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1 Inclusione degli effetti quantistici nella meccanica statistica La meccanica statistica è stata costruita secondo uno schema centrato sui seguenti elementi.

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Presentazione sul tema: "1 Inclusione degli effetti quantistici nella meccanica statistica La meccanica statistica è stata costruita secondo uno schema centrato sui seguenti elementi."— Transcript della presentazione:

1 1 Inclusione degli effetti quantistici nella meccanica statistica La meccanica statistica è stata costruita secondo uno schema centrato sui seguenti elementi gli stati del microsistema sono suddivisi in famiglie di g j stati di energia j allinterno di tale suddivisione vengono collocati gli N microsistemi identici ma distinguibili e viene eseguito il conteggio dei microstati associati ad ogni macrostato in quale modo la meccanica quantica modifica questa impostazione? Cominciamo con lassunto che i microsistemi siano identici ma distinguibili. se il microsistema soddisfa le leggi della meccanica classica tale assunzione è corretta infatti un corpuscolo macroscopico è pensato come distinguibile in quanto può essere marcato un corpuscolo microscopico è pensato come distinguibile perché è possibile prevedere con precisione arbitraria le posizioni assunte al passare del tempo (ovvero perché è possibile prevedere il moto) A B t A B P1P1 P2P2 t P 1 P 2 immaginiamo di osservare al tempo t due corpuscoli identici nelle posizioni P 1 e P 2 e di denominarli A e B rispettivamente. immaginiamo poi di osservare nuovamente al tempo t i due corpuscoli identici nelle posizioni P 1 e P 2. sapremo dire chi è A e chi è B solo se siamo in grado di descrivere il moto dei due corpuscoli identici tra t e t con sufficiente precisione. dato che se valgono le leggi newtoniane del moto queste possibilità sussistono sempre possiamo concludere che nellambito della meccanica classica le particelle identiche mantengono la loro identità e sono sempre distinguibili A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

2 2 se viceversa il microsistema soddisfa le leggi della meccanica quantistica nellambito della meccanica quantistica le particelle identiche diventano indistinguibili t A B P1P1 P2P2 t P 1 P 2 per cui la grandezza osservabile associata ad un sistema di due particelle negli stati quantici generici s 1 ed s 2 vale, in funzione del generico insieme di variabili Q 1 e Q 2 che descrivono i due sistemi ( quali ad es. le posizioni spaziali ossia x 1,y 1,z 1 per la prima particella e x 2 y 2 e z 2 per la seconda ) in meccanica quantistica lo stato di sistema è descritto da un funzione complessa detta funzione donda di cui è osservabile il solo modulo quadrato vale il principio di indeterminazione percio se ad un certo istante è definita la posizione della particella allora la sua quantità di moto risulta indefinita e con essa la sua posizione in un istante successivo è come se una particella potesse evolvere lungo una famiglia di moti differenti piuttosto che lungo un moto definito eseguendo le misure i diversi moti si manifestano come differenti esiti ciascuno con una certa probabilità da questo consegue che se immaginiamo di osservare al tempo t due corpuscoli identici nelle posizioni P 1 e P 2 e di denominarli A e B rispettivamente ed osserviamo nuovamente al tempo t i due corpuscoli identici nelle posizioni P 1 e P 2, non sapremo dire chi è A e chi è B perché i moti che arrivano in P 1 e P 2 possono avere origine sia da P 1 che da P 2. concludiamo allora che A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

3 3 dunque la indistinguibilità delle particelle identiche comporta che queste debbano essere descritte da funzioni donda simmetriche o antisimmetriche rispetto allo scambio delle particelle daltra parte dato che le particelle identiche sono anche indistinguibili un loro scambio non può alterare le quantità osservabili per cui da cui otteniamo nessuna restrizione sulla occupazione degli stati opera nel caso di particelle identiche ed indistinguibili descritte da funzioni donda simmetriche due particelle identiche ed indistinguibili descritte da una funzione donda antisimmetrica non possono occupare il medesimo stato da cui consegue che la funzione donda, essendo uguale a se stessa ed alla sua opposta non può che essere nulla dato che le particelle sono indistinguibili e si trovano nello stesso stato dovrà essere anche supponiamo ora che le due particelle si trovino anche nel medesimo stato S immaginiamo che una coppia di particelle identiche ed indistinguibili sia descritta da una funzione donda antisimmetrica rispetto allo scambio Q 1 Q 2 e Q 2 Q 1 giungiamo allora al principio di esclusione di Pauli A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

4 4 quale sara la funzione d'onda se le due particelle sono identiche, scambiando le due particelle la funzione d'onda deve restare invariata a meno di un fattore di fase, quindi come prima. Quindi la funzione d'onda o resta invariata per scambio di due particelle (simmetrica) o cambia segno (antisimmetrica). la funzione d'onda di due fermioni, per e nulla il segno + vale per bosoni, il segno - vale per fermioni quindi due fermioni identici non possono occupare la stessa posizione nello spazio queste condizioni sono soddisfatte automaticamente dalle funzioni d'onda della forma Stato di due particelle identiche supponiamo per semplicita che le due particelle siano non interagenti se le due particelle non sono identiche allora si ha che dopo un secondo scambio che porta un altro fattore di fase, la funzione d'onda deve ritornare quella di prima, per cui si deve avere A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli di due particelle, a e b ?

5 5 sistemi di particelle identiche di spin intero sono descritti da funzioni donda simmetriche mentre sistemi di particelle identiche a spin semintero sono descritti da funzioni donda antisimmetriche tenendo presente questi fatti e ricordando che posizione ed impulso sono soggetti alle limitazioni introdotte dal principio di indeterminazione possiamo costruire la meccanica statistica delle particelle quantistiche che dovrà essere usata in tutti quei casi in cui i microsistemi cessano di seguire le leggi newtoniane del moto. richiamando il fatto fondamentale che in meccanica quantica le particelle possiedono un momento angolare intrinseco, detto spin, che può assumere i valori e richiamando il teorema spin-statistica, enunciato da Pauli e Fierz nel 1939, il quale afferma che giungiamo alla conclusione che le particelle a spin semintero sono descritte funzioni donda antisimmetriche e soddisfano il principio di esclusione mentre le particelle a spin intero sono descritte da funzioni donda simmetriche e non sono soggette ad alcuna restrizione. Riassumendo possiamo affermare che in meccanica quantistica le particelle identiche sono indistinguibili le particelle identiche con spin semintero (fermioni) non possono occupare lo stesso stato (principio di esclusione di Pauli) le particelle identiche con spin intero (bosoni) non sono soggette a restrizioni A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

6 6 o oo oo o m j … 1 gmgm gjgj … g1g1 nmnm njnj … n1n1 i semplici scambi di particelle modificano il microstato ma non il macrostato o oo oo o m j … 1 gmgm gjgj … g1g1 nmnm njnj … n1n1 gli spostamenti delle particelle allinterno dello stesso livello energetico modificano il microstato ma non il macrostato o oo oo o m j … 1 gmgm gjgj … g1g1 nmnm njnj … n1n1 o oo oo o m j … 1 gmgm gjgj … g1g1 nmnm njnj … n1n1 N ! = numero delle permutazioni di N oggetti g j n j e il numero delle disposizioni con ripetizione di n j oggetti estratti da un insieme di g j oggetti e dove ognuno degli n j oggetti puo essere considerato piu volte Il conteggio dei microstati in meccanica statistica classica si noti che anche il fattore appena introdotto calcola come distinti i microstati ottenuti attraverso scambio delle particelle. si vede allora che tra i microstati calcolati con la formula g j n j compaiono anche microstati che differiscono per il semplice daltra parte con il termine N! sono già stati calcolati tutti i microstati ottenuti attraverso semplice scambio delle particelle per ottenere il giusto numero di microstati dobbiamo dividere per il fattore A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli scambio delle particelle, che per il generico livello j sono n j !

7 7 Il conteggio dei microstati in meccanica statistica quantistica oo oo oo Il calcolo dei microstati che cadono allinterno di un certo macrostato nel caso di particelle quantistiche deve essere fatto tenendo presente che tutte le particelle identiche sono indistinguibili le particelle con spin semintero sono soggette alla restrizione del principio di esclusione le particelle con spin intero non sono soggette ad alcuna restrizione o oo oo oo m j … 1 gmgm gjgj … g1g1 nmnm njnj … n1n1 vietato dal principio di esclusione o oo oo oo m j … 1 gmgm gjgj … g1g1 nmnm njnj … n1n1 spin semintero (fermioni)spin intero (bosoni) permesso fissato un certo livello energetico calcoliamo il numero di microstati nel caso in cui g j =3 ed n j =2 NOTA: lindistinguibilità comporta che lo scambio di particelle non porti a nuovi microstati, ossia manca il termine N! NOTA: le particelle avranno lo stesso colore poichè sono indistinguibili tra loro oo oo oo o oo spin semintero (fermioni)spin intero (bosoni) A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

8 8 da notare che basta utilizzare g i –1 separatori per determinare tutti i modi possibili di disporre le n i particelle particelle un modo alternativo per determinare la probabilita di questi stati nel caso le particelle siano bosoni identici, e quello di considerare il problema nel modo seguente : per li-esimo stato domandiamoci in quanti modi diversi possiamo assegnare n i particelle identiche a g i stati : cio significa che ci sono due particelle nel primo stato, una nel secondo, tre nel terzo, una nel quarto e nessuna nel quinto per es. se n i = 7 e g i = 5 il problema e equivalente a calcolare in quanti modi diversi possiamo disporre n i particelle in g i caselle immaginiamo le particelle distribuite a caso lungo una retta su cui siano ricavate delle partizioni. dato pero che sia le particelle che le partizioni sono indistinguibili tra loro le n i permutazioni delle particelle e le g i -1 permutazioni dei separatori non vanno contate come distinte modi diversi di assegnare le n i particelle alli-esimo livello di degenerazione g i se le palline e i separatori fossero distinguibili vi sarebbero (n i + g i -1) ! modi diversi di arrangiarli. percio vi sono soltanto: A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

9 9 ad una data configurazione che abbia n 1 particelle nel livello 1 con degenerazione g 1, n 2 particelle nel livello 2 con degenerazione g 2 etc., corrisponderanno e la probabilita statistica sara data da : utilizzando l approssimazione di Stirling : stati distinti utilizziamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per massimizzare, rispetto agli n i, la funzione: quindi imponiamo che per determinare i numeri di occupazione dei livelli energetici per un sistema di particelle bosoniche allequilibrio procederemo a massimizzare la probabilita statistica A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli dato che la variabile x in questo caso corrisponde agli n i differenziando ln (n i ) rispetto agli n i scompare il termine (gi-1)ln(gi-1) che non dipende da ni

10 10 trascurando il –1, si ha : come nel caso della statistica di Maxwell Boltzmann vale la : da cuiossia percio ossia vai allesercizio : gas di fotoni mentre nel caso della statistica di Maxwell Boltzmann si aveva da cui ossia inoltre A.A G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli


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