La distribuzione normale e normale standardizzata

Presentazione sul tema: "La distribuzione normale e normale standardizzata"— Transcript della presentazione:

1 La distribuzione normale e normale standardizzata
La disuguaglinaza di Chebischev

2 Disuguaglianza di Chebychev
Presi un insieme di misure {x1 x2 , … , xN} ed un numero k  1 , La proporzione di misure rispetto al totale che distano dal valore medio non più di k volte “lo scarto quadratico medio” è almeno Il significato di questo teorema si può comprendere con l’aiuto della figura per la popolazione mostrata il teorema afferma che la proporzione della popolazione che sta nell’intervallo da m-ks a m+ks (L’area ombreggiata sotto la curva) deve essere almeno 1- 1 / k Questo è il valore estremo inferiore della proporzione

3 Disuguaglianza di Chebychev
Per ogni k1, sia s la deviazione standard, e sia Sk definito come Si ha che : dei dati cade Cioè almeno una frazione nell’intervallo

4 La regola empirica (distribuzione normale)
Osservazioni La regola empirica (distribuzione normale) 99.7% delle osservazioni cadono nell’intervallo ( -3sd, +3sd) 95.4% nell’intervallo ( -2sd, +2sd) 68.2% nell’intervallo ( -sd, +sd) Questa regola si applica a dati continui che hanno una distribuzione normale

5 Contenuti della lezione
A livello delle singole osservazioni La distribuzione normale Lo z score La distribuzione normale standardizzata

6 La distribuzione normale
Curva simmetrica a forma di campana Media Distribuzione simmetrica e unimodale (media=moda=mediana) Caratterizzata da due parametri indipendenti: media e SD Al variare di questi parametri la curva modifica la sua posizione. La conoscenza di questi 2 parametri permette di calcolare la probabilità degli eventi di interesse.

7 Come varia la forma della curva al variare dei parametri
Esempio: Distribuzione delle altezze negli adulti maschi e femmine Femmine Media=161 SD=6.3 Maschi Media=175 SD=7 Altezze

8 Media: =33.8, Deviazione Standard:  =5.9
Esempio: Livello di albumina nel sangue in 216 pazienti affetti da cirrosi biliare primaria Livello di Frequenza Albumina (numero di pazienti) 216 Distribuzione del livello di albumina in pazienti cirrotici n=216 .2 Distribuzione empirica Distribuzione teorica Frequenza 20 40 60 80 Albumina Media: =33.8, Deviazione Standard:  =5.9

9 Espressione matematica
Qual è la probabilità di osservare un paziente con valore di albumina superiore o uguale a 40? Qual è la frequenza dei pazienti con valori di albumina ….[Pr(x40)] Distribuzione del livello di albumina in pazienti cirrotici Probabilità empirica ( )/216=0.16 n=216 .2 Prevede la conoscenza dei valori osservati e delle loro frequenze Espressione matematica Frequenza 20 40 60 80 Albumina Probabilità teorica (area sotto la curva) Prevede la conoscenza della media e della deviazione statndard dei valori L’area totale sotto la curva è pari a 1

10 La regola empirica (distribuzione normale)
Osservazioni La regola empirica (distribuzione normale) Questa regola si applica a dati continui che hanno una distribuzione normale 99.7% delle osservazioni cadono nell’intervallo ( -3sd, +3sd) 95.4% nell’intervallo ( -2sd, +2sd) 68.2% nell’intervallo ( -sd, +sd)

11 Osservazioni Lo Z score Lo z score è una trasformazione che permette di esprimere il fenomeno di interesse su una scala a-dimensionale. Definizione Lo z score, è la distanza (espressa in termini di deviazioni standard) tra un valore e la media. Esso è calcolato nel seguente modo: z = (x-media) SD

12 Esempio Media osservazioni=33.8 sd=5.9
Livello di albumina z-score frequenza ( )/5.9 = 22 ( )/5.9 = -2 6 24 ( )/5.9 = 26 ( )/5.9 = 28 ( )/5.9 = 30 ( )/5.9 = 32 ( )/5.9 = 34 ( )/5.9 = 36 ( )/5.9 = 38 ( )/5.9 = 40 ( )/5.9 = 42 ( )/5.9 = 44 ( )/5.9 = 46 ( )/5.9 = 48 ( )/5.9 = 50 ( )/5.9 = 52 ( )/5.9 = 56 ( )/5.9 = Valori meno frequenti Valori frequenti Valori meno frequenti

13 Osservazioni Se i dati (osservazioni) si distribuiscono “normalmente” vale la seguente regola: Valori non comuni Valori comuni Z

14 La distribuzione dello z score
Osservazioni La distribuzione dello z score Data una serie di valori distribuiti normalmente, la trasformazione di ogni osservazione in z score genera una nuova distribuzione: La normale standardizzata (media=0, sd=1) La distribuzione normale La distribuzione normale standardizzata Lo z score calcolato su valori normali si distribuisce normalmente con media zero e SD pari a 1

15 Area sotto la curva (normale standardizzata)
Osservazioni Area sotto la curva (normale standardizzata) Table 1

16 99.7% degli z cadono nell’intervallo (-3,+3)
Osservazioni La regola empirica (distribuzione normale standardizzata) 99.7% degli z cadono nell’intervallo (-3,+3) 95.4% nell’intervallo (-2,+2) 68.2% nell’intervallo (-1,+1)

17 La distribuzione normale standardizzata
Osservazioni La distribuzione normale standardizzata Espressione matematica La distribuzione normale standardizzata è una distribuzione normale con parametri: Media=0, SD=1 Le probabilità associate ad ogni valore di z sono note (di solite riportate in tabelle).

18 Osservazioni Esempio Il livello medio di albumina nel sangue di pazienti con cirrosi biliare è pari a 34.5 g/l con SD pari a 5.84 g/l a) calcolare la probabilità di estrarre un paziente con valore superiore a 44.46 Pr(x>44.46) b) calcolare la probabilità di estrarre un paziente con valore superiore a 40 Pr(x>40) Soluzione a) Calcolo dello z-score la probabilità è pari a 1-( ) = (4%) b) Calcolo dello z-score la probabilità è pari a 1-( ) = (17.4%)

19 … dipende dalla sua distribuzione…
Campioni …la volta scorsa avevamo introdotto il concetto di distribuzione delle media aritmetica … ci eravamo chiesti: quando è affidabile la stima della media calcolata sul campione? … dipende dalla sua distribuzione… … per grandi campioni la distribuzione è normale … con media pari al valore della media della popolazione e deviazione standard pari a SE