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Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte1 Giochi dinamici ad informazione completa Corso di Teoria dei Giochi Laurea specialistica in Economia Applicata.

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2 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte1 Giochi dinamici ad informazione completa Corso di Teoria dei Giochi Laurea specialistica in Economia Applicata Docente: Giovanni DOrio

3 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte2 Panoramica dei giochi dinamici ad informazione completa Giochi dinamici ad informazione completa Rappresentazione in forma estensiva (o estesa) Giochi dinamici ad informazione completa e perfetta Albero del gioco Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi Backward induction (Induzione allindietro) Applicazioni Giochi dinamici ad informazione completa ed imperfetta Altre applicazioni Giochi ripetuti

4 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte3 Gioco dellentrata sul mercato Un monopolista già sul mercato (incumbent) è posto di fronte ad una possibile entrata sul mercato di un challenger. Il challenger può scegliere se entrare (enter) o restare fuori (stay out). Se il challenger entra, il monopolista (incumbent) può scegliere se cooperare (accommodate) o se combatterlo (fight). I payoffs del gioco sono conoscenza comune. Challenger In Out Incumbent A F 1, 2 2, 1 0, 0 Il primo numero è il payoff del challenger. Il secondo numero è il payoff dellincumbent.

5 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte4 Matching pennies a mosse sequenziali Ognuno dei due giocatori ha un penny. Player 1 sceglie per primo se giocare Head o Tail. Dopo aver osservato la scelta del giocatore 1, il giocatore 2 sceglie se giocare Head o Tail Entrambi conoscono le regole seguenti: Se i due pennies sono uguali allora il giocatore 2 vince il penny del giocatore 1. Negli altri casi vince il giocatore 1. Player 1 Player 2 H T -1, 1 1, -1 H T Player 2 H T 1, -1 -1, 1

6 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte5 Giochi dinamici ad informazione perfetta (o a mosse sequenziali) Un insieme di giocatori Chi muove quando e quali scelte sono disponibili? Cosa sanno i giocatori quando muovono? I payoff dei giocatori sono determinati dalle proprie scelte. Tutte le scelte possibili sono conoscenza comune dei due giocatori.

7 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte6 Definizione: rappresentazione in forma estensiva (o estesa) La forma estesa di un gioco specifica: I giocatori del gioco Quando ogni giocatore deve muovere Cosa può fare ogni giocatore quando è il suo turno Cosa conosce ogni giocatore quando è il suo turno il payoff ricevuto da ogni giocatore per ogni combinazione mosse che potrebbe essere scelta dai giocatori

8 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte7 Giochi dinamici ad informazione completa e perfetta Informazione perfetta Tutte le mosse precedenti sono osservabili prima che venga scelta la prossima mossa. Un giocatore sa Chi ha mosso e Cosa ha fatto prima che esso prenda una decisione

9 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte8 Albero del gioco Un albero di un gioco ha un insieme di nodi e un insieme di segmenti tali che Ogni segmento collega due nodi (questi due nodi sono detti adiacenti) Per ogni coppia di nodi, cè un sentiero unico che collega questi due nodi x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 un nodo Un segmento di connessione fra i nodi x 1 e x 5 Un sentiero da x 0 a x 4

10 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte9 Albero del gioco Un sentiero è una sequenza di nodi distinti y 1, y 2, y 3,..., y n-1, y n tale che y i e y i+1 sono adiacenti, per i=1, 2,..., n-1. Diremo che questo sentiero va da y 1 a y n. Possiamo anche utilizzare la sequenza dei segmenti fra i due nodi per denotare il sentiero. La lunghezza di un sentiero è caratterizzato dal numero dei segmenti in esso contenuti. Esempio 1: x 0, x 2, x 3, x 7 è un sentiero di dimensione 3. Esempio 2: x 4, x 1, x 0, x 2, x 6 è un sentiero di dimensione 4 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 Un sentiero da x 0 a x 4

11 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte10 Albero del gioco Cè un nodo speciale x 0 chiamato la radice dellalbero che rappresenta linizio del gioco. I nodi adiacenti a x 0 sono successori di x 0. I successori di x 0 sono x 1, x 2 Per ogni due nodi adiacenti, il nodo che è connesso alla radice da un sentiero più lungo è un successore dellaltro nodo. Esempio 3: x 7 è un successore di x 3 perché essi sono adiacenti e il sentiero da x 7 a x 0 is è più lungo rispetto al sentiero da x 3 a x 0 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8

12 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte11 Albero del gioco Se un nodo x è un successore del nodo y allora y è chiamato predecessore di x. In un albero, ogni nodo diverso dalla radice ha un predecessore unico. Ogni nodo che non ha successori è chiamato nodo terminale. Potrebbe essere la fine del gioco Esempio 4: x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 sono nodi terminali x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8

13 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte12 Albero del gioco Ogni nodo diverso dai nodi terminali rappresenta qualche giocatore. Per un nodo diverso da un terminale, I segmenti che lo collegano con i successori rappresentano le azioni disponibili per il giocatore rappresentato in quel nodo. Player 1 Player 2 H T -1, 1 1, -1 H T Player 2 H T 1, -1 -1, 1

14 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte13 Albero del gioco Un sentiero dalla radice ad un nodo terminale rappresenta una sequenza completa di mosse che determinano i payoffs al nodo terminale Player 1 Player 2 H T -1, 1 1, -1 H T Player 2 H T 1, -1 -1, 1

15 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte14 Strategia La strategia di un giocatore è un piano di azioni completo. La strategia (o il piano completo di azioni) specifica una azione possibile per il giocatore in qualsiasi contingenza esso potrebbe essere chiamato in azione.

16 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte15 Gioco dellentrata nel mercato Strategie del Challenger In Out Strategie dellIncumbent Accommodate (se il challenger gioca In) Fight (se il challenger gioca In) Payoffs Rappresentazione in forma Normale Incumbent AccommodateFight Challenger In 2, 10, 0 Out 1, 2

17 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte16 Strategie e payoff In un albero, la strategia di un giocatore è rappresentata da un insieme di segmenti. Una combinazione di strategie (insiemi dei segmenti), una per ogni giocatore, sviluppa un sentiero dalla radice al nodo terminale, il quale determina i payoffs di tutti i giocatori.

18 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte17 Matching pennies a mosse sequenziali Strategie del giocatore 1 Head Tail Strategie del giocatore 2 H se player 1 gioca H, H se player 1 gioca T H se player 1 gioca H, T se player 1 gioca T T se player 1 gioca H, H se player 1 gioca T T se player 1 gioca H, T se player 1 gioca T Le strategie del giocatore 2 sono denotate rispettivamente da HH, HT, TH e TT.

19 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte18 Matching pennies a mosse sequenziali I payoffs Rappresentazione in forma Normale Player 2 HHHTTHTT Player 1 H -1, 1 1, -1 T -1, 1 1, -1-1, 1

20 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte19 Equilibrio di Nash Linsieme degli equilibri di Nash in un gioco dinamico ad informazione completa è linsieme degli equilibri di Nash nella sua forma normale. Come trovare lequilibrio di Nash in un gioco dinamico ad informazione completa Costruite la forma normale del gioco dinamico ad informazione completa Trovate lequilibrio di Nash nella forma normale.

21 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte20 Equilibrio di Nash nel gioco dellentrata nel mercato Due equilibri di Nash ( In, Accommodate ) ( Out, Fight ) Ha senso considerare il secondo equilibrio ( Out, Fight )? Minacce non credibili Incumbent AccommodateFight Challenger In 2, 10, 0 Out 1, 2

22 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte21 Rimozione degli equilibri di Nash non ragionevole Lequilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi è una raffinazione dellequilibrio di Nash Questo processo di refinement può eliminare equilibri di Nash non ragionevoli oppure minacce non credibili

23 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte22 Riassunto Giochi dinamici ad informazione completa e perfetta Rappresentazione dei giochi in forma estesa Albero del gioco Prossimo argomento Sottogioco Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi Backward induction (induzione allindietro)

24 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte23 Strategia e payoff Una strategia per un giocatore è un piano di azione completo. Specifica una azione fattibile in ogni contingenza nella quale il giocatore potrebbe essere chiamato in azione. Specifica cosa fa il giocatore ad ogni nodo specifico Player 1 Player 2 H T -1, 1 1, -1 H T Player 2 H T 1, -1 -1, 1 Una strategia per il giocatore 1: H Una strategia per il giocatore 2: H se il giocatore 1 gioca H, T se il giocatore 2 gioca T (scritta HT) Il payoff del giocatore 1 è -1 e il payoff del giocatore 2 è 1 se il giocatore 1 gioca H e il giocatore 2 gioca HT

25 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte24 Gioco dellentrata nel mercato Strategie del Challenger In Out Strategie dellIncumbent Accommodate Fight Payoffs Rappresentazione in forma normale Incumbent AccommodateFight Challenger In 2, 10, 0 Out 1, 2 Challenger In Out Incumbent A F 1, 2 2, 1 0, 0

26 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte25 Equilibrio di Nash nel gioco dellentrata nel mercato Due equilibri di Nash ( In, Accommodate ) ( Out, Fight ) Ha senso il secondo equilibrio? Minacce non credibili Incumbent AccommodateFight Challenger In 2, 10, 0 Out 1, 2 Challenger In Out Incumbent A F 1, 2 2, 1 0, 0

27 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte26 Rimozione degli NE non credibili SNE (equilibrio di Nash nei sottogiochi) è un equilibrio di Nash raffinato Può eliminare NE che non hanno senso o minacce non credibili Dobbiamo però definire prima i sottogiochi

28 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte27 Sottogioco Un sottogioco in un gioco ad albero comincia in un nodo non terminale e include tutti i nodi e segmenti che seguono il nodo non terminale Un sottogioco che comincia ad un nodo non terminale x può essere ottenuto come segue: Rimuovete i segmenti che collegano x e i suoi predecessori La parte connessa che contiene x è il sottogioco -1, 1 Player 1 Player 2 H T 1, -1 H T Player 2 H T 1, -1 -1, 1 Un sottogioco

29 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte28 Sottogiochi: esempi Player 2 E F Player 1 G H 3, 1 1, 2 0, 0 Player 1 C D 2, 0 Player 2 E F Player 1 G H 3, 1 1, 2 0, 0 Player 1 G H 1, 2 0,

30 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte29 Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi (SNE) Un equilibrio di Nash equilibrium of a dynamic gadi un gioco dinamico è perfetto nei sottogiochi se le strategie del NE costituiscono un NE in ogni sottogioco del gioco stesso. SNE è un NE.

31 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte30 Gioco dellentrata nel mercato Due equilibri di Nash ( In, Accommodate ) è un SNE. ( Out, Fight ) non è un SNE perché non costituisce un NE nel sottogioco che comincia dallIncumbent. Challenger In Out Incumbent A F 1, 2 2, 1 0, 0 Incumbent A F 2, 1 0, 0 Accommodate è il NE di questo sottogioco.

32 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte31 Ricerca del SNE: backward induction Cominciate (al contrario) dai sottogiochi più piccoli Muovete allindietro fino a raggiungere la radice Challenger In Out Incumbent A F 1, 2 2, 1 0, 0 Il primo numero è il payoff del challenger. Il secondo numero è il payoff dellincumbent.

33 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte32 Ricerca del SNE: backward induction SNE (DG, E) Il giocatore 1 gioca D, e gioca G se il giocatore 2 gioca E Il giocatore 2 gioca E se il giocatore 1 gioca C Player 2 E F Player 1 G H 3, 1 1, 2 0, 0 Player 1 C D 2, 0

34 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte33 Esistenza del SNE Ogni gioco dinamico finito ad informazione perfetta e completa ha un SNE che può essere ricavato per backward induction.

35 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte34 Contrattazione sequenziale (2.1.D del Gibbons) I giocatori 1 e 2 stanno contrattando su un dollaro. La sequenza è come segue: Allinizio del primo periodo, il giocatore 1 propone di prendere una quota s 1 del dollaro, lasciando 1-s 1 al giocatore 2. Il giocatore 2 o accetta lofferta o la rifiuta (in questo caso il gioco passa al secondo stadio) Allinizio del secondo stadio, il giocatore 2 propone al giocatore 1 di prendersi una quota s 2 del dollaro, lasciando 1-s 2 al giocatore 2. Il giocatore 1 o accetta lofferta o la rifiuta (in questo caso il gioco passa al terzo stadio) Allinizio del terzo periodo, il giocatore 1 riceve una quota s del dollaro, lasciando 1-s al giocatore 2, dove 0

36 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte35 Contrattazione sequenziale (2.1.D del Gibbons) Player 2 accetta rifiuta Propone unofferta ( s 2, 1-s 2 ) Periodo 1 Player 1 accetta propone unofferta ( s 1, 1-s 1 ) s 1, 1-s 1 Player 1 s 2, 1-s 2 s, 1-s Periodo 2 Periodo 3 rifiuta Player 2

37 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte36 Soluzione del gioco di contrattazione con la backward induction Periodo 2: Il giocatore 1 accetta s 2 se e solo se s 2 s. (assumiamo che lofferta verrà accettata se si è indifferenti) Il giocatore 2 si trova di fronte a queste due opzioni: (1) offre s 2 = s al giocatore 1, lasciando 1-s 2 = 1- s per se stesso a questo periodo, oppure (2) offre s 2 < s al giocatore 1 (e il giocatore 1 rifiuterà), e riceve 1-s al prossimo periodo. Il calore scontato di questa somma è (1-s) Dato che (1-s)<1- s, il giocatore 2 dovrebbe proporre unofferta (s 2 *, 1-s 2 * ), dove s 2 * = s. Il giocatore 1 la accetterà.

38 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte37 Contrattazione sequenziale (2.1.D del Gibbons) Player 2 accetta rifiuta Propone unofferta ( s 2, 1-s 2 ) Periodo 1 Player 1 accetta propone un offerta ( s 1, 1-s 1 ) s 1, 1-s 1 Player 1 s 2, 1-s 2 s, 1-s Periodo 2 Periodo 3 rifiuta Player 2 s, 1- s

39 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte38 Soluzione del gioco di contrattazione con la backward induction Periodo 1: Il giocatore 2 accetta 1-s 1 se e solo se 1-s 1 (1-s 2 *)= (1- s) o s 1 1- (1-s 2 *), dove s 2 * = s. Il giocatore 1 ha due opzioni: (1) offre 1-s 1 = (1-s 2 *)= (1- s) al giocatore 2, tenendosi s 1 = 1- (1-s 2 *)=1- + s per se stesso in questo periodo, oppure (2) offre 1-s 1 < (1-s 2 *) al giocatore 2 (il giocatore 2 rifiuterà), e riceve s 2 * = s il prossimo periodo. Il suo valore scontato sarà però s Dato che s < 1- + s, il giocatore 1 dovrà proporre unofferta (s 1 *, 1-s 1 * ), dove s 1 * = 1- + s

40 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte39 Riassunto SNE Backward induction Prossimo argomento Il Modello del duopolio di Stackelberg Salari e occupazione in una impresa sindacalizzata

41 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte40 Backward induction: esempio SNE (C, EH). Il giocatore 1 gioca C; Il giocatore 2 gioca E se il giocatore 1 gioca C, gioca H se il giocatore 1 gioca D. Player 1 C D Player 2 E F 3, 0 2, 1 Player 2 G H 1, 3 0, 2

42 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte41 SNE multipli: esempio SNE (D, FHK). Il giocatore 1 gioca D Il giocatore 2 gioca F se il giocatore 1 gioca C, gioca H se il giocatore 1 gioca D, gioca K se il giocatore 1 gioca E. Player 1 C D Player 2 F G 1, 0 0, 1 Player 2 J K 1, 3 2, 2 Player 2 H I 2, 1 1, 1 E

43 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte42 SNE multipli: esempio SNE (E, FHK). Il giocatore 1 gioca E; Il giocatore 2 gioca F se il giocatore 1 gioca C, gioca H se il giocatore 1 gioca D, gioca K se il giocatore 1 gioca E. Player 1 C D Player 2 F G 1, 0 0, 1 Player 2 J K 1, 3 2, 2 Player 2 H I 2, 1 1, 1 E

44 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte43 SNE multipli: esempio SNE (D, FIK). Il giocatore 1 gioca D; Il giocatore 2 gioca F se il giocatore 1 gioca C, gioca I se il giocatore 1 gioca D, gioca K se il giocatore 1 gioca E. Player 1 C D Player 2 F G 1, 0 0, 1 Player 2 J K 1, 3 2, 2 Player 2 H I 2, 1 1, 1 E

45 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte44 Il modello di duopolio alla Stackelberg Un prodotto omogeneo è prodotto solo da due imprese: firm 1 and firm 2. Le quantità sono indicate rispettivamente come q 1 e q 2. La sequenza di questo gioco è come segue: Firm 1 sceglie una quantità q 1 0. Firm 2 osserva q 1 e quindi sceglie una quantità q 2 0. Il prezzo di mercato è P(Q)=a –Q, dove a è una costante e Q=q 1 +q 2. Il costo dellimpresa i di produrre la quantità q i è C i (q i )=cq i. Le funzioni di Payoff sono : u 1 (q 1, q 2 )=q 1 (a–(q 1 +q 2 )–c) u 2 (q 1, q 2 )=q 2 (a–(q 1 +q 2 )–c)

46 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte45 Il modello di duopolio alla Stackelberg Trovare, per backward induction, il SNE Prima risolviamo il problema dellimpresa 2 per ogni q 1 0 in modo da ottenre la funzione di risposta ottima dellimpresa 2 a q 1. Vale a dire, risolviamo tutti i sottogiochi che cominciano dalla mossa dellimpresa 2. Fatto ciò, risolviamo il problema dellimpresa 1. Vale a dire, risolviamo il sottogioco che ha inizio dalla mossa dellimpresa 1

47 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte46 Il modello di duopolio alla Stackelberg Risolvere il problema dellimpresa 2 per ogni q 1 0 in modo da ottenere la risposta ottima dellimpresa 2 a ogni q 1. Max u 2 (q 1, q 2 )=q 2 (a–(q 1 +q 2 )–c) s. a 0 q 2 + FOC: a – 2q 2 – q 1 – c = 0 La risposta ottima dellimpresa 2 sarà, R 2 (q 1 ) = (a – q 1 – c)/2 se q 1 a– c = 0 se q 1 > a– c

48 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte47 Il modello di duopolio alla Stackelberg Risolvere il problema dellimpresa 1. Notate che limpresa 1 può risolvere anche il problema dellimpresa 2 (common knowledge). Vale a dire, limpresa 1 conosce la risposta ottima dellimpresa 2 a ogni quantità 1 q 1. Quindi, il problema dellimpresa 1 sarà: Max u 1 (q 1, R 2 (q 1 ))=q 1 (a–(q 1 +R 2 (q 1 ))–c) s. a 0 q 1 + Vale a dire, Max u 1 (q 1, R 2 (q 1 ))=q 1 (a–q 1 –c)/2 s. a 0 q 1 + FOC: (a – 2q 1 – c)/2 = 0 q 1 = (a – c)/2

49 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte48 Il modello di duopolio alla Stackelberg Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi ( (a – c)/2, R 2 (q 1 ) ), dove R 2 (q 1 ) = (a – q 1 – c)/2 se q 1 a– c = 0 if q 1 > a– c Vale a dire, limpresa 1 sceglie una quantità (a – c)/2, limpresa 2 sceglie una quantità R 2 (q 1 ) se limpresa 1 sceglierà una quantità q 1. Il risultato della backward induction è ( (a – c)/2, (a – c)/4 ). Limpresa 1 sceglie una quantità (a – c)/2, limpresa 2 sceglie una quantità (a – c)/4.

50 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte49 Il modello di duopolio alla Stackelberg Limpresa 1 produrrà q 1 =(a – c)/2 e il suo profitto sarà q 1 (a–(q 1 + q 2 )–c)=(a–c) 2 /8 Limpresa 3 produrrà q 2 =(a – c)/4 e il suo profitto sarà q 2 (a–(q 1 + q 2 )–c)=(a–c) 2 /16 La quantità totale prodotta dalle due imprese sarà 3(a – c)/4.

51 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte50 Il modello di duopolio alla Cournot Limpresa 1 produce q 1 =(a – c)/3 e il suo profitto sarà q 1 (a–(q 1 + q 2 )–c)=(a–c) 2 /9 Limpresa 2 produce q 2 =(a – c)/3 e il suo profitto sarà q 2 (a–(q 1 + q 2 )–c)=(a–c) 2 /9 La quantità totale prodotta dalle due imprese sarà 2(a – c)/3.

52 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte51 Il monopolio Supponiate che ci sia una sola impresa, un monopolio, che produce il prodotto. Il monopolista, per decidere la quantità q m, deve risolvere il seguente problema: Max q m (a–q m –c) s. a 0 q m + FOC: a – 2q m – c = 0 q m = (a – c)/2 Il monopolista produce q m =(a – c)/2 e il suo profitto sarà q m (a–q m –c)=(a–c) 2 /4

53 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte52 Il modello di duopolio alla Bertrand: mosse successive e prodotti differenziati Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie il prezzo per il proprio prodotto. I prezzi sono rispettivamente indicati con p 1 e p 2. La sequenza di questo gioco è come segue: Limpresa 1 sceglie un prezzo p 1 0. Limpresa 2 osserva p 1 e quindi sceglie p 2 0. La quantità domandata dai consumatori allimpresa 1: q 1 (p 1, p 2 ) = a – p 1 + bp 2. La quantità domandata dai consumatori allimpresa 2: q 2 (p 1, p 2 ) = a – p 2 + bp 1. I costi dellimpresa i di produrre la quantità q i sono: C i (q i )=cq i.

54 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte53 Il modello di duopolio alla Bertrand: mosse successive e prodotti differenziati Risolvere il problema dellimpresa 2 per ogni p 1 0 per ottenere la funzione di risposta ottima ad ogni p 1. Max u 2 (p 1, p 2 )=(a – p 2 + bp 1 )(p 2 – c) s. a 0 p 2 + FOC: a + c – 2p 2 + bp 1 = 0 p 2 = (a + c + bp 1 )/2 La risposta ottima dellimpresa 2 sarà, R 2 (p 1 ) = (a + c + bp 1 )/2

55 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte54 Il modello di duopolio alla Bertrand: mosse successive e prodotti differenziati Risolvere il problema dellimpresa 1. Notate che limpresa 1 può risolvere il problema dellimpresa 2 (common knowledge). Limpresa 1 conosce quindi la funzione di risposta ottima dellimpresa 2 a p 1. Quindi il problema dellimpresa 1 sarà: Max u 1 (p 1, R 2 (p 1 ))=(a – p 1 + b R 2 (p 1 ) )(p 1 – c) s. a 0 p 1 + Vale a dire, Max u 1 (p 1, R 2 (p 1 ))=(a – p 1 + b (a + c + bp 1 )/2 )(p 1 – c) s. a 0 p 1 + F.O.C.: a – p 1 + b (a + c + bp 1 )/2+ ( –1+b 2 /2) (p 1 – c) = 0 p 1 = (a+c+(ab+bc–b 2 c)/2)/(2–b 2 )

56 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte55 Il modello di duopolio alla Bertrand: mosse successive e prodotti differenziati Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi ((a+c+(ab+bc–b 2 c)/2)/(2–b 2 ), R 2 (p 1 ) ), dove R 2 (p 1 ) = (a + c + bp 1 )/2 Limpresa 1 sceglie un prezzo (a+c+(ab+bc–b 2 c)/2)/(2–b 2 ), Limpresa 2 sceglie un prezzo R 2 (p 1 ) se limpresa 1 sceglie un prezzo p 1.

57 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte56 Riassunto Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi Backward induction Modello di duopolio alla Stackelberg Modello di duopolio alla Bertrand a mosse successive e prodotti differenziati Prossimo argomento Giochi dinamici ad informazione completa ma imperfetta

58 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte57 Giochi dinamici ad informazione completa ed imperfetta Informazione imperfetta Un giocatore potrebbe non conoscere CHI ha fatto COSA nel momento in cui si trova a dover compiere una scelta. Esempio: Il giocatore 2 fa la sua scelta dopo il giocatore 1. Il giocatore 2 ha bisogno di prendere la propria decisione senza sapere cosa ha fatto il giocatore 1.

59 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte58 Informazione imperfetta: esemplificazione Ognuno dei due giocatori ha un penny. Il giocatore 1 sceglie se giocare Head o Tail. Dopo ciò, il giocatore 2 sceglie se giocare Head o Tail senza sapere la mossa del giocatore 1 Entrambi conoscono la regola di attribuzione dei payoffs: Se i due pennies sono uguali allora vince il giocatore 2. Se i due pennies sono diversi vince il giocatore 1. Player 2 Player 1 Player 2 H T -1, 1 1, -1 H T H T -1, 1

60 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte59 Insieme informativo Definizione del Gibbons: Un insieme informativo per un giocatore è una serie di nodi che soddisfa: Il giocatore ha la mossa ad ogni nodo dellinsieme informativo, e Quando il gioco raggiunge un nodo in un insieme informativo, il giocatore che deve muovere non sa quale nodo dellinsieme informativo è stato raggiunto. Tutti i nodi di un insieme informativo appartengono allo stesso giocatore Il giocatore deve avere lo stesso insieme di azioni possibili ad ogni nodo dellinsieme informativo.

61 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte60 Insieme informativo: esemplificazione Player 1 L R Player 2 L R 2, 2, 3 Player 2 L R 3 L R 3 L R 3 L R 3 L R 1, 2, 0 3, 1, 2 2, 2, 1 0, 1, 11, 1, 21, 1, 1 Un insieme informativo di player 3 contiene tre nodi Un insieme informativo di player 3 contiene un nodo singolo Due insiemi informativi per player 2 ognuno dei quali contiene un nodo singolo

62 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte61 Insieme informativo: esemplificazione Tutti i nodi in un insieme informativo appartengono allo stesso giocatore Player 1 C D Player 2 E F 3, 0, 2 2, 1, 3 Player 3 G H 1, 3, 1 0, 2, 2 Questo NON è un insieme informativo corretto

63 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte62 Insieme informativo: esemplificazione Il giocatore deve avere lo stesso insieme di azioni possibili ad ogni nodo dellinsieme informativo Player 1 C D Player 2 E F 3, 0 2, 1 Player 2 G H 1, 3 0, 2 1, 1 Un insieme informativo NON può contenere questi due nodi K

64 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte63 Rappresentazione di un gioco statico ad albero: esemplificazione Il dilemma del prigioniero Prigioniero 1 Prigioniero 2 Prigioniero 1 N C -1, -1 0, -9 Nega Conf N C -9, 0 -6, -6

65 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte64 Esempio: distruzione mutualmente assicurata Fra le due superpotenze, 1 e 2, cè stato un incidente diplomatico. La sequenza è come segue: Il gioco comincia con la scelta della superpotenza 1 che può ignorare lincidente ( I ), ottenendo i payoffs (0, 0), o esasperare la situazione ( E ). Se la superpotenza 1 esaspera, La superpotenza 2 può ritrattare ( B ), perdendo la faccia e ottenendo quindi un payoff negativo (1, -1), o può scegliere una risposta con attacco atomico ( A ). Su questa scelta, le due superpotenze giocano il seguente gioco a mosse simultanee. Possono entrambe Ritrattare ( R ) o scegliere lAttacco ( D ) nel qual caso il mondo è distrutto. Se entrambe scelgono di ritrattare entrambe hanno una piccola perdita e il payoff sarà (- 0.5, -0.5). Se entrambe scelgono lattacco atomico il payoff sarà (-K, -K), dove K è un numero molto grande.

66 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte65 Esempio: distruzione reciproca 1 I E 0, 0 2 B A 1, R D -0.5, K, -K R D R D 2

67 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte66 Informazione perfetta e informazione imperfetta Un gioco dinamico nel quale ogni insieme informativo contiene esattamente un nodo è chiamato gioco ad informazione perfetta. Un gioco dinamico nel quale alcuni insiemi informativi contengono più di un nodo è chiamato gioco ad informazione imperfetta.

68 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte67 Strategia e payoff Una strategia è un piano completo di azione. Specifica una possibile azione per un giocatore in qualsiasi contingenza nella quale esso sia chiamato in causa. Specifica cosa fa il giocatore ad ogni suo insieme informativo Player 1 Player 2 H T -1, 1 1, -1 H T Player 2 H T 1, -1 -1, 1 La strategia per player 1: H Una strategia per player 2: T Il payoff del giocatore 1 è 1 e il payoff del giocatore 2 è -1 se il giocatore 1 gioca H e il giocatore 2 gioca T

69 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte68 Strategia e payoff: esemplificazione 1 I E 0, 0 2 B A 1, R D -0.5, K, -K R D R D 2 Una strategia per il giocatore 1: E, e R se il giocatore 2 gioca A, scritta come ER Una strategia per il giocatore 2: A, R, se il giocatore 1 gioca E, scritta come AR

70 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte69 Il NE in un gioco dinamico Possiamo usare anche la forma normale per rappresentare un gioco dinamico Linsieme degli NE in un gioco dinamico ad informazione completa è linsieme degli Nenella sua forma normale Come trovare lNE in un gioco dinamico ad informazione completa Costruite la forma normale del gioco dinamico ad informazione completa Trovate lNE nella forma normale

71 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte70 Rimuovere gli NE non ragionevoli SNE è un NE raffinato Puo eliminare NE non ragionevoli o minacce non credibili Ma prima dobbiamo definire i sottogiochi

72 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte71 Sottogioco Un sottogioco in un albero di gioco dinamico Comincia ad un insieme informativo singletone (che contiene un nodo singolo), e Include tutti i nodi e segmenti che seguono il singleton, e NON spezza nessun insieme informativo; vale a dire, se un nodo di un insieme informativo appartiene a questo sottogioco allora tutti i nodi dellinsieme informativo devono anche appartenere al sottogioco.

73 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte72 Sottogioco: esemplificazione 1 I E 0, 0 2 B A 1, R D -0.5, K, -K R D R D 2 un sottogioco NON è un sottogioco

74 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte73 Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi LNE di un gioco dinamico è perfetto nei sottogiochi se le strategie del NE costituiscono o inducono un NE in ogni sottogioco del gioco. SNE è un NE.

75 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte74 Ricerca del SNE: backward induction 1 I E 0, 0 2 B A 1, R D -0.5, K, -K R D R D 2 Un sottogioco un sottogioco Iniziate con i sottogiochi più piccoli Muovete allindietro fino a raggiungere la radice Un SNE ( IR, AR )

76 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte75 Ricerca del SNE: backward induction 1 I E 0, 0 2 B A 1, R D -0.5, K, -K R D R D 2 Un sottogioco Un altro SNE ( ED, BD ) Iniziate con i sottogiochi più piccoli Muovete allindietro fino a raggiungere la radice

77 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte76 Investimento Bancario Due investitori, 1 e 2, hanno ognuno un deposito di D con una banca. La banca ha investito questi depositi in un progetto a lungo termine. Se la banca liquida gli investimenti prima che il progetto maturi, si ottiene un totale di 2r, dove D > r > D/2. Se linvestimento bancario invece matura, il progetto pagherà un capitale pari a 2R, dove R>D. Ci sono due date soltanto nelle quali gli investitori possono prelevare i soldi investiti nella banca.

78 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte77 Investimenti bancari: sequenza del gioco La sequenza del gioco è come segue Data 1 (prima che linvestimento bancario maturi) I due investitori giocano un gioco a mosse simultanee Se entrambi prelevano alloro ognuno riceve r e il gioco finisce Se solo uno fa un prelievo allora lui riceve D, laltro riceve 2r-D, e il gioco finisce Se nessuno fa un prelevamento allora il progetto matura il rendimento e il gioco continua alla Data 2. Data 2 (dopo che linvestimento ha maturato rendimenti) Due investitori giocano un gioco a mosse simultanee Se entrambi fanno prelevamenti allora ognuno riceve R e il gioco finisce Se solo uno preleva allora lui riceve 2R-D, laltro riceve D, e il gioco finisce Se nessuno preleva allora la banca restituisce R a ogni investitore e il gioco finisce.

79 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte78 Investimenti bancari: lalbero 1 W NW 2 W 1 2 W W W 2 Un sottogioco Un SNE ( NW W, NW W ) W r, r NW Data 1 Data 2 W: preleva NW: non preleva 2 D, 2r–D 2r–D, D R, R D, 2R–D 2R–D, D R, R

80 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte79 Investimenti bancari: lalbero 1 W NW 2 W 1 2 W W W 2 Un altro SNE ( W W, W W ) W r, r NW Data 1 Data 2 W: preleva NW: non preleva 2 D, 2r–D 2r–D, D R, R D, 2R–D 2R–D, D R, R Un sottogioco

81 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte80 Dazi e concorrenza internazionale imperfetta Due nazioni identiche, 1 e 2, scelgono simultaneamente i propri dazi, denotati rispettivamente da t 1, t 2. Limpresa 1 della nazione 1 e limpresa 2 dalla nazione 2 producono un prodotto omogeneo sia per il consumo interno sia per esportarlo. Dopo aver osservato i dazi scelti dalle due nazioni, limpresa 1 e limpresa w scelgono simultaneamente le quantità da destinare al consumo interno e allesportazione, indicate rispettivamente con (h 1, e 1 ) e (h 2, e 2 ). I prezzi di mercato nelle due nazioni sono P i (Q i )=a–Q i, for i =1, 2. Q 1 =h 1 +e 2, Q 2 =h 2 +e 1. Entrambe le imprese hanno costi marginali costanti c. Ogni impresa paga i dazi sulle esportazioni allaltra nazione.

82 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte81 Dazi e concorrenza internazionale imperfetta

83 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte82 Dazi e concorrenza internazionale imperfetta

84 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte83 Backward induction: sottogioco tra le due imprese

85 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte84 Backward induction: sottogioco tra le due imprese

86 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte85 Backward induction: lintero gioco

87 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte86 Dazi e concorrenza internazionale imperfetta

88 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte87 Generalizzazione del gioco dei dazi Quattro giocatori: 1, 2, 3, 4. La sequenza del gioco è come segue: Stadio 1: I giocatori 1 e 2 scelgono simultaneamente le azioni a 1 e a 2 dallinsieme delle azioni rispettivamente possibili A 1 e A 2. Stadio 2: Dopo aver osservato il risultato ( a 1, a 2 ) del primo stadio, I giocatori 3 e 4 scelgono simultaneamente le azioni a 3 e a 4 dallinsieme delle azioni rispettivamente possibili A 3 e A 4. Il gioco finisce. I payoff sono u i (a 1, a 2, a 3, a 4 ), per i =1, 2, 3, 4

89 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte88 Albero informale del gioco Gioc. 1 Stadio 1 Stadio 2 Gioc. 2 Gioc. 3 Insieme delle azioni del gioc. 2 A 2 Insieme delle azioni del gioc. 3 A 3 Insieme delle azioni del gioc. 4 A 4 Gioc. 4 a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 Uno dei sottogiochi più piccoli a seguito di ( a 1, a 2 ) Insieme delle azioni del gioc. 1 A 1

90 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte89 Backward induction: risolvete il sottogioco più piccolo

91 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte90 Backward induction: ritornate alla radice Gioc. 1 Stadio 1 Stadio 2 Gioc. 2 a1a1 a2a2 Insieme delle azioni del gioc. 1 A 1 Insieme delle azioni del gioc. 2 A 2

92 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte91 Backward induction: ritornate alla radice

93 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte92 Riassunto Giochi dinamici ad informazione completa ed imperfetta Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi Backward induction Prossimo argomento Giochi ripetuti


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