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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Algebra di Boole ed elementi di logica Marco D. Santambrogio – Ver. aggiornata.

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1 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Algebra di Boole ed elementi di logica Marco D. Santambrogio – Ver. aggiornata al 10 Ottobre 2013

2 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEObiettivi Algebra di Boole Algebra di boole a due valori: algebra di commutazione Operazioni logiche Espressioni logiche Assiomi e proprietà dellalgebra di commutazione 2

3 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 3 Lalgebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà 800), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni logiche sono applicabili a operandi logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i valori vero e falso Si può rappresentare vero con il bit 1 e falso con il bit 0 (convenzione di logica positiva) Cenni allalgebra di Boole

4 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Algebra Booleana: definizione Algebra Booleana B è un sistema algebrico identificato dalla sestupla (B,+,*,,0,1) dove: B è l'insieme su cui vengono definite le operazioni (supporto) +, *, sono le operazioni binarie OR e AND e loperazione unaria NOT 0, 1 sono elementi speciali di B. 0 è lelemento neutro rispetto a + 1 è lelemento neutro rispetto a * Assiomi

5 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Algebra Booleana a due valori: Algebra di Commutazione Tra tutte le algebre booleane, l'algebra booleana a due valori è la più utile. Essa è la base matematica della analisi e progetto di circuiti di commutazione che realizzano i sistemi digitali. [Lee, S.C., Digital Circuit And Logic Design. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1976] - 5 -

6 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 6 Operatori logici binari (con 2 operandi logici) Operatore OR, o somma logica Operatore AND, o prodotto logico Operatore logico unario (con 1 operando) Operatore NOT, o negazione, o inversione Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato Operazioni logiche fondamentali

7 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Le variabili dellalgebra booleana a due valori possono assumere solo i due valori 0 e 1 precisamente, se x indica una variabile, è x = 0 se e solo se x 1 x = 1 se e solo se x 0 Algebra Booleana a due valori: ({0,1},+,*,,0,1) dove + (OR) e * (AND) sono definiti come Mentre loperazione a un solo elemento (unary operation) detta complementazione o negazione ( NOT ) è definita come Nota: il simbolo associato al NOT è spesso indicato come (esempio x ), ! (esempio !x ) o sopra segnando la variabile * Operazioni logiche fondamentali

8 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 8 Operatori logici di base e loro tabelle di verità A B A and B (prodotto logico) A B A or B (somma logica) A not A (negazione) Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione

9 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 9 Come le espressioni algebriche, costruite con: Variabili logiche (letterali): p. es. A, B, C 0 oppure 1 Operatori logici: and, or, not Esempi: A or (B and C) (A and (not B)) or (B and C) Precedenza: loperatore not precede loperatore and, che a sua volta precede loperatore or A and not B or B and C (A and (not B)) or (B and C) Per ricordarlo, si pensi OR come (più), AND come (per) e NOT come (cambia segno) Espressioni logiche (o Booleane)

10 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE A and B or not C A B C X = A and B Y = not C X or Y and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 1 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 1 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 1 = 1 not 0 = 1 1 or 1 = and 1 = 1 not 1 = 0 1 or 0 = 1 Tabella di verità di unespressione logica

11 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 11 A B NOT ((A OR B) AND (NOT A)) A B C ( B OR NOT C) AND (A OR NOT C) Due esercizi

12 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Pausa 5 12 George Boole

13 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Vero e falso in C In C non esiste un tipo di dato specico per rappresentare i concetti vero e falso Una condizione assume un valore intero pari a 0 se la condizione è falsa 1 se la condizione è vera In generale, ogni valore diverso da zero è considerato vero ( 3 ) VERO ( 1 ) VERO ( a – a ) FALSO 13

14 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEProblema Si scriva un programma in C che, dato un numero, dica se questo è positivo o negativo 14

15 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONESoluzione 1. Si inserisca N 2. N è maggiore di 0? Vero: N è positivo Falso: N non è positivo 15

16 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 16 In C: positivo int main() { int n; printf (Inserisci un numero\n"); scanf ("%d", &n ); if ( n > 0 ) printf ("Un numero positivo ! \n"); else printf ("Un numero negativo o nullo\n"); printf ("Fine del programma\n"); return 0; } condizione

17 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Problema: caratteri MaIuScOli Si scriva un programma che, preso un carattere minuscolo da tastiera, ne riporta a video lequivalente maiuscolo 17

18 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Maiuscolo: esecuzione 18

19 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE HELP: errori sullinput 19

20 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Problema: errori sullinput Problema Preso un dato inserito da tastiera Per potervi applicare la trasformazione di nostro interesse Dobbiamo prima verificare che il dato sia coerente con quanto ci aspettiamo Soluzione Definire linsieme dei caratteri validi Verificare lappartenenza del carattere inserito, allinsieme dei caratterei validi 20

21 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEPseudocodice Dati Linsieme dei caratteri ammissibili {a, b, c, …, z} 1. Richiedere linserimento di un carattere 2. Se carattere inserito corretto 3. Allora stampa a video carattere Altrimenti stampa a video un messaggio di errore 21

22 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Dati Linsieme dei caratteri ammissibili {a, b, c, …, z} Il carattere inserito deve essere =>a <= z 22

23 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Maiuscolo: solo if 23

24 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Condizione da verificare Il carattere inserito deve essere X: =>a Y: <= z X e Y devono essere entrambe vere 24 X Y X and Y (prodotto logico)

25 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Maiuscolo: AND 25

26 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Maiuscolo: codice ottimizzato 26

27 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Maiuscolo: esecuzione 27

28 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 28 A modellare alcune (non tutte) forme di ragionamento A è vero che 1 è maggiore di 2 ? (sì o no, qui è no) 0 B è vero che 2 più 2 fa 4 ? (sì o no, qui è sì) 1 A and B è vero che 1 sia maggiore di 2 e che 2 più 2 faccia 4 ? Si ha che A and B 0 and 1 0, dunque no A or B è vero che 1 sia maggiore di 2 o che 2 più 2 faccia 4 ? Si ha che A or B 0 and 1 1, dunque sì OR, AND e NOT vengono anche chiamati connettivi logici, perché funzionano come le congiunzioni coordinanti o ed e, e come la negazione non, del linguaggio naturale Si modellano ragionamenti (o deduzioni) basati solo sulluso dio, e e non (non è molto, ma è utile) A che cosa servono le espressioni logiche?

29 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 29 Le espressioni logiche (booleane) non modellano: Domande esistenziali: cè almeno un numero reale x tale che il suo quadrato valga 1 ? x | x 2 1è falso (si sa bene che non cè) Domande universali: ogni numero naturale è la somma di quattro quadrati di numeri naturali ? x | x a 2 b 2 c 2 d 2` è vero (teorema dei 4 quadrati) Più esattamente andrebbe scritto: x a,b,c,d | x a2 b2 c2 d2 e sono chiamati operatori di quantificazione, e sono ben diversi da or, and e not La parte della logica che tratta solo degli operatori or, and e not si chiama calcolo proposizionale Aggiungendo gli operatori di quantificazione, si ha il calcolo dei predicati (che è molto più complesso) Che cosa non si può modellare tramite espressioni logiche?

30 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 30 Tautologia Una espressione logica che è sempre vera, per qualunque combinazione di valori delle variabili Esempio: principio del terzo escluso: A or not A (tertium non datur, non si dà un terzo caso tra levento A e la sua negazione) Contraddizione Una espressione logica che è sempre falsa, per qualunque combinazione di valori delle variabili Esempio: principio di non contraddizione: A and not A (levento A e la sua negazione non possono essere entrambi veri) Tautologie e Contraddizioni

31 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 31 Due espressioni logiche si dicono equivalenti (e si indica con ) se hanno la medesima tabella di verità. La verifica è algoritmica. Per esempio: A B not A and not B not (A or B) and 1 = 1 not 0 = and 0 = 0 not 1 = and 1 = 0 not 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 Espressioni logiche equivalenti modellano gli stessi stati di verità a fronte delle medesime variabili Equivalenza tra espressioni

32 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 32 Proprietà dellalgebra di Boole Lalgebra di Boole gode di svariate proprietà, formulabili sotto specie di identità cioè formulabili come equivalenze tra espressioni logiche, valide per qualunque combinazione di valori delle variabili

33 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Algebra Booleana a due valori: Assiomi Gli operatori descritti godono delle proprietà definite dai seguenti assiomi (postulati di Huntington): Le operazioni di disgiunzione (+) e congiunzione (·) sono commutative, cioè per ogni elemento a,b B a+b = b+a a·b = b·a Esiste un elemento neutro (o identità) rispetto a + (indicato con 0) e un elemento neutro rispetto a · (indicato con 1), cioè: a+0=a a·1=a Le due operazioni sono distributive rispetto allaltra, cioè per ogni a,b,c B, risulta: a+(b·c)=(a+b)·(a+c) a·(b+c)=(a·b)+(a·c) Per ogni a B esiste lelemento a B, detto negazione logica o complemento di a, tale che: a+a =1 a·a =0 Vale per la somma rispetto al prodotto come per il prodotto rispetto alla somma – non esiste precedenza fra le due operazioni, occorre sempre immaginare le parentesi sottintese intorno a ogni applicazione di unoperazione.

34 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Algebra di Commutazione: Proprietà 1 1: associativa a+(b+c)=(a+b)+c a*(b*c)=(a*b)*c 2: idempotenza a+a=a a*a=a 3: elemento nullo a+1=1 a*0=0 4: unicità elemento inverso: il complemento di a, a, è unico 5: assorbimento a+(a*b)=a a*(a+b)=a

35 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE : Semplificazione a+ab = a+b a*(a+b) = a*b 7: involuzione ((a)) = a 8: Leggi di De Morgan (a+b) = a*b (a*b) = a+b 9: consenso a*b+a*c+b*c = a*b + a*c (a+b)*(a+c)*(b+c)=(a+b)*(a+c) Algebra di Commutazione: Proprietà 2

36 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE 36 Trasformare unespressione logica in unaltra, differente per aspetto ma equivalente: not A and B or A (assorbimento) not A and B or (A or A and B) (togli le parentesi) not A and B or A or A and B (commutativa) not A and B or A and B or A (distributiva) (not A or A) and B or A (legge dellelemento 1) true and B or A (vero and B B) B or Aè più semplice dellespressione originale Si può verificare lequivalenza con le tabelle di verità Occorre conoscere unampia lista di proprietà e si deve riuscire a vederle nellespressione (talvolta è difficile) Uso delle proprietà

37 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Problemi di fine giornata… Si scriva un programma in C che richiede linserimento di un numero intero positivo, se linserimento e errato ritorna un messaggio di errore Si scriva un programma in C che, dati due caratteri, li ordina in ordine alfabetico inverso 37

38 DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Fonti per lo studio + Credits Fonti per lo studio Introduzione ai sistemi informatici, D. Sciuto, G. Buonanno, L. Mari, 4a Ed, McGrawHill Capitolo 2 Credits Daniele Braga Cristiana Bolchini htm


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