 ) u 2 (s 11, s 2K ) u 1 (s 11, s 2K ) s 12 (p 12 ) u 2 (s 12, s 21 ) u 1 (s 12, s 21 ) u 2 (s 12, s 22 ) u 1 (s 12, s 22 ) u 2 (s 12, s 2K ) u 1 (s 12, s 2K ) s 1J (p 1J ) u 2 (s 1J, s 21 ) u 1 (s 1J, s 21 ) u 2 (s 1J, s 22 ) u 1 (s 1J, s 22 )......u 2 (s 1J, s 2K ) u 1 (s 1J, s 2K ) Player 1

14 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte13 Payoffs attesi: 2-giocatori ognuno con un numero finito di strategie pure Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura s 11 : EU 1 (s 11, p 2 )=p 21 ×u 1 (s 11, s 21 )+p 22 ×u 1 (s 11, s 22 )+...+p 2k ×u 1 (s 11, s 2k )+...+p 2K ×u 1 (s 11, s 2K ) Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura s 12 : EU 1 (s 12, p 2 )=p 21 ×u 1 (s 12, s 21 )+p 22 ×u 1 (s 12, s 22 )+...+p 2k ×u 1 (s 12, s 2k )+...+p 2K ×u 1 (s 12, s 2K ) Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura s 1J : EU 1 (s 1J, p 2 )=p 21 ×u 1 (s 1J, s 21 )+p 22 ×u 1 (s 1J, s 22 )+...+p 2k ×u 1 (s 1J, s 2k )+...+p 2K ×u 1 (s 1J, s 2K ) Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia mista p 1 : v 1 (p 1, p 2 )=p 11 EU 1 (s 11, p 2 )+p 12 EU 1 (s 12, p 2 )+...+p 1j EU 1 (s 1j, p 2 )+... +p 1J EU 1 (s 1J, p 2 )

15 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte14 Payoffs attesi : 2-giocatori ognuno con un numero finito di strategie pure Il payoff atteso di Player 2 dalla strategia pura s 21 : EU 2 (s 21, p 1 )=p 11 ×u 2 (s 11, s 21 )+p 12 ×u 2 (s 12, s 21 )+...+p 1j ×u 2 (s 1j, s 21 )+...+p 1J ×u 2 (s 1J, s 21 ) Il payoff atteso di Player 2 dalla strategia pura s 22 : EU 2 (s 22, p 1 )=p 11 ×u 2 (s 11, s 22 )+p 12 ×u 2 (s 12, s 22 )+...+p 1j ×u 2 (s 1j, s 22 )+...+p 1J ×u 2 (s 1J, s 22 ) Il payoff atteso di Player 1 dalla strategia pura s 2K : EU 2 (s 2K, p 1 )=p 11 ×u 2 (s 11, s 2K )+p 12 ×u 2 (s 12, s 2K )+...+p 1j ×u 2 (s 1j, s 2K )+...+p 1J ×u 2 (s 1J, s 2K ) Il payoff atteso di Player 2 dalla strategia mista p 2 : v 2 (p 1, p 2 )=p 21 EU 2 (s 21, p 1 )+p 22 EU 2 (s 22, p 1 ) +...+p 2k EU 2 (s 2k, p 1 ) p 2K EU 2 (s 2K, p 1 )

16 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte15 MNE: 2-giocatori ognuno con un numero finito di strategie pure Una coppia di strategie miste (p 1 *, p 2 *), dove p 1 *=(p 11 *, p 12 *,..., p 1J * ) p 2 *=(p 21 *, p 22 *,..., p 2K * ) è un MNE se la strategia mista p 1 * del giocatore 1 è una risposta ottima alla strategia mista del giocatore 2 p 2 *, e p 2 * è una risposta ottima a p 1 *. Oppure, v 1 (p 1 *, p 2 *) v 1 (p 1, p 2 *), per tutte le strategie miste del giocatore 1 p 1, e v 2 (p 1 *, p 2 *) v 2 (p 1 *, p 2 ), per tutte le strategie miste del giocatore 2 p 2. Ciò significa, data la strategia mista del giocatore 2 p 2 *, il giocatore 1 non può migliorare deviando da p 1 *. Data la strategia mista del giocatore 1 p 1 *, il giocatore 2 non può fare di meglio deviando da p 2 *.

17 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte16 2-giocatori ognuno con un numero finito di strategie pure Teorema 3 (proprietà del MNE) Una coppia di strategie miste (p 1 *, p 2 *), dove p 1 *=(p 11 *, p 12 *,..., p 1J * ) p 2 *=(p 21 *, p 22 *,..., p 2K * ) è un MNE se e solo se v 1 (p 1 *, p 2 *) EU 1 (s 1j, p 2 *), per j = 1, 2,..., J e v 2 (p 1 *, p 2 *) EU 2 (s 2k, p 1 *), per k= 1, 2,..., K

18 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte17 2-giocatori ognuno con un numero finito di strategie pure Teorema 4: Una coppia di strategie miste (p 1 *, p 2 *), dove p 1 *=(p 11 *, p 12 *,..., p 1J * ) p 2 *=(p 21 *, p 22 *,..., p 2K * ) è un MNE se e solo se soddisfa le seguenti condizioni: player 1: per ogni m e n, se p 1m *>0 e p 1n *>0 allora EU 1 (s 1m, p 2 *) = EU 1 (s 1n, p 2 *) ; se p 1m *>0 e p 1n *=0 allora EU 1 (s 1m, p 2 *) EU 1 (s 1n, p 2 *) player 2: per ogni i e k, se p 2i *>0 e p 2k *>0 allora EU 2 (s 2i, p 1 *) = EU 2 (s 2k, p 1 *) ; se p 2i *>0 e p 2k *=0 allora EU 2 (s 2i, p 1 *) EU 2 (s 2k, p 1 *)

19 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte18 2-giocatori ognuno con un numero finito di strategie pure Cosa ci dice il Teorema 4? Una coppia di strategie miste (p 1 *, p 2 *), dove p 1 *=(p 11 *, p 12 *,..., p 1J * ), p 2 *=(p 21 *, p 22 *,..., p 2K * ) è un MNE se e solo se soddisfa le seguenti condizioni: Data la strategia mista del giocatore 2 p 2 *, il payoff atteso del giocatore 1 da ogni strategia pura al quale egli assegna una probabilità positiva di realizzo è la stessa, e il payoff atteso dal giocatore 1 di ogni strategia pura alla quale assegna una probabilità positiva è non inferiore del payoff atteso di ogni strategia pura alla quale assegna zero probabilità. Data la strategia mista del giocatore 1 p 1 *, il payoff atteso del giocatore 2 da ogni strategia pura al quale egli assegna una probabilità positiva di realizzo è la stessa, e il payoff atteso dal giocatore 2 di ogni strategia pura alla quale assegna una probabilità positiva è non inferiore del payoff atteso di ogni strategia pura alla quale assegna zero probabilità.

20 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte19 2-giocatori ognuno con un numero finito di strategie pure Il Teorema 4 implica che abbiamo un MNE nella situazione seguente: Data la strategia mista del giocatore 2, Il giocatore 1 è indifferente tra le sue strategie pure alle quali assegna probabilità positiva. Il payoff atteso di ogni strategia pura che ha probabilità positiva è non inferiore del payoff atteso di ogni strategia pura alla quale il giocatore 1 assegna probabilità nulla. Data la strategia mista del giocatore 1, Il giocatore 2 è indifferente tra le sue strategie pure alle quali assegna probabilità positiva. Il payoff atteso di ogni strategia pura che ha probabilità positiva è non inferiore del payoff atteso di ogni strategia pura alla quale il giocatore 2 assegna probabilità nulla.

21 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte20 Teorema 4: esempio dimostrativo Controllare se ((3/4, 0, 1/4), (0, 1/3, 2/3)) è un MNE Player 1: EU 1 (T, p 2 ) = (1/3)+1 (2/3)=5/3, EU 1 (M, p 2 ) = (1/3)+2 (2/3)=4/3 EU 1 (B, p 2 ) = (1/3)+0 (2/3)=5/3. Quindi, EU 1 (T, p 2 ) = EU 1 (B, p 2 ) > EU 1 (M, p 2 ) Player 2 L (0)C (1/3)R (2/3) Player 1 T (3/4) 0, 23, 31, 1 M (0) 4, 00, 42, 3 B (1/4) 3, 45, 10, 7

22 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte21 Teorema 4: esempio dimostrativo Player 2: EU 2 (L, p 1 )=2 (3/4) (1/4)=5/2, EU 2 (C, p 1 )=3 (3/4) (1/4)=5/2, EU 2 (R, p 1 )=1 (3/4) (1/4)=5/2. Quindi, EU 2 (C, p 1 )=EU 2 (R, p 1 ) EU 2 (L, p 1 ) Allora, ((3/4, 0, 1/4), (0, 1/3, 2/3)) dato il Teorema 4 è un MNE. Player 2 L (0)C (1/3)R (2/3) Player 1 T (3/4) 0, 23, 31, 1 M (0) 4, 00, 42, 3 B (1/4) 3, 45, 10, 7

23 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte22 Esempio: Roccia, carta e forbici Controllate che esista un MNE in cui p 11 >0, p 12 >0, p 13 >0, p 21 >0, p 22 >0, p 23 >0. Player 2 Rock (p 21 )Paper (p 22 )Scissors (p 23 ) Player 1 Rock (p 11 ) 0, 0-1, 1 1, -1 Paper (p 12 ) 1, -1 0, 0-1, 1 Scissors (p 13 ) -1, 1 1, -1 0, 0

24 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte23 Esempio: Roccia, carta e forbici Se ogni giocatore assegna una probabilità positiva ad ognuna delle sue strategie miste allora,per il Teorema 4, ogni giocatore è indifferente tra le sue tre strategie pure. Player 2 Rock (p 21 )Paper (p 22 )Scissors (p 23 ) Player 1 Rock (p 11 ) 0, 0-1, 1 1, -1 Paper (p 12 ) 1, -1 0, 0-1, 1 Scissors (p 13 ) -1, 1 1, -1 0, 0

25 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte24 Esempio: Roccia, carta e forbici Il giocatore 1 è indifferente fra le sue 3 strategie: EU 1 (Rock, p 2 ) = 0 p 21 +(-1) p p 23 EU 1 (Paper, p 2 ) = 1 p p 22 +(-1) p 23 EU 1 (Scissors, p 2 ) = (-1) p p p 23 EU 1 (Rock, p 2 )= EU 1 (Paper, p 2 )= EU 1 (Scissors, p 2 ) Avendo che p 21 + p 22 + p 23 =1, abbiamo tre equazioni e tre incognite. Player 2 Rock (p 21 )Paper (p 22 )Scissors (p 23 ) Player 1 Rock (p 11 ) 0, 0-1, 1 1, -1 Paper (p 12 ) 1, -1 0, 0-1, 1 Scissors (p 13 ) -1, 1 1, -1 0, 0

26 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte25 Esempio: Roccia, carta e forbici 0 p 21 +(-1) p p 23 = 1 p p 22 +(-1) p 23 0 p 21 +(-1) p p 23 = (-1) p p p 23 p 21 + p 22 + p 23 =1 La soluzione è p 21 = p 22 = p 23 =1/3 Player 2 Rock (p 21 )Paper (p 22 )Scissors (p 23 ) Player 1 Rock (p 11 ) 0, 0-1, 1 1, -1 Paper (p 12 ) 1, -1 0, 0-1, 1 Scissors (p 13 ) -1, 1 1, -1 0, 0

27 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte26 Esempio: Roccia, carta e forbici Il giocatore 2 è indifferente fra le tre strategie: EU 2 (Rock, p 1 )=0 p 11 +(-1) p p 13 EU 2 (Paper, p 1 )=1 p p 12 +(-1) p 13 EU 2 (Scissors, p 1 )=(-1) p p p 13 EU 2 (Rock, p 1 )= EU 2 (Paper, p 1 )=EU 2 (Scissors, p 1 ) Insieme con p 11 + p 12 + p 13 =1, abbiamo tre equazioni e tre incognite. Player 2 Rock (p 21 )Paper (p 22 )Scissors (p 23 ) Player 1 Rock (p 11 ) 0, 0-1, 1 1, -1 Paper (p 12 ) 1, -1 0, 0-1, 1 Scissors (p 13 ) -1, 1 1, -1 0, 0

28 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte27 Esempio: Roccia, carta e forbici 0 p 11 +(-1) p p 13 =1 p p 12 +(-1) p 13 0 p 11 +(-1) p p 13 =(-1) p p p 13 p 11 + p 12 + p 13 =1 La soluzione è p 11 = p 12 = p 13 =1/3 Player 2 Rock (p 21 )Paper (p 22 )Scissors (p 23 ) Player 1 Rock (p 11 ) 0, 0-1, 1 1, -1 Paper (p 12 ) 1, -1 0, 0-1, 1 Scissors (p 13 ) -1, 1 1, -1 0, 0

29 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte28 Esempio: Roccia, carta e forbici Player 1: EU 1 (Rock, p 2 ) = 0 (1/3)+(-1) (1/3)+1 (1/3)=0 EU 1 (Paper, p 2 ) = 1 (1/3)+0 (1/3)+(-1) (1/3)=0 EU 1 (Scissors, p 2 ) = (-1) (1/3)+1 (1/3)+0 (1/3)=0 Player 2: EU 2 (Rock, p 1 )=0 (1/3)+(-1) (1/3)+1 (1/3)=0 EU 2 (Paper, p 1 )=1 (1/3)+0 (1/3)+(-1) (1/3)=0 EU 2 (Scissors, p 1 )=(-1) (1/3)+1 (1/3)+0 (1/3)=0 Quindi, (p 1 =(1/3, 1/3, 1/3), p 2 =(1/3, 1/3, 1/3)) dato il teorema 4 è un MNE. Player 2 Rock (1/3)Paper (1/3)Scissors (1/3) Player 1 Rock (1/3) 0, 0-1, 1 1, -1 Paper (1/3) 1, -1 0, 0-1, 1 Scissors (1/3) -1, 1 1, -1 0, 0

30 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte29 Esempio: Roccia, carta e forbici Controllare se esiste un MNE nel quale p 11, p 12, p 13 è positivo, e almeno due fra p 21, p 22, p 23 sono positivi. La risposta è No. Player 2 Rock (p 21 )Paper (p 22 )Scissors (p 23 ) Player 1 Rock (p 11 ) 0, 0-1, 1 1, -1 Paper (p 12 ) 1, -1 0, 0-1, 1 Scissors (p 13 ) -1, 1 1, -1 0, 0

31 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte30 Esempio: Roccia, carta e forbici Controllare se esiste un MNE dove due fra p 11, p 12, p 13 sono positivi, e almeno due fra p 21, p 22, p 23 sono positivi. La risposta è No. Player 2 Rock (p 21 )Paper (p 22 )Scissors (p 23 ) Player 1 Rock (p 11 ) 0, 0-1, 1 1, -1 Paper (p 12 ) 1, -1 0, 0-1, 1 Scissors (p 13 ) -1, 1 1, -1 0, 0

32 Teoria dei giochi - D'Orio - prima parte31 Esempio: Roccia, carta e forbici Quindi, (p 1 =(1/3, 1/3, 1/3), p 2 =(1/3, 1/3, 1/3)) dato il Teorema 4 è lunico equilibrio di Nash. Player 2 Rock (p 21 )Paper (p 22 )Scissors (p 23 ) Player 1 Rock (p 11 ) 0, 0-1, 1 1, -1 Paper (p 12 ) 1, -1 0, 0-1, 1 Scissors (p 13 ) -1, 1 1, -1 0, 0


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