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LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI : Fino ad ora abbiamo visto come determinare lerrore di una grandezza misurata direttamente. Spesso però capita che il valore.

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1 LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI : Fino ad ora abbiamo visto come determinare lerrore di una grandezza misurata direttamente. Spesso però capita che il valore della grandezza che si vuole determinare non è misurabile, ma deve essere ricavato a partire da misure di altre grandezze ad essa correlate Concentrazione di una soluzione: Esempio: Noto lerrore m sulla massa di soluto pesato e lerrore V sul volume di soluzione, come si ricava lerrore sulla concentrazione c ? NON E BANALMENTE:

2 LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI : Fino ad ora abbiamo visto come determinare lerrore di una grandezza misurata direttamente. Spesso però capita che il valore della grandezza che si vuole determinare non è misurabile, ma deve essere ricavato a partire da misure di altre grandezze ad essa correlate La relazione che lega le tre variabili c, m e V, è una relazione di tipo funzionale (la grandezza concentrazione è espressa in funzione delle altre due): c = f(m, V) Concentrazione di una soluzione: Esempio: Noto lerrore m sulla massa di soluto pesato e lerrore V sul volume di soluzione, come si ricava lerrore sulla concentrazione c ? Generalizziamo e consideriamo una generica funzione f di N variabili x 1, x 2, …x N : Noti gli errori xi sulle singole variabili, come si ricava lerrore su y?

3 PARENTESI : LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi:

4 PARENTESI : LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi:

5 PARENTESI : LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi:

6 PARENTESI : LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi:

7 PARENTESI : LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi:

8 PARENTESI : LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi: Nelle funzioni ad una sola variabile del tipo y = f(x) la derivata non può che essere fatta rispetto allunica variabile x. Nel caso in cui si ha a che fare con una funzione a più variabili del tipo y = f(x 1, x 2, x 3,…x N ), la derivata può essere eseguita rispetto ad ognuna delle singole variabili x i considerando le altre variabili come costanti.

9 PARENTESI : LE DERIVATE PARZIALI Considerando una funzione a due variabili y = f(x 1, x 2 ), la derivata parziale di f rispetto ad x 2 si indica come: Esempi:

10 Data una generica funzione a più variabili (tra loro indipendenti) y = f(x 1, x 2, x 3,…x N ), si può dimostrare che lerrore sulla grandezza derivata è dato da: LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI : Espressione che può essere anche riscritta come: Ci sono casi particolari in cui questa formula generale è semplificata

11 Si consideri il trapezio in figura. Ricavare larea ed il suo errore Esempio: LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI :

12 Consideriamo per semplicità una funzione a due variabili del tipo: LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI : Calcolando le derivate parziali si ottiene: SOMMA (E DIFFERENZA): Sostituendo i valori nella formula generale si ha: Somma in quadratura degli errori assoluti (moltiplicati per i rispettivi coefficienti):

13 Consideriamo la media di N misure e calcoliamo lerrore sulla media : LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI : SOMMA (E DIFFERENZA): Ritroviamo lespressione della deviazione standard della media già introdotta Esempio: Lerrore sulle singole variabili x i sappiamo essere la deviazione standard S x

14 Consideriamo sempre una funzione a due variabili del tipo: LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI : PRODOTTO (E RAPPORTO): Questo risultato può essere meglio espresso considerando lerrore relativo: Calcolando le derivate parziali si ottiene: Sostituendo i valori nella formula generale si ha:

15 LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI : PRODOTTO (E RAPPORTO): Somma in quadratura degli errori relativi (moltiplicati per i rispettivi esponenti):

16 LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI : PRODOTTO (E RAPPORTO): Ritornando allesempio del calcolo dellerrore sulla concentrazione, abbiamo ora tutti gli elementi necessari : Esempio: Concentrazione di una soluzione: Noto lerrore m sulla massa di soluto pesato e lerrore V sul volume di soluzione, come si ricava lerrore sulla concentrazione c ?


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