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Teoremi (di incompletezza) di Gödel

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Presentazione sul tema: "Teoremi (di incompletezza) di Gödel"— Transcript della presentazione:

1 Teoremi (di incompletezza) di Gödel
Presupposti logici Presupposti storici Teoremi (di incompletezza) di Gödel implicazioni logiche e logico-filosofiche … rilevanti in filosofia della mente e dell’I.A. … rilevanti in filosofia della matematica

2 Presupposti storici Hilbert e il programma hilbertiano
Hilbert vs intuizionismo Matematica intuizionista: costruire mentale trasparente a se stesso Conseguenza: revisionismo a oppure  a   a  a () a : disporre di una costruzione mentale che produca a (o che mostra a  assurdo)   a: disporre di una costruzione mentale che confuta  a (che mostra  a  assurdo) Programma hilbertiano: entro il novero dei progetti fondazionali maturati nella stagione degli studi dei fondamenti della matematica Studi sui fondamenti della matematica: studi aventi una motivazione filosofica (venire in chiaro di che cosa sia la matematica, che cosa siano i suoi oggetti, le sue procedure) ma condotti con l’utilizzo dello strumento matematico stesso ove l’uso dello strumento matematico in vista della chiarificazione di questioni filosofiche produsse la logica matematica

3 Presupposti storici Hilbert e il programma hilbertiano
Hilbert: 1922, Nuova fondazione della matematica. Prima comunicazione Salvare la matematica classica dagli attacchi che la vorrebbero non legittima  porre la consistenza come condizione necessaria e sufficiente della sua legittimità Programma hilbertiano: formalizzazione delle teorie matematiche note e dimostrazione della loro consistenza (condizionata dalla dimostrazione della consistenza dell’aritmetica) Progetti tecnici intrecciati a considerazioni filosofiche ove interessi filosofici già rappresentano la motivazione di tali progetti, Progetti che per gli esiti a cui andarono incontro sollecitarono nuova riflessione filosofica (che è in parte quella contemporanea) Filosofia filia nuova “matematica” (logica matematica, metematematica) che filia nuova filosofia

4 Presupposti storici Hilbert e…
Consistenza dell’aritmetica?!? Aritmetica finitaria: dai contenuti immediatamente evidenti e dalle operazioni garantite nella loro affidabilità (inhaltlich, anschaulich cioè contenutistica, intuitiva) |, ||, |||, … Aritmetica non finitaria: implica un riferimento ad infinità attuali Sia p un numero primo sufficientemente grande. “esiste un numero primo tra p+1 e p!+1” è finitariamente significante Ma per n un numero naturale qualsiasi “esiste un numero primo tra n e n!+1” non è finitariamente significante Tali contenuti sono contenuti non intesi ma visisbili e trattabili operativamente (ad esempio concatenabili) e comparabili

5 Presupposti storici Hilbert e…
Dimostrare la consistenza: dimostrare che 0=1 non è derivabile logicamente dagli assiomi aritmetici Assiomi: configurazioni finite di segni Regole logiche: manipolazioni che constano di un numero finito di passaggi che si applicano alla forma dei segni A  (A B) si trasforma in B dimostrare che le manipolazioni finite di segni finiti che posso attuare non producono quale esito la configurazione 0 =1 Ciò è simile alle operazioni dell’aritmetica finitaria! La dimostrazione della consistenza della aritmetica è un problema risovibile con le procedure dimostrative dell’aritmetica finitaria! Progetti tecnici intrecciati a considerazioni filosofiche ove interessi filosofici già rappresentano la motivazione di tali progetti, Progetti che per gli esiti a cui andarono incontro sollecitarono nuova riflessione filosofica (che è in parte quella contemporanea) Filosofia filia nuova “matematica” (logica matematica, metematematica) che filia nuova filosofia

6 Presupposti storici Hilbert e…
1931: Gödel dimostra (quale corollario) che la consistenza dell’aritmetica non è dimostrabile con gli strumenti deduttivi della aritmetica finitaria Progetti tecnici intrecciati a considerazioni filosofiche ove interessi filosofici già rappresentano la motivazione di tali progetti, Progetti che per gli esiti a cui andarono incontro sollecitarono nuova riflessione filosofica (che è in parte quella contemporanea) Filosofia filia nuova “matematica” (logica matematica, metematematica) che filia nuova filosofia

7 Implicazioni del programma hilbertiano: la natura della mente
L’idea fondamentale della mia teoria della dimostrazione non è nient’altro che descrivere l’attività del nostro intelletto, di creare un protocollo delle regole secondo le quali la nostra attività di pensiero di fatto procede. Pensare, si dà il caso, è analogo a parlare e scrivere: formiamo enunciati e li disponiamo uno dopo l’altro (Hilbert 1927) regole di pensiero = regole logiche Regole logiche: procedure che si attivano in virtù della forma dei segni a cui si applicano (A, AB si trasforma in B) Pensiero: trasformazioni di simboli che si applicano alla loro forma Se è possibile costruire un meccanismo materiale capace di sfruttare aspetti concreti dei segni, è possibile costruire una macchina pensante! Solo che…

8 Implicazioni del programma hilbertiano: consistenza
La consistenza è dimostrabile e se non è dimostrabile, è conoscibile? Se è conoscibile come lo è? Tale conoscenza della consistenza è una modalità di conoscenza specificamente matematica? E se la consistenza non fosse conoscibile? E se le teorie matematiche fossero inconsistenti?

9 Logica dei predicati del primo ordine:
Presupposti logici Logica dei predicati del primo ordine: mostra il funzionamento del linguaggio nella sua componente assertiva,il linguaggio corrente in quanto linguaggio in cui si dice che le cose stanno così e così, formalizzandolo e individuando regole

10 Presupposti logici Formalizzare:
isolare le unità assertive minime del linguaggio ed esprimere le componenti di tali unità attraverso controparti simboliche per rendere totalmente esplicita la forma del linguaggio nella sua componente assertiva individuare regole di derivazione che consentano di stabilire nessi o relazioni formali tra le proposizioni del linguaggio

11 Presupposti logici Proposizioni complesse risultanti da proposizioni semplici: Parigi è la capitale della Francia e la Francia si trova in Europa Struttura predicativa e quantificazionale delle proposizioni: Parigi è la capitale della Francia: C(P, F) Tutti gli uomini sono mortali: x (U(x)  M(x)) Qualche uomo è sapiente: x (U(x) S(x)) Formalizzazione simbolica delle componenti predicative e quantificazionale degli enunciati Variabili per individui: x, y, z Costanti per predicati: … Pi1…, … Pi2 …, … Pi3 … Quantificatori: ,  Connettivi:  (non),  (e),  (o),  (se… allora) Perché mancano costanti per individui e variabili per predicati?

12 Linguaggio della logica dei predicati del primo ordine L consta di:
Presupposti logici Linguaggio della logica dei predicati del primo ordine L consta di: un alfabeto (che include variabili individuali, costanti predicative e segni logici) regole di formazione per formule (indicazioni su come costruire formule ben formate)… … che lo rendono al limite pensabile come “autonomo” rispetto alle sue controparti non formali, come linguaggio che si autocrea combinando segni nei modi indicati dalle regole di formazione. In più si pensi alle regole di derivazione come regole che consentono di stabilire nessi o relazioni formali tra proposizioni del linguaggio La sintassi logica studia L come linguaggio che “si autocrea” indipendentemente dal suo significare

13 Presupposti logici Ma resta che… … le configurazioni di segni dell’alfabeto (formule) possono essere intese naturalmente come tali da avere un s i g n i f i c a t o (quello delle loro controparti non-formali) e come tali sono oggetto di studio della semantica logica.

14 <dominio oggettuale, assegnazione>
Presupposti logici Che una configurazione di segni abbia un significato viene precisato dicendo che tale formula può essere interpretata su individui di un dominio oggettuale, ovvero che le sue variabili individuali possono essere viste come tali da stare per individui del dominio, le sue costanti predicative per proprietà di individui o coppie, triple, quadruple ordinate di individui, ecc., che stanno tra loro in determinate relazioni Interpretazione: <dominio oggettuale, assegnazione>

15 Esempio: L’interpretazione rende vera la formula! Presupposti logici
x y Pi2 (y, x) Interpretazione sul dominio dei numeri naturali ove x, y: stanno per numeri naturali Pi2: sta per la relazione “essere maggiore di” definita su numeri naturali L’interpretazione rende vera la formula! Ma se Pi2 fosse intepretata sulla relazione “essere minore di” tra numeri naturali … Incompletezza semnatica: formula vera ma non derivabile entro la teoria!

16 Interpretazione nella quale
Presupposti logici Modello (di un insieme di L-formule ): Interpretazione nella quale tutte le formule di  sono vere Essere conseguenza logica: A è conseguenza logica di  ╞ A se e solo se ogni modello di  è modello di A

17 Domanda: dato  come ne derivo le conseguenze logiche?
Presupposti logici Domanda: dato  come ne derivo le conseguenze logiche? Le regole di derivazione possono essere intese come regole che consentano di stabilire nessi di conseguenza logica tra le L-formule? Riescono le regole di derivazione a “catturare” ovvero produrre meccanicamente tutte le conseguenze logiche di un insieme  di L-formule? Incompletezza semantica di nuovo è colpa del calcolo?

18  ├ A se ╞ A allora  ├ A Presupposti logici
significa che A è derivabile da  applicando alle L-formule di  le regole D, ci si sta domandando se sia vero: se ╞ A allora  ├ A (il calcolo è semanticamente completo) Ci si può anche domandare: se  ├ A allora ╞ A (il calcolo è corretto)

19 5-7 Ottobre 1930, Koenigsberg:
Presupposti logici 5-7 Ottobre 1930, Koenigsberg: Dato un insieme  di L-formule è possibile derivare da  ogni conseguenza logica di  e, in particolare, ogni tesi logica ovvero il calcolo del primo ordine è semanticamente completo ovvero un computer, opportunamente programmato, è in grado di derivare ogni conseguenza logica di un insieme di L-formule e ogni tesi logica Ciò significa che un computer, opportunamente programmato, è in grado di derivare ogni conseguenza logica di un insieme di L-formule e ogni tesi logica. Infatti: “Un calcolo logico può essere pensato come un sistema per passare in rassegna meccanicamente un numero di proposizioni logicamente vere. Tale calcolo consiste di assiomi logici e un certo numero di regole di inferenza. L’idea è che le regole di inferenza siano completamente meccaniche, dipendenti solo dalla struttura formale delle premesse (input) dell’inferenza. Il sistema può essere allora organizzato in un computer idealizzato. Si programmano gli assiomi e le regole di inferenza nel computer che ti darà come risultato più e più teoremi ottenibili dagli assiomi attraverso le regole di inferenza. Insiemi di enuciati ottenibili in questa maniera sono detti ricorsivamente enumerabili. La idealizzazione maggiore è che il computer abbia un nastro infinito su cui scrivere configurazioni di simboli (ove i simboli provengono da una lista finita). Si assume anche che il computer non abbia limitazioni di tempo.Queste macchine idealizzate sono chiamate macchine di Turing” Hintikka, 15-16

20 Il teorema di Gödel Il calcolo logico del primo ordine è semanticamente completo ma… “Assumendo la consistenza formale della matematica classica uno può dare esempi di proposizioni (dello stesso tipo che quelle di Goldbach e di Fermat) che sono vere ma non provabili nel sistema formale della matematica classica” ovvero la matematica classica come sistema formale è incompleta

21 Aritmetica del primo ordine (A)
Il teorema di Gödel …ogni teoria matematica formale che includa l’aritmetica del primo ordine Aritmetica del primo ordine (A) teoria assiomatica espressa in un linguaggio formale LA che include, oltre a L e alle regole del calcolo logico, specifiche costanti non logiche, individuali e predicative (0, S, +, •) e i seguenti assiomi: x (S(x)  0) x y (S(x) = S(y)  x = y) (P(x)  x (P(x)  P(S(x)))  x P(x) x (x + 0 = x) x y (x + S(y) = S(x + y)) x (x • 0 = 0) x y (x • S(y) = x • y + x)

22 La dimostrazione dei teoremi di Gödel muove da due assunzioni:
Il teorema di Gödel La dimostrazione dei teoremi di Gödel muove da due assunzioni: che l’aritmetica del primo ordine sia consistente che LA possa parlare, oltre che di numeri naturali, di se stesso come linguaggio e delle proprietà sintattiche sue e di A (codificare predicati come: “essere una variabile/costante di LA” “essere una formula di LA”, “essere una formula atomica/molecolare di LA”,“essere una prova in A”, “essere provabile in A”, …). Ovvero LA è capace di fungere da metalinguaggio di se stesso.

23 funzione di gödelizzazione (¯ ¯)
Il teorema di Gödel LA è capace di fungere come metalinguaggio di se stesso grazie alla definizione della funzione di gödelizzazione (¯ ¯) che, sulla scorta di una preliminare assegnazione di codici numerici ai simboli primitivi del linguaggio, attribuisce, in funzione di questi ultimi, codici numerici alle formule del linguaggio e consente la definibilità in LA dei predicati sintattici sopra indicati

24 Il teorema di Gödel Esempi di gödelizzazione (di “0+xi=xi”)
¯+¯ = (S(S(0)) = 2 ¯=¯ = … = 3 ¯xi¯ = … = <1, i> ¯0 + xi ¯ = … = (¯+¯, ¯0¯, ¯ xi ¯) = … = (2, 1, <1, i>) ¯0 + xi = xi ¯ = (¯=¯, ¯0 + xi ¯, ¯xi¯ ) = …= (3, (2,1, <1, i>), <1, i>)

25 il ruolo di se stesse come formule aritmetiche e
Il teorema di Gödel Con ciò le formule aritmetiche vengono a poter giocare un doppio ruolo nel contesto di una teoria aritmetica in cui la funzione di gödelizzazione è definita, il ruolo di se stesse come formule aritmetiche e il ruolo di codici di formule aritmetiche, in analogia con attori di teatro che fuori dal palcoscenico sono le persone che sono e sul palcoscenico recitano una parte in genere diversa da ciò che essi sono. Ovvero si assume che n codifichi un certo enunciato, che quando viene decodificato risulat essere un enunciato che parla proprio di n nel linguaggio dell’arimetica LA

26 Ad un attore può però anche capitare di dover recitare se stesso.
Il teorema di Gödel Ad un attore può però anche capitare di dover recitare se stesso. Analogamente una formula aritmetica può venire a recitare il ruolo di codice aritmetico di se stessa, ovvero può codificare se stessa come formula aritmetica. Ciò è anzi assicurato dal lemma di diagonalizzazione seguente: Per ogni LA formula P(x) con esattamente la variabile x libera esiste una formula di LA n tale che n = P(¯ n ¯ ) ovvero la formula ottenuta da P(x) sostituendo in essa la variabile x con ¯n ¯ parla di se stessa, è codice di se stessa Ovvero si assume che n codifichi un certo enunciato, che quando viene decodificato risulat essere un enunciato che parla proprio di n nel linguaggio dell’arimetica LA

27 Data una formula a di LA, PrA(¯ a ¯ )
Il teorema di Gödel Anche il predicato “essere derivabile in A” è codificabile nel linguaggio dell’aritmetica. Data una formula a di LA, PrA(¯ a ¯ ) codifica l’esistenza di una prova per a in A (afferma l’esistenza di una relazione tra due formule aritmetiche di cui l’una viene ad essere il gödeliano di una derivazione in A e l’altra il gödeliano di a) Ovvero si assume che n codifichi un certo enunciato, che quando viene decodificato risulat essere un enunciato che parla proprio di n nel linguaggio dell’arimetica LA

28 Sia PrA(x) la formula “x non è derivabile in A”.
Il teorema di Gödel Sia PrA(x) la formula “x non è derivabile in A”. Si applichi ora a  PrA(x) il lemma di diagonalizzazione. Si otterrà come risultato un g tale che g = PrA(¯ g ¯) Indichiamo ora con  la formula g ovvero PrA(¯ g ¯) È  derivabile in A o no? Ovvero si assume che n codifichi un certo enunciato, che quando viene decodificato risulat essere un enunciato che parla proprio di n nel linguaggio dell’arimetica LA

29 Il teorema di Gödel 1) A ├  ipotesi
2) A ├ PrA(¯ g ¯) prima condizione di derivabilità A ├   PrA(¯ g ¯) lemma di diagonalizzazione A ├   PrA(¯ g ¯) eliminazione  A ├ PrA(¯ g ¯)    contrapposizione A ├   mp A ├      Se A ├  allora A ├     cioè Cons (A) Ovvero si assume che n codifichi un certo enunciato, che quando viene decodificato risulat essere un enunciato che parla proprio di n nel linguaggio dell’arimetica LA

30 A ⊬  A ⊬   A è sintatticamente incompleta! Cons(A)  PrA(¯ g ¯)
Il teorema di Gödel Se Cons (A),  non è derivabile in A, ovvero Cons(A)  PrA(¯ g ¯) Anche   non è derivabile in A (sotto un’assunzione più forte della consistenza di A) A ⊬  A ⊬   A è sintatticamente incompleta! Ovvero si assume che n codifichi un certo enunciato, che quando viene decodificato risulat essere un enunciato che parla proprio di n nel linguaggio dell’arimetica LA

31 Il teorema di Gödel (corollario)
Cosa accadrebbe se A ├ Cons (A)? A ├ Cons (A) A ├ Cons (A)  PrA(¯ g ¯) A ├ PrA(¯ g ¯) A ├  Quindi: A ⊬ Cons (A) Ovvero si assume che n codifichi un certo enunciato, che quando viene decodificato risulat essere un enunciato che parla proprio di n nel linguaggio dell’arimetica LA

32 A è semanticamente incompleta!
Il teorema di Gödel PrA(¯ g ¯) dice della formula g che non è derivabile in A La formula g è PrA(¯ g ¯) PrA(¯ g ¯) non è derivabile in A, quindi PrA(¯ g ¯) è vera! A è semanticamente incompleta! Argomenti dimostrati per A ma validi per qualsiasi T che includa come sottoteoria l’aritmetica (ciò rende possibile definire una funzione di goedelizzazione …”

33 Implicazioni logico-filosofiche
Interpretazione “inflazionista” Esiste una formula aritmetica vera ma non derivabile in A attraverso gli strumenti del calcolo logico La verità aritmetica sporge sulla derivabilità logica in A Esistono accessi di tipo non derivativo alla verità aritmetica…

34 Implicazioni logico-filosofiche
Interpretazione “deflazionista” La formula PrA(¯ g ¯) gioca un doppio ruolo: è una formula dell’aritmetica (PrA(¯ g ¯) ) parla di una formula dell’aritmetica, è un “messaggio sintattico in codice” (PrA(¯ g ¯) ) (Si pensi all’espressione S.O.S. È, come tale, un’espressione del nostro linguaggio corrente formulato in italiano, ma è anche il codice di un’espressione più lunga formulata in inglese “save our souls”)

35 Implicazioni logico-filosofiche
PrA(¯ g ¯), presa nel suo ruolo di formula aritmetica, si configura come una formula aritmetica non decidibile in A, che non riusciamo a dimostrare né a confutare. Con ciò essa si configura come un “esempio di proposizioni (dello stesso tipo che quelle di Goldbach e di Fermat) che sono […] non provabili nel sistema formale della matematica classica” Ma gli inflazionisti non si limitano a considerare PrA(¯ g ¯) una formula aritmetica né derivabile né refutabile, dicono che è una verità aritmetica non dimostrabile né refutabile

36 Implicazioni logico-filosofiche
è vera PrA(¯ g ¯) ? PrA(¯ g ¯) è la formula aritmetica g di cui PrA(¯ g ¯) dice che non è derivabile in A. È PrA(¯ g ¯) derivabile in A? No Allora PrA(¯ g ¯) è vera … …ma il codice PrA(¯ g ¯) parla di se stesso perché la formula aritmetica g è PrA(¯ g ¯) che è notazionalmente identico a PrA(¯ g ¯) ; PrA(¯ g ¯) è ad un tempo codice e codificato, è ad un tempo vero e non dimostrabile, è una verità indimostrabile!

37 Implicazioni logico-filosofiche
Davvero si possono identificare PrA(¯ g ¯) e PrA(¯ g ¯) ? PrA(¯ g ¯) come codice non è PrA(¯ g ¯) come formula aritmetica PrA(¯ g ¯) non parla di sé, parla di una formula aritmetica, è riconosciuto da noi come vero ma non propriamente come non derivabile … PrA(¯ g ¯) è non derivabile ma non vero, per essere vero dovrebbe essere inteso come codice L’incompletezza semantica scaturisce per illusione! Con ciò, contrariamente a ciò che si dice, la formula di Goedel non è del tutto auto-reflessiva. Parla di sé ma non come codice bensì come formula aritmetica.

38 Implicazioni logico-filosofiche
Come si caratterizza la formula di cui parla PrA(¯ g ¯) ?  PrA(¯S(S(0)) + S(0) = S(S(S(S(0))))¯ ) parla della formula S(S(0)) + S(0) = S(S(S(S(0)))) intepretabile su 2+1=4 PrA(¯ g ¯) parla di PrA(¯ g ¯) dato che g = PrA(¯ g ¯) È PrA(¯ g ¯) una proposizione aritmetica come S(S(0))+ S(0) = S(S(S(S(0))))”? Sì e no.

39 Implicazioni logico-filosofiche
È PrA(¯ g ¯) una proposizione aritmetica come “S(S(0)+ S(0) = S(S(S(0)))”? Si e no. È una formula espressa nel linguaggio dell’aritmetica, esprime una relazione tra gödeliani e i gödeliani sono formule di LA interpretabili su numeri naturali A differenza di “S(S(0)+ S(0) = S(S(S(0)))”, PrA(¯ g ¯) non è “semanticamente” esaurita da un’intepretazione sui numeri naturali ché i numeri naturali su cui è interpretata sono codici di oggetti sintattici, PrA(¯ g ¯) è una proposizione naturalmente sintattica e non naturalmente aritmetica. PrA(¯ g ¯) è una formula aritmetica solo per illusione, l’incompletezza sintattica dell’aritmetica è solo un’illusione!

40 Implicazioni logico-filosofiche
In più: PrA(¯ g ¯) dice  PrA (¯ PrA(¯ g ¯) ¯) PrA(g) quando la interpreto, la interpreto come formula non aritmetica bensì sintattica parla della formula codificata da ¯ g ¯… per cui ho  PrA (¯  PrA(¯ PrA(¯ g ¯) ¯) ¯) … … PrA(¯ g ¯) è una formula metaritmetica solo per illusione!

41 Implicazioni logico-filosofiche
non si può confondere il codice col codificato, PrA(¯ g ¯) con PrA(¯ g ¯) : l’incompletezza semantica scaturisce per illusione PrA(¯ g ¯) non si può trattare come genuina formula aritmetica: l’incompletezza sintattica scaturisce per illusione PrA(¯ g ¯) non si può trattare come una formula, è una formula solo per illusione! Il teorema di Gödel è un teorema solo per trucco

42 Implicazioni logico-filosofiche L. Wittgenstein, Grammatica filosofica
La matematica consiste tutta di calcoli Ho detto “calcolo” non è un concetto matematico. Questo vuol dire che la parola “calcolo” non è una pedina della matematica. Non c’è bisogno che compaia in matematica In matematica non si può parlare di sistemi in generale ma solo entro sistemi. Questo sono proprio ciò di cui non si può parlare In matematica tutto è algoritmo, niente è significato; anche là dove par così è perché ci sembra di stare parlando delle cose matematiche con parole. Anzi allora costruiamo un algoritmo proprio con queste parole. La proposizione dice che questo numero non può essere ottenuto da questi altri numeri in questo modo. Ma sei sicuro di averla tradotta bene […]? Certo sembra di sì. – Ma non è possibile che ti sia sbagliato? Wittgenstein mette in dubbio la validità del programma fondazionale

43 Implicazioni logico-filosofiche
Interpretazione “inflazionista” Esiste una formula aritmetica vera ma non derivabile in A attraverso gli strumenti del calcolo logico La verità aritmetica sporge sulla derivabilità logica in A Esistono accessi di tipo non derivativo alla verità (meta)aritmetica… …allora… …mente umana è diversa dalla macchina

44 L’interpretazione “teologica” di Gödel ripresa da Lucas e Penrose
Così è inevitabile la seguente disgiunzione: o la matematica è incompleta nel senso che i suoi assiomi evidenti non possono mai essere compresi in una regola finita, cioè la mente umana (persino nell’ambito della matematica) sorpassa infinitamente la potenza di qualsiasi macchina finita, oppure esistono problemi […] del tipo specificato assolutamente indecidibili […] Gödel 1951 Gödel K. “Some basic theorems on the foundation of mathematics and their basic implications” in CW III, Lucas J.R. (1961), “Minds machines and Gödel”, Philosophy XXXVI, Lucas J.R. (1968), “Satan Stultified: a rejoinder to paul Benacerraf”, The Monist LII, Lucas J.R. (1970), The Freedom of the Will, Clarendon Press, Oxford Penrose R. (1989), The emperor’s new Mind, Oxford University Press, Oxford Penrose R. (1994), Shadows of the Mind, Oxford University Press

45 L’intepretazione di Gödel
Ha comunque significato “anti-materialistico” rispetto alla natura della mente («l’attività della mente non può essere ridotta all’attività del cervello, il quale ha tutte le sembianze di una macchina finita con un numero finito di parti, vale a dire i neuroni e loro connessioni») Rispetto alla matematica, che non sarebbe solo una creazione nostra («infatti il creatore conosce necessariamente tutte le proprietà delle sue creature, perché queste non possono averne altre da quelle ricevute. Così questa alternativa, secondo la quale esistono proposizioni matematiche assolutamente indecidibili sembra implicare che gli oggetti e i fatti matematici […] esistono oggettivamente e indipendentemente dai nostri atti e decisioni mentali, vale a dire, sembra implicare, qualche forma di Platonismo o realismo nei confronti degli oggetti matematici»)

46 L’interpretazione di Gödel
In che senso la mente sorpassa la potenza di qualsiasi macchina? Che la mente sia assimilabile ad una macchina significa dire che: esiste un sistema formale T che rappresenta tale macchina conoscere P da parte della mente significa conoscere che P è derivabile in T La mente conosce formule come PrT (¯ g ¯) e sa che essa non è derivabile in T, e quindi vera, se T è consistente La mente sorpassa la macchina…

47 L’intepretazione di Gödel
La mente sorpassa la macchina… … se conosce la consistenza di T La mente conosce: Cons(T)  PrT(¯ g ¯) , Conosce PrT(¯ g ¯) , e la sua verità, se conosce Cons(T)

48 L’interpretazione di Gödel
Conosce la mente umana Cons (A)? Esistono dei mezzi formali per dimostrare Cons (A) collocabili ad un livello formale più complesso di A (a livello di qualche teoria più potente T che include A come sottoteoria) ma comunque accessibili anche alla macchina! Quindi, riguardo ad A, la mente umana non conosce di più della macchina! T (e la macchina) può dimostrare la consistenza di A non quella di T. In generale, la macchina non può sapere nulla della sua consistenza. Sapere o credere per la macchina significa derivare e derivare la consistenza è precluso dal secondo teorema di Gödel… … mentre la mente sa di essere consistente Davvero la mente sa di essere consistente? Può darsi che la mente non sappia di più ma che sappia diversamente? la macchina dimostra la consistenza di A, la mente intuisce la consistenza di A…

49 Intuizione matematica
Che cosa significa intuire la consistenza di A? Intuire il modello di A, intuire un’infinità attuale Quale teorie dell’intuizione matematica rendono ragione dell’intuizione del modello di A?

50 Che cosa significa intuire in matematica?
intuizione platonista vs. intuizione quasi-costruttiva credenza nella consistenza

51 Interpretazione platonistica
Con ciò [Platonismo] intendo il punto di vista che la matematica descrive un realtà non sensibile che esiste indipendentemente sia dagli atti che dalle disposizioni della mente umana e che è percepita, e probabilmente percepita in maniera assai incompleta, dalla mente umana. [Goedel 1951, p. 323] Nonostante la loro distanza dall’esperienza sensoriale, abbiamo in qualche modo una percezione degli oggetti della teoria degli insiemi, come appare dal fatto che gli assiomi si impongono come veri. Non vedo motivi per avere meno fiducia in questo tipo di percezione, cioè nell’intuizione matematica, che nelle percezioni sensoriali che ci inducono a costruire le teorie fisiche […] si deve fare continuamente appello all’intuizione in matematica […] anche per risolvere problemi della teoria dei numeri finitista (del tipo della congettura di Goldbach) […] [Goedel 1947, pp.133-6] Esistenza del mondo platonico degli enti matematici Esistenza dell’intuizione come l’esperienza del loro farsi noto a noi (il mondo matematico c’è e, quindi, noi lo intuiamo e il fatto che la nostra intuizione non sia precisa nulla toglie all’esistenza del suo oggetto)

52 Interpretazione platonistica
ma… il Platonismo è filosoficamente problematico Quale evidenza dell’ammissione di un regno di enti matematici mind-independent? Non sono possibili spiegazioni della matematica (o dell’assunzione della sua consistenza) più economiche?

53 Interpretazione quasi costruttiva
Gerarchia cumulativa di tutti gli insiemi ovvero l’universo matematico: intuitivo perché correlato di atti mentali che possiamo intendere come possibilità di una mente più che umana

54 L’universo insiemistico

55 Interpretazione costruttivista (infinitaria)
[…] La stessa interpretazione della teoria iterativa degli insiemi richiederebbe che gli stadi fossero pensati come una sorta di “super-tempo” di una struttura più ricca di ogni struttura che può essere rappresentata nel tempo secondo ogni resonconto intellegibile di costruzione nel tempo. È difficile vedere quale nozione di mente idealizzata potrebbe fare al caso qui; essa differirebbe non solo da ogni mente finita ma anche dalla mente divina come descritta dalla teologia razionale, ché quest’ultima o è pensata come nel tempo […] o, altrimenti, è completamente libera da successione. [Parsons 1975, in BP 507]

56 Alternativa?!? V. F. R. Jones, Fields Medal
We must at some point say that we believe in the soundness of our mathematics in a way that is not at all dissimilar to religious belief V. F. R. Jones, Fields Medal

57 Credenza nella consistenza
Se di fede si tratta, si tratta di fede ragionevole… Teoria degli insiemi: successive estensioni di sistemi assiomatici ove i più “forti” implicano la consistenza dei più “deboli” Cons (A)  Cons (ZFC)  Cons (ZFC + CI)  … la consistenza dei più forti resta non dimostrata “appoggiamo il piano terra di un edificio al primo piano, questo ancora al secondo piano, ecc.”, Skolem 1922 ma la assunzione della stessa è fondata, tra l’altro sul successo delle teorie così estese… Quantità: nei molti teoremi che un sistema assiomatico consente di dimostrare una contraddizione, se fosse implicata dagli assiomi, emergerebbe presto Qualità: può darsi che per le loro conseguenze rilevanti in più aree diverse della matematica (diverse a quella a cui gli assiomi appartengono, per così dire), per la loro capacità di farci vedere in una maniera che ci appare migliore che senza di essi e le loro implicazioni, divengano indispensabili a fare delle nostre conoscenze matematiche un complesso coeso e ben articolato e allora li consideriamo consistenti benchè ci manchi una prova per farlo…

58 Credenza nella consistenza
E se il corpus della matematica “fondato” sulla teoria degli insiemi rivelasse delle contraddizioni – ciò che non siamo nelle condizioni di escludere? Non è forse più sensato interpretare i teoremi di Godel come tali da mostrare che il corpus delle matematiche è contraddittorio – e, ciò nonstante, non da buttare? Quantità: nei molti teoremi che un sistema assiomatico consente di dimostrare una contraddizione, se fosse implicata dagli assiomi, emergerebbe presto Qualità: può darsi che per le loro conseguenze rilevanti in più aree diverse della matematica (diverse a quella a cui gli assiomi appartengono, per così dire), per la loro capacità di farci vedere in una maniera che ci appare migliore che senza di essi e le loro implicazioni, divengano indispensabili a fare delle nostre conoscenze matematiche un complesso coeso e ben articolato e allora li consideriamo consistenti benchè ci manchi una prova per farlo…

59 Credenza nella consistenza
Matematica: unica e include A, ZFC, ZFC + IC e i rispettivi linguaggi ecc. Provare = provare in una qualsiasi teoria matematica Verità = provabilità in una qualsiasi teoria matematica esiste una prova matematica di PrA (¯ g ¯), PrA (¯ g ¯) è vero non esiste una prova matematica di PrA(¯ g ¯), Cioè la matematica è contraddittorio. Che male c’è? Quantità: nei molti teoremi che un sistema assiomatico consente di dimostrare una contraddizione, se fosse implicata dagli assiomi, emergerebbe presto Qualità: può darsi che per le loro conseguenze rilevanti in più aree diverse della matematica (diverse a quella a cui gli assiomi appartengono, per così dire), per la loro capacità di farci vedere in una maniera che ci appare migliore che senza di essi e le loro implicazioni, divengano indispensabili a fare delle nostre conoscenze matematiche un complesso coeso e ben articolato e allora li consideriamo consistenti benchè ci manchi una prova per farlo…

60 Credenza nella consistenza
11. Supponiamo che io provi che P non può essere provata (nel sistema di Russell): con questa prova ho provato P. Ora, se questa proposizione appartenesse al sistema di Russell – avrei contemporaneamente provato l’appartenenza e la non appartenenza di questa proposizione al sistema di Russell. – Ecco cosa capita a costruire proposizioni di questo genere – Ma qui c’è una contraddizione. Ebbene sì, qui c’è una contraddizione. Nuoce a qualcuno qui? (Wittgenstein, Considerazioni sui fondamenti della matematica) Ma da p   p qualsiasi asserto è derivabile Nel sistema di Frege si può arrivare a p   p. Se da questo puoi trarre le conclusioni che vuoi allora per quanto ne so questa è l’unica difficoltà a cui si può andare incontro. E io direi: “Ebbene evita di trarre qualsisasi conclusione da una contraddizione” (citato in F. Berto, 2008, p. 245) Esistono sistemi formali per l’aritmetica incoerenti (formalizzati in una logica diversa da quella classica) ma non triviali (tali da dimostrare qualsiasi cosa), sintatticamente completi e decidibili. Quantità: nei molti teoremi che un sistema assiomatico consente di dimostrare una contraddizione, se fosse implicata dagli assiomi, emergerebbe presto Qualità: può darsi che per le loro conseguenze rilevanti in più aree diverse della matematica (diverse a quella a cui gli assiomi appartengono, per così dire), per la loro capacità di farci vedere in una maniera che ci appare migliore che senza di essi e le loro implicazioni, divengano indispensabili a fare delle nostre conoscenze matematiche un complesso coeso e ben articolato e allora li consideriamo consistenti benchè ci manchi una prova per farlo…

61 Implicazioni logiche…
Benchè PrA (¯ g ¯) abbia un significato aritmetico solo derivato, è già qualcosa di notevole relativamente all’aritmetica che LA sia capace di “parlare di se stesso” e produrre così enunciati aritmetici in senso “derivato” che non sono dimostrabili né confutabili in A e, in più, passibili di interpretazioni (benchè metaritmetiche e non aritmetiche) che la rendono vera. Cosa significa ciò alla luce della completezza della logica del primo ordine usata in A? A ha modelli diversi (non isomorfi) Non siamo in grado di dominare con mezzi puramente formali il modello dell’aritmetica

62 Riferimenti bibliografici
Benacerraf P., Putnam H. (a cura di), [Philosophy of Mathematics: Selected Readings [second Edition], Cambridge University Press, Cambridge, 1983 (citato BP) Berto F., Tutti pazzi per Gödel. La guida completa al teorema di incompletezza, Laterza, Bari, 2008. Brouwer L.E.J., “Intuitionisme en Formalisme”, Noordhoff, Groeningen, tradotto in inglese da A. Dresden in Bulletin of the American Mathematical Society 20 (1912), ristampato in Heyting A. (a cura di) 1975, pp ; Brouwer L.E.J. [1929], “Mathematik, Wissenschaft und Sprache”, Monatshefte für Mathematik 36, ristampato in Heyting A. (a cura di), 1975, pp Casti, J.L., DePauli W., Gödel. A Life of Logic, Perseus Publishing, Cambridge MA, 2000 Galvan S., Introduzione ai teoremi di incompletezza, Franco Angeli, Milano, 1992. Galvan S., Gödel e il modello computazionale della mente, Rivista di Filosofia Neoscolastica XCVI 2004, Gödel K., “What is Cantor’s Continuum Problem” (1947), in Collected Works II,176-86 Gödel K., “Some basic theorems on the foundation of mathematics and their basic implications” (1951), in Collected Works III, Heyting A. (a cura di), L.E.J. Brouwer. Collected Works. Vol. 1: Philosophy and Foundation of Mathematics, North-Holland, Amsterdam, 1975 Hintikka, J., On Gödel, Wadsworth Philosophers Series, 2000 Lolli, G., Da Euclide a Gödel, Il Mulino, Bologna, 2004 (contiene un’utile nota bibliografica di riferimento)

63 Riferimenti bibliografici
Lucas J.R., “Minds, Machines and Gödel”, Philosophy XXXVI 1961, Lucas J.R., “Satan Stultified: a Rejoinder to Paul Benacerraf”, The Monist LII (1968), Lucas J.R., The Freedom of the Will, Clarendon Press, Oxford, 1970 Hintikka, J., On Gödel, Wadsworth Philosophers Series, 2000 Parsons C., “What is the iterative conception of set?”, in BP 1983, pp Penrose R., The emperor’s new Mind, Oxford University Press, Oxford, 1989 Penrose R., Shadows of the Mind, Oxford University Press, 1994 Skolem T., “Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begruendung der Mengenlehre”, trad. inglese in J. Van Heijenoort (a cura di), From Frege to Goedel, Harvard University Press, Cambridge Mass., 1967, N.B. I testi contrassegnati da  sono in italiano o disponibili in traduzione italiana


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