Analisi dei Sistemi Esercitazione 3b

Presentazione sul tema: "Analisi dei Sistemi Esercitazione 3b"— Transcript della presentazione:

1 Analisi dei Sistemi Esercitazione 3b
Sommario: Analisi della stabilità senza sviluppo polinomio caratteristico - Analisi della stabilità nei sistemi lineari discreti - Metodi per la determinazione del segno degli autovalori

2 Calcolo degli autovalori
è asintoticamente stabile sono soluzione (poli) di se è se n>3 inizia ad essere lungo e laborioso lo sviluppo del polinomio caratteristico  esistono tecniche per : - ottenere i coeff. ai direttamente dalla matrice A (formula di Souriau) - sulla base di questi valutare la asintotica stabilità di A (criterio di Hurwitz)

3 Formula di Souriau Formula di Souriau abb

4 Matrice di Hurwitz n minori principali matrice di Hurwitz (1895)

5 Criterio di Hurwitz Dato un sistema è asintoticamente stabile se e solo se gli n minori principali della matrice di Hurwitz associata al polinomio caratteristico della matrice A sono tutti positivi

6 Sistemi discreti asintotica stabilità sistemi 1° ordine: in generale:
instabile a. stabile a. stabile instabile Re Im in generale:

7 Calcolo autovalori: casi particolari
1. A è triangolare oppure gli autovalori sono gli elementi della diagonale 2. A è triangolare a blocchi gli autovalori sono l’insieme degli autovalori di ogni sottomatrice

8 Esempio 1 sistema a 3 serbatoi
eq. di stato: eq. di uscita: parametri: equilibrio: se

9 Esempio 1 sistema a 3 serbatoi
polinomio caratteristico

10 Esempio 2 sistema continuo
di ordine 6 es: calcolare gli autovalori e valutarne la stabilità sistema instabile

11 Stabilità senza calcolo autovalori
SISTEMI CONTINUI - ordine n: se A è asintoticamente stabile allora (cond. necessaria) non a.s. instabile - ordine 2: se A è asintoticamente stabile allora (cond. necessaria e suff.)

12 Esempio 2 sistema continuo
di ordine 6 sistema instabile

13 Esempio 3 sistema continuo
di ordine 5 non è triangolare a blocchi sistema instabile

14 Stabilità senza calcolo autovalori
SISTEMI DISCRETI - ordine n: se A è asintoticamente stabile allora (cond. necessaria) - ordine 2: se A è asint. stabile allora (cond. nex e suff.)