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Teoremi (di incompletezza) di Gödel Presupposti storici Presupposti logici implicazioni logiche e logico-filosofiche … rilevanti in filosofia della mente.

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1 Teoremi (di incompletezza) di Gödel Presupposti storici Presupposti logici implicazioni logiche e logico-filosofiche … rilevanti in filosofia della mente e dellI.A. … rilevanti in filosofia della matematica

2 Presupposti storici Hilbert e il programma hilbertiano Hilbert vs intuizionismo Matematica intuizionista: costruire mentale trasparente a se stesso Conseguenza: revisionismo a oppure a a a ( ) a : disporre di una costruzione mentale che produca a (o che mostra a assurdo) a: disporre di una costruzione mentale che confuta a (che mostra a assurdo)

3 Presupposti storici Hilbert e il programma hilbertiano Hilbert: 1922, Nuova fondazione della matematica. Prima comunicazione Salvare la matematica classica dagli attacchi che la vorrebbero non legittima porre la consistenza come condizione necessaria e sufficiente della sua legittimità Programma hilbertiano: formalizzazione delle teorie matematiche note e dimostrazione della loro consistenza (condizionata dalla dimostrazione della consistenza dellaritmetica)

4 Presupposti storici Hilbert e… Consistenza dellaritmetica?!? Aritmetica finitaria Aritmetica finitaria: dai contenuti immediatamente evidenti e dalle operazioni garantite nella loro affidabilità (inhaltlich, anschaulich cioè contenutistica, intuitiva) |, ||, |||, … Aritmetica non finitaria Aritmetica non finitaria: implica un riferimento ad infinità attuali Sia p un numero primo sufficientemente grande. esiste un numero primo tra p+1 e p!+1esiste un numero primo tra p+1 e p!+1 è finitariamente significante Ma per n un numero naturale qualsiasi esiste un numero primo tra n e n!+1esiste un numero primo tra n e n!+1 non è finitariamente significante

5 Presupposti storici Hilbert e… Dimostrare la consistenza: dimostrare che 0=1 non è derivabile logicamente dagli assiomi aritmetici Assiomi: configurazioni finite di segni Regole logiche: manipolazioni che constano di un numero finito di passaggi che si applicano alla forma dei segni A (A B) si trasforma in B Dimostrare la consistenza: dimostrare che le manipolazioni finite di segni finiti che posso attuare non producono quale esito la configurazione 0 =1 Ciò è simile alle operazioni dellaritmetica finitaria! La dimostrazione della consistenza della aritmetica è un problema risovibile con le procedure dimostrative dellaritmetica finitaria!

6 Presupposti storici Hilbert e… 1931: Gödel dimostra (quale corollario) che la consistenza dellaritmetica non è dimostrabile con gli strumenti deduttivi della aritmetica finitaria

7 Implicazioni del programma hilbertiano: la natura della mente Lidea fondamentale della mia teoria della dimostrazione non è nientaltro che descrivere lattività del nostro intelletto, di creare un protocollo delle regole secondo le quali la nostra attività di pensiero di fatto procede. Pensare, si dà il caso, è analogo a parlare e scrivere: formiamo enunciati e li disponiamo uno dopo laltro (Hilbert 1927) regole di pensiero = regole logiche Regole logiche: procedure che si attivano in virtù della forma dei segni a cui si applicano (A, A B si trasforma in B) Pensiero: trasformazioni di simboli che si applicano alla loro forma Se è possibile costruire un meccanismo materiale capace di sfruttare aspetti concreti dei segni, è possibile costruire una macchina pensante! Solo che…

8 consistenza Implicazioni del programma hilbertiano: consistenza La consistenza è dimostrabile e se non è dimostrabile, è conoscibile? Se è conoscibile come lo è? Tale conoscenza della consistenza è una modalità di conoscenza specificamente matematica? E se la consistenza non fosse conoscibile? E se le teorie matematiche fossero inconsistenti?

9 Presupposti logici Logica dei predicati del primo ordine: mostra il funzionamento del linguaggio nella sua componente assertiva,il linguaggio corrente in quanto linguaggio in cui si dice che le cose stanno così e così, formalizzandolo e individuando regole

10 Presupposti logici Formalizzare: controparti simboliche isolare le unità assertive minime del linguaggio ed esprimere le componenti di tali unità attraverso controparti simboliche assertivaper rendere totalmente esplicita la forma del linguaggio nella sua componente assertiva regoledi derivazioneindividuare regole di derivazione che consentano di stabilire nessi o relazioni formali tra le proposizioni del linguaggio

11 Presupposti logici Proposizioni complesse risultanti da proposizioni semplici: Parigi è la capitale della Francia e la Francia si trova in Europa Struttura predicativa e quantificazionale delle proposizioni: Parigi è la capitale della Francia: C(P, F) Tutti gli uomini sono mortali: x (U(x) M(x)) Qualche uomo è sapiente: x (U(x) S(x)) Formalizzazione simbolica delle componenti predicative e quantificazionale degli enunciati Variabili per individui: x, y, z Costanti per predicati: … P i 1 …, … P i 2 …, … P i 3 … Quantificatori:, Connettivi: (non), (e), (o), (se… allora) Perché mancano costanti per individui e variabili per predicati?

12 Presupposti logici Linguaggio Linguaggio della logica dei predicati del primo ordine L consta di: -un alfabeto (che include variabili individuali, costanti predicative e segni logici) -regole di formazione per formule (indicazioni su come costruire formule ben formate)…. … che lo rendono al limite pensabile come autonomo rispetto alle sue controparti non formali, come linguaggio che si autocrea combinando segni nei modi indicati dalle regole di formazione. regole di derivazione In più si pensi alle regole di derivazione come regole che consentono di stabilire nessi o relazioni formali tra proposizioni del linguaggio La sintassi logica La sintassi logica studia L come linguaggio che si autocrea indipendentemente dal suo significare

13 Presupposti logici Ma resta che… semanticalogica … le configurazioni di segni dellalfabeto (formule) possono essere intese naturalmente come tali da avere un s i g n i f i c a t o (quello delle loro controparti non-formali) e come tali sono oggetto di studio della semantica logica.

14 Presupposti logici Che una configurazione di segni abbia un significato viene precisato dicendo che tale formula interpretata può essere interpretata su individui di un dominio oggettuale, ovvero che le sue variabili individuali possono essere viste come tali da stare per individui del dominio, le sue costanti predicative per proprietà di individui o coppie, triple, quadruple ordinate di individui, ecc., che stanno tra loro in determinate relazioniInterpretazione:

15 Presupposti logici Esempio: x y P i 2 (y, x) Interpretazione sul dominio dei numeri naturali ove x, y: stanno per numeri naturali P i 2 : sta per la relazione essere maggiore di definita su numeri naturali vera Linterpretazione rende vera la formula! Ma se P i 2 fosse intepretata sulla relazione essere minore di tra numeri naturali …

16 Presupposti logici Modello Modello (di un insieme di L-formule ): Interpretazione nella quale tutte le formule di sono vere conseguenza logica: Essere conseguenza logica: A è conseguenza logica di A se e solo se ogni modello di è modello di A

17 Presupposti logici Domanda: dato come ne derivo le conseguenze logiche? regolenessi conseguenza logica Le regole di derivazione possono essere intese come regole che consentano di stabilire nessi di conseguenza logica tra le L-formule? produrre meccanicamente Riescono le regole di derivazione a catturare ovvero produrre meccanicamente tutte le conseguenze logiche di un insieme di L-formule?

18 Presupposti logici Se A significa che A è derivabile da applicando alle L-formule di le regole D, ci si sta domandando se sia vero: se A allora A (il calcolo è semanticamente completo) Ci si può anche domandare: se A allora A (il calcolo è corretto)

19 Presupposti logici 5-7 Ottobre 1930, Koenigsberg: calcolo del primo ordine semanticamente completo Dato un insieme di L-formule è possibile derivare da ogni conseguenza logica di e, in particolare, ogni tesi logica ovvero il calcolo del primo ordine è semanticamente completoovvero un computer, opportunamente programmato, è in grado di derivare ogni conseguenza logica di un insieme di L-formule e ogni tesi logica

20 Il teorema di Gödel Il calcolo logico del primo ordine è semanticamente completo ma… Assumendo la consistenza formale della matematica classica uno può dare esempi di proposizioni (dello stesso tipo che quelle di Goldbach e di Fermat) che sono vere ma non provabili nel sistema formale della matematica classica matematica classicasistema formale incompleta ovvero la matematica classica come sistema formale è incompleta

21 Il teorema di Gödel …ogni teoria matematica formale che includa laritmetica del primo ordine Aritmetica del primo ordine Aritmetica del primo ordine (A) teoria assiomatica espressa in un linguaggio formale L A che include, oltre a L e alle regole del calcolo logico, specifiche costanti non logiche, individuali e predicative (0, S, +, ) e i seguenti assiomi: x (S(x) 0) x y (S(x) = S(y) x = y) (P(x) x (P(x) P(S(x))) x P(x) x (x + 0 = x) x y (x + S(y) = S(x + y)) x (x 0 = 0) x y (x S(y) = x y + x)

22 Il teorema di Gödel La dimostrazione dei teoremi di Gödel muove da due assunzioni: che laritmetica del primo ordine sia consistente L Ache L A possa parlare, oltre che di numeri naturali, di se stesso come linguaggio e delle proprietà sintattiche sue e di A (codificare predicati come: essere una variabile/costante di L A essere una formula di L A, essere una formula atomica/molecolare di L A,essere una prova in A, essere provabile in A, …). Ovvero L A è capace di fungere da metalinguaggio di se stesso.

23 Il teorema di Gödel metalinguaggio di se stesso L A è capace di fungere come metalinguaggio di se stesso grazie alla definizione della funzionegödelizzazione funzione di gödelizzazione (¯ ¯) che, sulla scorta di una preliminare assegnazione di codici numerici ai simboli primitivi del linguaggio, attribuisce, in funzione di questi ultimi, codici numerici alle formule del linguaggio e consente la definibilità in L A dei predicati sintattici sopra indicati

24 Il teorema di Gödel Esempi di gödelizzazione (di 0+x i =x i ) ¯0¯ = (S(0)) = 1 ¯+¯ = (S(S(0)) = 2 ¯=¯ = … = 3 ¯x i ¯ = … = ¯0 + x i ¯ = … = (¯+¯, ¯0¯, ¯ x i ¯) = … = (2, 1, ) ¯0 + x i = x i ¯ = (¯=¯, ¯0 + x i ¯, ¯x i ¯ ) = …= (3, (2,1, ), )

25 Il teorema di Gödel doppio ruolo ö Con ciò le formule aritmetiche vengono a poter giocare un doppio ruolo nel contesto di una teoria aritmetica in cui la funzione di gödelizzazione è definita, il ruolo di se stesse come formule aritmetiche e il ruolo di codici di formule aritmetiche, in analogia con attori di teatro che fuori dal palcoscenico sono le persone che sono e sul palcoscenico recitano una parte in genere diversa da ciò che essi sono.

26 Il teorema di Gödel Ad un attore può però anche capitare di dover recitare se stesso. Analogamente una formula aritmetica può venire a recitare il ruolo di codice aritmetico di se stessa, ovvero può codificare se stessa come formula aritmetica. lemma di diagonalizzazione Ciò è anzi assicurato dal lemma di diagonalizzazione seguente: Per ogni L A formula P(x) con esattamente la variabile x libera esiste una formula di L A n tale che n = P(¯ n ¯ ) ovvero la formula ottenuta da P(x) sostituendo in essa la variabile x con ¯n ¯ parla di se stessa, è codice di se stessa

27 Il teorema di Gödel essere derivabile in A Anche il predicato essere derivabile in A è codificabile nel linguaggio dellaritmetica. a Data una formula a di L A, a Pr A (¯ a ¯ ) a a codifica lesistenza di una prova per a in A (afferma lesistenza di una relazione tra due formule aritmetiche di cui luna viene ad essere il gödeliano di una derivazione in A e laltra il gödeliano di a)

28 Il teorema di Gödel Sia Pr A (x) la formula x non è derivabile in A. Si applichi ora a Pr A (x) il lemma di diagonalizzazione. Si otterrà come risultato un g tale che g = Pr A ( ¯ g ¯ ) Indichiamo ora con la formula g ovvero Pr A ( ¯ g ¯ ) È derivabile in A o no?

29 Il teorema di Gödel 1) A ipotesi 2) A Pr A ( ¯ g ¯ ) prima condizione di derivabilità 3)A Pr A ( ¯ g ¯ ) lemma di diagonalizzazione 4)A Pr A ( ¯ g ¯ ) eliminazione 5)A Pr A ( ¯ g ¯ ) contrapposizione 6)A mp 7)A Se A allora A cioè Cons (A)

30 Il teorema di Gödel Se Cons (A), non è derivabile in A, ovvero Cons(A) Pr A ( ¯ g ¯ ) Anche non è derivabile in A (sotto unassunzione più forte della consistenza di A) A A è sintatticamente incompleta!

31 Il teorema di Gödel (corollario) Cosa accadrebbe se A Cons (A)? A Cons (A) A Cons (A) Pr A ( ¯ g ¯ ) A Pr A ( ¯ g ¯ ) A Quindi: A Cons (A)

32 Il teorema di Gödel Pr A ( ¯ g ¯ ) dice della formula g che non è derivabile in A La formula g è Pr A ( ¯ g ¯ ) Pr A ( ¯ g ¯ ) non è derivabile in A, quindi Pr A ( ¯ g ¯ ) è vera! A è semanticamente incompleta!

33 Implicazioni logico-filosofiche Interpretazione inflazionista Esiste una formula aritmetica vera ma non derivabile in A attraverso gli strumenti del calcolo logico La verità aritmetica sporge sulla derivabilità logica in A Esistono accessi di tipo non derivativo alla verità aritmetica…

34 Implicazioni logico-filosofiche Interpretazione deflazionista La formula Pr A ( ¯ g ¯ ) gioca un doppio ruolo: è una formula dellaritmetica ( Pr A ( ¯ g ¯ ) ) parla di una formula dellaritmetica, è un messaggio sintattico in codice ( Pr A ( ¯ g ¯ ) ) (Si pensi allespressione S.O.S. È, come tale, unespressione del nostro linguaggio corrente formulato in italiano, ma è anche il codice di unespressione più lunga formulata in inglese save our souls)

35 Implicazioni logico-filosofiche Pr A ( ¯ g ¯ ), presa nel suo ruolo di formula aritmetica, si configura come una formula aritmetica non decidibile in A, che non riusciamo a dimostrare né a confutare. Con ciò essa si configura come un esempio di proposizioni (dello stesso tipo che quelle di Goldbach e di Fermat) che sono […] non provabili nel sistema formale della matematica classica Ma gli inflazionisti non si limitano a considerare verità aritmetica Pr A ( ¯ g ¯ ) una formula aritmetica né derivabile né refutabile, dicono che è una verità aritmetica non dimostrabile né refutabile

36 Implicazioni logico-filosofiche è vera Pr A ( ¯ g ¯ ) ? Pr A ( ¯ g ¯ ) è la formula aritmetica g di cui Pr A ( ¯ g ¯ ) dice che non è derivabile in A. È Pr A ( ¯ g ¯ ) derivabile in A? No Allora Pr A ( ¯ g ¯ ) è vera … …ma il codice Pr A (¯ g ¯) parla di se stesso perché la formula aritmetica g è Pr A (¯ g ¯) che è notazionalmente identico a Pr A (¯ g ¯) ; Pr A (¯ g ¯) è ad un tempo codice e codificato, è ad un tempo vero e non dimostrabile, è una verità indimostrabile!

37 Implicazioni logico-filosofiche Davvero si possono identificare Pr A ( ¯ g ¯ ) e Pr A ( ¯ g ¯ ) ? Pr A ( ¯ g ¯ ) come codice non è Pr A ( ¯ g ¯ ) come formula aritmetica Pr A ( ¯ g ¯ ) non parla di sé, parla di una formula aritmetica, è riconosciuto da noi come vero ma non propriamente come non derivabile … Pr A ( ¯ g ¯ ) è non derivabile ma non vero, per essere vero dovrebbe essere inteso come codice Lincompletezza semantica scaturisce per illusione!

38 Implicazioni logico-filosofiche Come si caratterizza la formula di cui parla Pr A (¯ g ¯) ? Pr A (¯S(S(0)) + S(0) = S(S(S(S(0))))¯ ) parla della formula S(S(0)) + S(0) = S(S(S(S(0)))) intepretabile su 2+1=4 Pr A (¯ g ¯) parla di Pr A (¯ g ¯) dato che g = Pr A (¯ g ¯) È Pr A (¯ g ¯) una proposizione aritmetica come S(S(0))+ S(0) = S(S(S(S(0))))? Sì e no.

39 Implicazioni logico-filosofiche È Pr A (¯ g ¯) una proposizione aritmetica come S(S(0)+ S(0) = S(S(S(0)))? Si e no. È una formula espressa nel linguaggio dellaritmetica, esprime una relazione tra gödeliani e i gödeliani sono formule di L A interpretabili su numeri naturali A differenza di S(S(0)+ S(0) = S(S(S(0))), Pr A (¯ g ¯) non è semanticamente esaurita da unintepretazione sui numeri naturali ché i numeri naturali su cui è interpretata sono codici di oggetti sintattici, Pr A (¯ g ¯) è una proposizione naturalmente sintattica e non naturalmente aritmetica. Pr A (¯ g ¯) è una formula aritmetica solo per illusione, lincompletezza sintattica dellaritmetica è solo unillusione!

40 Implicazioni logico-filosofiche In più: Pr A (¯ g ¯) dice Pr A ( ¯ Pr A (¯ g ¯) ¯ ) g Pr A (g) quando la interpreto, la interpreto come formula non aritmetica bensì sintattica parla della formula codificata da ¯ g ¯ … per cui ho Pr A (¯ Pr A (¯ Pr A (¯ g ¯) ¯) ¯) … … Pr A (¯ g ¯) è una formula metaritmetica solo per illusione!

41 Implicazioni logico-filosofiche 1)non si può confondere il codice col codificato, Pr A (¯ g ¯) con Pr A (¯ g ¯) : lincompletezza semantica scaturisce per illusione 2) Pr A (¯ g ¯) non si può trattare come genuina formula aritmetica: lincompletezza sintattica scaturisce per illusione 3) Pr A (¯ g ¯) non si può trattare come una formula, è una formula solo per illusione! Il teorema di Gödel è un teorema solo per trucco

42 Implicazioni logico-filosofiche L. Wittgenstein, Grammatica filosofica La matematica consiste tutta di calcoli Ho detto calcolo non è un concetto matematico. Questo vuol dire che la parola calcolo non è una pedina della matematica. Non cè bisogno che compaia in matematica In matematica non si può parlare di sistemi in generale ma solo entro sistemi. Questo sono proprio ciò di cui non si può parlare In matematica tutto è algoritmo, niente è significato; anche là dove par così è perché ci sembra di stare parlando delle cose matematiche con parole. Anzi allora costruiamo un algoritmo proprio con queste parole. La proposizione dice che questo numero non può essere ottenuto da questi altri numeri in questo modo. Ma sei sicuro di averla tradotta bene […]? Certo sembra di sì. – Ma non è possibile che ti sia sbagliato?

43 Implicazioni logico-filosofiche Interpretazione inflazionista Esiste una formula aritmetica vera ma non derivabile in A attraverso gli strumenti del calcolo logico La verità aritmetica sporge sulla derivabilità logica in A Esistono accessi di tipo non derivativo alla verità (meta)aritmetica… …allora… …mente umana è diversa dalla macchina

44 Linterpretazione teologica di Gödel ripresa da Lucas e Penrose Così è inevitabile la seguente disgiunzione: o la matematica è incompleta nel senso che i suoi assiomi evidenti non possono mai essere compresi in una regola finita, cioè la mente umana (persino nellambito della matematica) sorpassa infinitamente la potenza di qualsiasi macchina finita, oppure esistono problemi […] del tipo specificato assolutamente indecidibili […] Gödel 1951

45 Lintepretazione di Gödel Ha comunque significato anti-materialistico -rispetto alla natura della mente («lattività della mente non può essere ridotta allattività del cervello, il quale ha tutte le sembianze di una macchina finita con un numero finito di parti, vale a dire i neuroni e loro connessioni») -Rispetto alla matematica, che non sarebbe solo una creazione nostra («infatti il creatore conosce necessariamente tutte le proprietà delle sue creature, perché queste non possono averne altre da quelle ricevute. Così questa alternativa, secondo la quale esistono proposizioni matematiche assolutamente indecidibili sembra implicare che gli oggetti e i fatti matematici […] esistono oggettivamente e indipendentemente dai nostri atti e decisioni mentali, vale a dire, sembra implicare, qualche forma di Platonismo o realismo nei confronti degli oggetti matematici»)

46 Linterpretazione di Gödel In che senso la mente sorpassa la potenza di qualsiasi macchina? Che la mente sia assimilabile ad una macchina significa dire che: -esiste un sistema formale T che rappresenta tale macchina -conoscere P da parte della mente significa conoscere che P è derivabile in T -La mente conosce formule come Pr T (¯ g ¯) e sa che essa non è derivabile in T, e quindi vera, se T è consistente -La mente sorpassa la macchina…

47 Lintepretazione di Gödel La mente sorpassa la macchina… … se conosce la consistenza di T La mente conosce: Cons(T) Pr T (¯ g ¯), Conosce Pr T (¯ g ¯), e la sua verità, se conosce Cons(T)

48 Linterpretazione di Gödel Conosce la mente umana Cons (A)? Esistono dei mezzi formali per dimostrare Cons (A) collocabili ad un livello formale più complesso di A (a livello di qualche teoria più potente T che include A come sottoteoria) ma comunque accessibili anche alla macchina! Quindi, riguardo ad A, la mente umana non conosce di più della macchina! T (e la macchina) può dimostrare la consistenza di A non quella di T. In generale, la macchina non può sapere nulla della sua consistenza. Sapere o credere per la macchina significa derivare e derivare la consistenza è precluso dal secondo teorema di Gödel… … mentre la mente sa di essere consistente Davvero la mente sa di essere consistente? Può darsi che la mente non sappia di più ma che sappia diversamente? la macchina dimostra la consistenza di A, la mente intuisce la consistenza di A…

49 Intuizione matematica Che cosa significa intuire la consistenza di A? Intuire il modello di A, intuire uninfinità attuale Quale teorie dellintuizione matematica rendono ragione dellintuizione del modello di A?

50 Che cosa significa intuire in matematica? intuizione platonista vs. intuizione quasi-costruttiva vs. credenza nella consistenza

51 Interpretazione platonistica Con ciò [Platonismo] intendo il punto di vista che la matematica descrive un realtà non sensibile che esiste indipendentemente sia dagli atti che dalle disposizioni della mente umana e che è percepita, e probabilmente percepita in maniera assai incompleta, dalla mente umana. [Goedel 1951, p. 323] Nonostante la loro distanza dallesperienza sensoriale, abbiamo in qualche modo una percezione degli oggetti della teoria degli insiemi, come appare dal fatto che gli assiomi si impongono come veri. Non vedo motivi per avere meno fiducia in questo tipo di percezione, cioè nellintuizione matematica, che nelle percezioni sensoriali che ci inducono a costruire le teorie fisiche […] si deve fare continuamente appello allintuizione in matematica […] anche per risolvere problemi della teoria dei numeri finitista (del tipo della congettura di Goldbach) […] [Goedel 1947, pp.133-6]

52 Interpretazione platonistica ma… il Platonismo è filosoficamente problematico Quale evidenza dellammissione di un regno di enti matematici mind-independent? Non sono possibili spiegazioni della matematica (o dellassunzione della sua consistenza) più economiche?

53 Interpretazione quasi costruttiva Gerarchia cumulativa di tutti gli insiemi ovvero luniverso matematico: intuitivo perché correlato di atti mentali che possiamo intendere come possibilità di una mente più che umana

54 Luniverso insiemistico

55 Interpretazione costruttivista (infinitaria) […] La stessa interpretazione della teoria iterativa degli insiemi richiederebbe che gli stadi fossero pensati come una sorta di super-tempo di una struttura più ricca di ogni struttura che può essere rappresentata nel tempo secondo ogni resonconto intellegibile di costruzione nel tempo. È difficile vedere quale nozione di mente idealizzata potrebbe fare al caso qui; essa differirebbe non solo da ogni mente finita ma anche dalla mente divina come descritta dalla teologia razionale, ché questultima o è pensata come nel tempo […] o, altrimenti, è completamente libera da successione. [Parsons 1975, in BP 507 ]

56 Alternativa?!? We must at some point say that we believe in the soundness of our mathematics in a way that is not at all dissimilar to religious belief V. F. R. Jones, Fields Medal

57 Credenza nella consistenza Se di fede si tratta, si tratta di fede ragionevole… Teoria degli insiemi: successive estensioni di sistemi assiomatici ove -i più forti implicano la consistenza dei più deboli Cons (A) Cons (ZFC) Cons (ZFC + CI) … -la consistenza dei più forti resta non dimostrata appoggiamo il piano terra di un edificio al primo piano, questo ancora al secondo piano, ecc., Skolem 1922 successo ma la assunzione della stessa è fondata, tra laltro sul successo delle teorie così estese…

58 Credenza nella consistenza E se il corpus della matematica fondato sulla teoria degli insiemi rivelasse delle contraddizioni – ciò che non siamo nelle condizioni di escludere? Non è forse più sensato interpretare i teoremi di Godel come tali da mostrare che il corpus delle matematiche è contraddittorio – e, ciò nonstante, non da buttare?

59 Credenza nella consistenza Matematica: unica e include A, ZFC, ZFC + IC e i rispettivi linguaggi ecc. Provare = provare in una qualsiasi teoria matematica Verità = provabilità in una qualsiasi teoria matematica esiste una prova matematica di Pr A (¯ g ¯), Pr A (¯ g ¯) è vero Pr A (¯ g ¯) è vero non esiste una prova matematica di Pr A (¯ g ¯), Cioè la matematica è contraddittorio. Che male cè?

60 Credenza nella consistenza 11. Supponiamo che io provi che P non può essere provata (nel sistema di Russell): con questa prova ho provato P. Ora, se questa proposizione appartenesse al sistema di Russell – avrei contemporaneamente provato lappartenenza e la non appartenenza di questa proposizione al sistema di Russell. – Ecco cosa capita a costruire proposizioni di questo genere – Ma qui cè una contraddizione. Ebbene sì, qui cè una contraddizione. Nuoce a qualcuno qui? (Wittgenstein, Considerazioni sui fondamenti della matematica) Ma da p p qualsiasi asserto è derivabile Nel sistema di Frege si può arrivare a p p. Se da questo puoi trarre le conclusioni che vuoi allora per quanto ne so questa è lunica difficoltà a cui si può andare incontro. E io direi: Ebbene evita di trarre qualsisasi conclusione da una contraddizione (citato in F. Berto, 2008, p. 245) Esistono sistemi formali per laritmetica incoerenti (formalizzati in una logica diversa da quella classica) ma non triviali (tali da dimostrare qualsiasi cosa), sintatticamente completi e decidibili.

61 Implicazioni logiche… Pr A (¯ g ¯)Benchè Pr A (¯ g ¯) abbia un significato aritmetico solo derivato, è già qualcosa di notevole relativamente allaritmetica che L A sia capace di parlare di se stesso e produrre così enunciati aritmetici in senso derivato che non sono dimostrabili né confutabili in A e, in più, passibili di interpretazioni (benchè metaritmetiche e non aritmetiche) che la rendono vera. Cosa significa ciò alla luce della completezza della logica del primo ordine usata in A? A ha modelli diversi (non isomorfi) Non siamo in grado di dominare con mezzi puramente formali il modello dellaritmetica

62 Riferimenti bibliografici Benacerraf P., Putnam H. (a cura di), [Philosophy of Mathematics: Selected Readings [second Edition], Cambridge University Press, Cambridge, 1983 (citato BP) Berto F., Tutti pazzi per Gödel. La guida completa al teorema di incompletezza, Laterza, Bari, Brouwer L.E.J., Intuitionisme en Formalisme, Noordhoff, Groeningen, tradotto in inglese da A. Dresden in Bulletin of the American Mathematical Society 20 (1912), ristampato in Heyting A. (a cura di) 1975, pp ; Brouwer L.E.J. [1929], Mathematik, Wissenschaft und Sprache, Monatshefte für Mathematik 36, ristampato in Heyting A. (a cura di), 1975, pp Casti, J.L., DePauli W., Gödel. A Life of Logic, Perseus Publishing, Cambridge MA, 2000 Galvan S., Introduzione ai teoremi di incompletezza, Franco Angeli, Milano, Galvan S., Gödel e il modello computazionale della mente, Rivista di Filosofia Neoscolastica XCVI 2004, Gödel K., What is Cantors Continuum Problem (1947), in Collected Works II, Gödel K., Some basic theorems on the foundation of mathematics and their basic implications (1951), in Collected Works III, Heyting A. (a cura di), L.E.J. Brouwer. Collected Works. Vol. 1: Philosophy and Foundation of Mathematics, North-Holland, Amsterdam, 1975 Hintikka, J., On Gödel, Wadsworth Philosophers Series, 2000 Lolli, G., Da Euclide a Gödel, Il Mulino, Bologna, 2004 (contiene unutile nota bibliografica di riferimento)

63 Riferimenti bibliografici Lucas J.R., Minds, Machines and Gödel, Philosophy XXXVI 1961, Lucas J.R., Satan Stultified: a Rejoinder to Paul Benacerraf, The Monist LII (1968), Lucas J.R., The Freedom of the Will, Clarendon Press, Oxford, 1970 Hintikka, J., On Gödel, Wadsworth Philosophers Series, 2000 Parsons C., What is the iterative conception of set?, in BP 1983, pp Penrose R., The emperors new Mind, Oxford University Press, Oxford, 1989 Penrose R., Shadows of the Mind, Oxford University Press, 1994 Skolem T., Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begruendung der Mengenlehre, trad. inglese in J. Van Heijenoort (a cura di), From Frege to Goedel, Harvard University Press, Cambridge Mass., 1967, N.B. I testi contrassegnati da sono in italiano o disponibili in traduzione italiana


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