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Rappresentazioni grafiche di serie di frequenza … etc … etc Diagrammi a barre Torte Diagrammi ad aghi Istogrammi di frequenza Istogrammi di densità Box.

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1 Rappresentazioni grafiche di serie di frequenza … etc … etc Diagrammi a barre Torte Diagrammi ad aghi Istogrammi di frequenza Istogrammi di densità Box plots Diagrammi a gambo e foglia I modelli matematici Diagrammi a linee continue

2 UNA SERIE DI FREQUENZA Una serie statistica è la successione delle frequenze che corrispondono alle modalità di un carattere qualitativo. Esempio: Si consideri la variabile esito di un esperimento di ototossicità condotto su 120 cavie trattate, per due settimane consecutive, con un antibiotico che ha sia ototossicità sia tossicità generale. L'insieme delle coppie "modalità, frequenza di comparsa" viene anche indicato con il nome di distribuzione della variabile esito. FREQUENZE MODALITÀ assoluterelative morte nella 1a settimana morte nella 2a settimana sopravvissute e otolese sopravvissute e non otolese Nota: una frequenza relativa è il rapporto tra la frequenza assoluta con cui si manifesta una modalità e la numerosità totale del campione Rappresentazione tabulare di una serie qualitativa Distribuzione degli esiti di un esperimento di ototossicità.

3 GRAFICI PER SERIE QUALITATIVE Diagramma a barre orizzontali Diagramma areolare (o a torta)

4 SERIE STATISTICHE QUANTITATIVE Anche la successione delle frequenze che corrispondono alla comparsa di un carattere quantitativo discreto costituisce una serie statistica. Rappresentazione tabulare di una serie quantitativa Morti per calcio di cavallo in 200 reggimenti di cavalleria prussiani. (Bortkiewicz. 1898) numero di mortifrequenze semplicifrequenze cumulate in un reggimentoassoluterelativeassoluterelative ,510954, ,517487, ,019698,0 331,519999,5 410, , ,0 Nota:la frequenza cumulata assoluta in corrispondenza di un valore x* indica il numero di volte che la variabile x ha assunto valori pari o inferiori a x*. Ad esempio, la frequenza cumulata assoluta per il valore 2 è data dalla somma = 196: ben 196 dei 200 reggimenti (pari al 98%, frequenza cumulata relativa) hanno presentato un numero morti per calcio di cavallo inferiore oppure uguale a due.

5 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI SERIE QUANTITATIVE Diagramma ad aghi per frequenze semplici Diagramma a gradini per frequenze cumulate Diagramma areolare

6 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI SERIAZIONE DI FREQUENZA La distribuzione di variabili continue espresse in scala quantitativa si rappresenta in modo analogo: tuttavia, la frequenza non è riferita ad una modalità o ad un singolo valore, ma ad intervalli (o classi) di valori, ognuno dei quali include un'infinità di possibili valori (almeno virtualmente) Esempio: Un'indagine condotta da un gruppo di neonatologi ha rilevato i valori di lunghezza supina (cm) in un campione di 60 neonati. Le misurazioni, eseguite con l'infantometro Harpenden, sono riportate nella tabella.

7 Come costruire una seriazione di frequenza. valorefrequenza limiti di classecentraleassolutacumulata ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] Il numero di classi può oscillare tra 8 e 20, a seconda della numerosità dell'insieme di dati. Il centro della classe deve coincidere con un valore misurabile (es.: 46.5 va bene perchè è misurabile; mentre non lo è, con l'infantometro) e di uso comune (es.: 46.5 è da preferirsi a 45.2).

8 Come costruire una seriazione di frequenza. Il centro di classe deve coincidere con la media degli estremi di classe. I valori misurabili non devono coincidere con gli estremi di classe. limiti apparentivaloreFrequenzaFrequenza relativa di classeCentraleAssolutaCumulataSempliceCumulata

9 Istogramma (o diagramma a canne d'organo)

10 Ogiva di Galton per le frequenze cumulate

11 ISTOGRAMMI DI DENSITÀ DI FREQUENZA Negli istogrammi e nei poligoni di densità le frequenze sono proporzionali all'area (delimitata dalla spezzata che li costituisce e inclusa tra due valori reali sull'asse orizzontale), e non all'altezza della figura. Ovviamente, quando le classi hanno tutte la stessa ampiezza, l'area è propor- zionale anche all'altezza. I valori riportati sull'asse verticale indicano la densità di frequenza per una prefissata ampiezza di classe. Modificazione della forma degli istogrammi in funzione dell'ampiezza delle classi.

12 FUNZIONE DENSITÀ Lunghezza supina (cm) in un campione di 60 neonati. Valori della funzione densità nel caso di tre classi di ampiezza identica = 4.5 cm. Limitivalorefrequenze SempliciFrequenze cumulatedensità di classecentralen%n% La densità si calcola dividendo la frequenza relativa per l'ampiezza della classe. La densità è una nuova poligonale L'area compresa tra la poligonale e l'asse delle ascisse è uguale ad 1.0 La somma = 1.00 ( 0.233) + ( 0.650) + (0.116 ) = 1.00 NB: Anche se le ampiezze di classe sono diverse tra loro, la densità ha le stesse proprietà

13 ISTOGRAMMI DI DENSITÀ DI FREQUENZA

14 Un grafico complesso: age of life tree

15 Censimento USA anno 2000 agegrpwhiteblackIndianasianisland Male white Male black Male Indian Male asian Male island Fem white Fem black Fem indian Fem asian Fem island Under to to to to to to to to to to to to to to to to

16 DIAGRAMMA A GAMBO E FOGLIA (1) Una utile rappresentazione di un numero limitato di dati è il grafico a gambo-e-foglia: Esso … ha una forte somiglianza con l'istogramma ed ha lo stesso scopo fornisce informazioni riguardanti il range dell'insieme dei dati, mostra la posizione della concentrazione delle misure più elevate, mette in evidenza la presenza o l'assenza di simmetria, mantiene l'informazione contenuta nelle misure individuali. elimina il passo intermedio di preparazione di una tabella ordinata. Per la sua costruzione dividiamo ciascun valore numerico in due parti: la prima parte è chiamata gambo e la seconda parte foglia. il gambo è costituito da una o più cifre iniziali del valore numerico e la foglia è formata da una o più delle rimanenti cifre. Tutti i numeri suddivisi vengono riportati insieme in un singolo grafico; i gambi formano una colonna ordinata con il più piccolo gambo all'inizio ed il più grande alla fine della colonna.

17 DIAGRAMMA A GAMBO E FOGLIA (2) Stem-and-leaf plot for altezza Altezza rounded to nearest Multiple of.1 Plot in units of.1 44* | 45 45* | 46* | * | * | * | * | * | * | * | * | * | 0 56* | 3 Il seguente esempio illustra la costruzione di un grafico gambo-e- foglia. Le righe del grafico contengono le foglie, ordinate ed elencate a destra dei rispettivi gambi. Quando le foglie sono formate da più di una cifra, tutte le cifre dopo la prima possono essere eliminate.

18 (BOXPLOT) Boxplot della Lunghezza supina (cm) in un campione di 60 neonati La linea orizzontale entro la scatola è indica il valore della mediana della distribuzione delle Lunghezze supine. I bordi superiore ed inferiore della scatola sono le soglie superiore ed inferiore (ovvero i quartili) della distribuzione delle Lunghezze supine. Le linee verticali agli estremi della box connettono i punti estremi delle rispettive soglie.

19 Calories in three types of hot dogs, 20 campioni esaminati per tipo

20 Esempio di Box Plot Distanza in miglia con un litro di benzina per automobili Mini.

21 Guinea pig survival data

22 Babe Ruth Home Run data

23 Esempio: asimmetria a destra

24 Histogram Example

25 il problema della piscina" Per esempio, si potrebbe richiedere a voi di spiegare il numero di mattonelle che saranno necessarie a fare i bordi intorno ad una piscina di varie lunghezza e larghezza, come nella figura 2. Voi potreste sviluppare varie formule per esprimere questi rapporto in base ad una tabella di datie e il loro rapporto nella situazione in esame;

26 costruiamo un modello "avete bisogno di L + 2 mattonelle nella parte superiore e lo stesso numero nella parte inferiore. Ed avete bisogno di W mattonelle alla sinistra ed alla destra. Così in totale, il numero necessario di mattonelle è T = 2(L + 2) + 2W." L W

27 I modelli costruiscono i valori attesi Ora è chiaro che non dobbiamo conoscere il valore di L ed il valore di W e non interessa. Quando ci troveremo in una situazione concreta utilizzeremo il modello T = 2(L + 2) + 2W per definire un valore atteso T il quella situazione particolare

28 Diagrammi a linee continue

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