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Dizionario Zingarelli probabilità - condizione, carattere di ciò che è probabile; probabile - credibile, verosimile, ammissibile in base a motivi e argomenti.

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2 Dizionario Zingarelli probabilità - condizione, carattere di ciò che è probabile; probabile - credibile, verosimile, ammissibile in base a motivi e argomenti abbastanza sicuri

3 Fenomeno deterministico: se lesperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato Esempi: Moto di un grave Traiettoria di una pallina in un biliardo Fenomeno non deterministico: anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni si trovano risultati diversi Esempi: Risultato del lancio di una moneta Traiettoria di 100 palline in un biliardo Vincita in una lotteria Numero di lanci di un dado per ottenere un 6 Introduzione La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici

4 Immaginiamo di aver lanciato una moneta per sei volte e di aver ottenuto i seguenti risultati A.Testa, testa, testa, croce, croce, croce. B.Testa, croce, croce, testa, croce, testa. Quale fra A e B è la sequenza più probabile? La maggior parte delle persone sceglie B, perché rappresenta lo STEREOTIPO di sequenza casuale (sia A che B = 1/64)

5 Problema : Gioco delloca - un finale carico di tensione Vince colui che per primo arriva. Supponiamo che debba giocare C, poi B, poi A, nell'ordine. Che probabilità ha ciascun giocatore di vincere al primo colpo? Lo scopriremo... esattamente sulla casella FINE

6 Probabilità Nei precedenti problemi non si riesce a determinare con certezza l'esito tra varie possibili alternative. Due cause possibili: - mancanza di informazioni - l'indeterminatezza connaturata. Ma la causa non interessa: chiameremo tali eventi "casuali". Per fare comunque previsioni introduciamo una nuova quantità: la probabilità.

7 Caratteristiche della probabilità - Non importa la sua vera natura: basta che sia misurabile ed utile in casi interessanti. - Si determina attraverso processi logici. - E' un numero puro e si esprime in genere in frazioni di 100 (tipo 30%) o con un numero in [0,1]. Quest'ultimo metodo è conveniente per le moltiplicazioni: il 3% del 40% è l'1,2%, facilmente ottenibile da 0,03x0,40=0,12.

8 Spazio degli eventi S: linsieme di tutti i risultati possibili di un esperimento. Può essere discreto, non numerabile o continuo con un numero qualsiasi di dimensioni. Evento E: un qualsiasi sottoinsieme di S. Ogni definizione di probabilità deve essere data con rigoroso riferimento ad un evento E ed a uno spazio degli eventi S. Sono possibili diversi approcci alla definizione della probabilità di un evento E S. DEFINIZIONI

9 Spazio campione: Insieme S di tutti i risultati dellesperimento Esempio: Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce} Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari per avere 6 S= N ( numeri naturali) Evento: Sottoinsieme E di S dato da un insieme di risultati caratterizzati dal godere di una stessa proprietà Esempio: E={Testa} nel lancio di una moneta

10 Concezioni alternative di probabilità Concetti primitivi Ogni fenomeno che non sia prevedibile con certezza ( es del tempo a Oslo) Uno dei qualsiasi modi in cui il fenomeno si può manifestare Casi favorevoli/Casi possibili Frequenza relativa delle volte in cui si verifica (E) In una successione infinita di osservazioni del fenomeno nelle medesime condizioni Grado di fiducia che un individuo ha sul verificarsi di E Fenomeni equiprobabili Fenomeni ripetibili Altri fenomeni Fenomeno casuale Evento elementare (E) Probabilità dellevento (E)

11 Spazio campionario (campione) Evento elementare Lancio di un dado Durata di una lampadina 0 max Finito Infinito Fenomeno casuale o prova P Spazio campionario (campione)

12 Lancio di un dado Faccia dispari Faccia pari A =,, B =,, E =, Modi di descrivere levento E Si realizza se viene faccia 3 o faccia 6 NB linsieme può anche essere continuo ( durata lampadina) Spazio campionario (campione)

13 Interpretazioni della probabilità Esistono varie scuole su come definire la probabilità: - Classica - Frequentista - Soggettivistica - Assiomatica

14 Definizione classica di probabilità: (detta a priori) Pierre Simon de Laplace: la probabilità è data dal rapporto tra I casi favorevoli allevento ed il numero di casi possibili (quando sono ugualmente possibili) Dato un evento E: Es : il dado, la monete, il lotto, ecc

15 Uno dei protagonisti delle vicende fu il Cavaliere di Merè, un incallito giocatore dazzardo, che, volendo trovare un metodo che gli consentisse di vincere al gioco, pose a Blaise Pascal due problemi che ormai sono rimasti celebri nel mondo del calcolo delle probabilità: E più probabile avere un 6 lanciando 4 volte un dado o avere almeno una volta il doppio 6 lanciando 24 volte due dadi? Se due giocatori, della stessa bravura, interrompono allimprovviso un gioco in cui vince chi per primo totalizza un fissato numero di punti, come va divisa la posta se nessuno raggiunge il punteggio?

16 CLASSICA Unurna contiene 50 palline di cui 30 bianche, 15 verdi e 5 rosse. I casi possibili sono le combinazioni di 40 oggetti in due posti a)i casi favorevoli sono tutte le combinazioni di 12 palline bianche in 2 posti e la probabilità richiesta è p=66/780=11/130 b) I casi favorevoli sono ora C 11,2 =55 e la probabilità in senso classico è 55/780=11/156 c) I casi favorevoli sono 11*17 e la probabilità è 187/ 780. Da unurna che contiene 40 palline di cui 12 b, 11 r, 17v si estraggono CONTEMPORANEAMENTE due palline. Calcolare la probabilità che esse siano a) entrambe bianche b) entrambe rosse c) una rossa e una verde. La probabilità che estratta una pallina essa sia bianca: 30/50=3/5, che sia verde: 15/50= 3/10 e che sia rossa: 5/50=1/10

17 Nel gioco del Lotto qual è la probabilità di fare ambo? Tra tutte le cinquine possibili i casi favorevoli sono quindi la probabilità è Calcolare la probabilità che, lanciando contemporaneamente 3 monete, si presentino 2 teste. I casi possibili sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC,CCC} 8 possibilità Quelli favorevoli sono: {TTC,TCT,CTT} 3 possibilità La probabilità è quindi 3/8.

18 x combinazioni possibili 21,1 31,22,1 42,23,11,3 52,33,24,11,4 63,34,22,45,11,5 73,44,35,22,56,11,6 84,45,33,56,22,6 96,33,65,44,5 105,56,44,6 115,66,5 126,6 x= somma dei 2 dadi X= somma della faccia superiore dei due dadi {2, 3, …, 12} p(x)1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Vai a DUEDADI

19 Concezione frequentista o statistica. (detta a posteriori) Richard von Mises Si basa sulla ripetibilità della prova sotto le stesse condizioni. Gli esiti della prova (eventi) non sono sempre gli stessi. Se ripetiamo la prova n volte e levento A si verifica n A volte, la sua probabilità (frequenza relativa) è: Es: prove ripetute con il lancio di un dado o la caduta di un grave in laboratorio Ma anche le auto ad un casello, la pioggia alla festa della paciarella, il quesito alla maturità, …

20 Legge empirica del caso: In un gruppo di prove ripetute più volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili compare con una frequenza approssimativamente uguale alla sua probabilità; generalmente lapprossimazione migliora quando il numero delle prove cresce. Vai a file excel dado moneta e calc comb Ovvero il valore della frequanza relativa f(E)=m/n tende al valore della probabilità p(E) allaumentare del numero n di prove effettuate.

21 Concezione soggettivista: 1931 Bruno de Finetti La probabilità di un evento è la misura della fiducia che un individuo razionale e coerente attribuisce, in base alle proprie conoscenze e alle informazioni che possiede, al verificarsi dellevento stesso. Maturità 2006 corso sperimentale sessione ordinaria: Bruno de Finetti, tra i più illustri matematici italiani,del quale ricorre il centenario della nascita, alla domanda :che cosè la probabilità era solito dire: la probabilità non eisiste ! Quale significato puoi attribuire a tale risposta?E possibile collegarla a una delle def di probabilità che sono state storicamente proposte? P(E)= prezzo da pagare / somma ricevuta al verificarsi di E

22 Definizioni e insidie classica i casi possibili devono avere ugual peso (esempio del lancio di 2 monete perfettamente identiche o la partita juventus-acireale) la definizione diventa autodefinente: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, purchè questi siano equiprobabili! Presuppone una situazione di laboratorio, poco adatta alla vita reale Applicabile solo ad uno spazio degli eventi finito

23 frequentista Quante prove effettuare? La probabilità dipende dal numero di esperimenti considerati, più tale numero è grande, più è affidabile la valutazione di probabilità Ancora con il calcio: non si può ripetere la stessa partita tante volte... Probabilità come aspettativa soggettiva che si nutre rispetto al realizzarsi dellevento; la valutazione dipende dalla singola persona che la effettua. Soggettivo non vuol dire arbitrario, ma semplicemente legato alle conoscenze del soggetto. Naturalmente il soggetto deve esprimere la sua valutazione simmetricamente, cioè deve essere disposto a mantenerla in caso di scambio di ruoli (gioco equo). soggettivista NB un evento singolo è un evento unico che non può essere ripetuto Per es: litalia vincerà i mondiali nel 2010

24 Teoria ASSIOMATICA della probabilità 1933 Andrej Nikolavic Kolmogorov Non serve una definizione, serve una teoria che mi permetta di calcolarla. Termini: Linsieme di tutti gli eventi elementari è detto SPAZIO CAMPIONARIO. Levento IMPOSSIBILE è quello che non può mai verificarsi Levento CERTO è quello che si verifica sicuramente. Evento ALEATORIO è un evento che non è nè impossibile nè certo Due eventi si dicono INCOMPATIBILI se si verifica che AB = Ø Se A è B sono due eventi allora sono eventi anche

25 Proprietà Unione Intersezione Commutativa Idempotenza Associativa Distributiva Inoltre, si ha:

26 Leggi di De Morgan Partizione dello Spazio Campionario (1) (2) Si dice che gli eventi A 1,…,A k appartenenti ad formano una partizione dello spazio campionario se: (1) (2) Vedere file probabilità e teoria degli insiemi 1 e 2

27 Definizione di probabilità mediante gli Assiomi di Kolmogorov : 1.P(E i ) 0: (non negatività) La probabilità di un evento E i è sempre maggiore o uguale a i P(E i ) = 1 :(norma) La somma delle probabilità di tutti gli eventi E i allo spazio degli eventi è = 1 3.Regola della Somma della Probabilità: (additività) Si applica ad eventi incompatibili ( cioè che non si verificano contemporaneamente) Postulato 1. Postulato 2. Postulato 3.

28 Da questi si ricavano altre proprietà: Probabilità dellunione di due eventi compatibili

29 Postulato 3. Postulato 2. Alcune dimostrazioni. Infatti P(A)=1-P(A) che è positiva per il primo postulato e 1 meno una quantità positiva è certamente minore di 1

30 Teorema 1. Postulato 3, infatti hanno intersezione vuota P(A B C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P(A C)-P(B C) +P(A B C)

31 x combinazioni possibilip(x) 2 1,1 1/36 3 1,22,1 2/36 4 2,23,11,3 3/36 5 2,33,24,11,4 4/36 6 3,34,22,45,11,5 5/36 7 3,44,35,22,56,11,6 6/36 8 4,45,33,56,22,6 5/36 9 6,33,65,44,5 4/ ,56,44,6 3/ ,66,5 2/ ,6 1/36 x= somma dei 2 dadi P([x pari] [x 7]) = P(x pari) + P(x 7) - P(x {8,10,12}) = 18/ /36 - 9/36 = 30/36

32 Calcolare la probabilità che, lanciando contemporaneamente 3 monete, si presenti almeno una testa. I casi possibili sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC,CCC} 8 possibilità Quelli favorevoli sono: { TTT,TTC,TCT,CTT,CCT,CTC,TCC} 7 possibilità La probabilità è quindi 7/8. Ci si poteva arrivare anche attraverso 1-1/8 Supponi di avere un mazzo di carte da 40. Calcola la probabilità dei seguenti eventi: a)La carta è nera; b) la carta è una figura; c) la carta è un asso; d)La carta è una figura nera e)La carta è nera o è una figura f)La carta è una figura o un asso g)La carta è nera o è un asso 20/40 = 1/2 12/40 = 3/10 4/40 = 1/10 6/40 = 3/20 20/ /40 – 6/40 12/40 + 4/40 20/40 + 4/40 -2/40

33 Cosa comporta il possedere uninformazione in più?

34 Esempio: Calcoliamo la probabilità di ottenere somma 7 lanciando due dadi, ma sapendo che è uscito un 3! La conoscenza dellevento A ha ridotto lo spazio dei campioni (6,1)(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(1,1) (6,2)(5,2)(4,2)(3,2)(2,2)(1,2) (6,3)(5,3)(4,3)(3,3)(2,3)(1,3) (6,4)(5,4)(4,4)(3,4)(2,4) (1,4) (6,5)(5,5)(4,5)(3,5)(2,5)(1,5) (6,6)(5,6)(4,6)(3,6)(2,6)(1,6) (6,1)(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(1,1) (6,2)(5,2)(4,2)(3,2)(2,2)(1,2) (6,3)(5,3)(4,3)(3,3)(2,3)(1,3) (6,4)(5,4)(4,4)(3,4)(2,4) (1,4) (6,5)(5,5)(4,5)(3,5)(2,5)(1,5) (6,6)(5,6)(4,6)(3,6)(2,6)(1,6)

35 Lancio di un dado A =,, B =,, E = Se si sapesse che la faccia è pari Se si sapesse che la faccia è dispari

36 Probabilità condizionata e indipendenza stocastica Dati due eventi A e B si dice probabilità di B condizionata ad A p(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A. (E ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A soltanto se A è possibile quindi P(A) diverso da 0) Esempio: unurna contiene 15 palline rosse e 5 nere. Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera: A:=estraggo una rossa B:=estraggo una nera p(A)=15/20=3/4 La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una rossa è P(B)=5/19. La conoscenza dellevento A ha ridotto lo spazio dei campioni

37 Probabilità condizionata e indipendenza stocastica Esempio: unurna contiene 15 palline rosse e 5 nere. Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza reimbussolamento due palline rosse: A:=estraggo una rossa B:=estraggo una rossa p(A)=15/20=3/4 La probabilità di estrarre una rossa dopo aver estratto una rossa è P(B)=14/19. La conoscenza dellevento A ha modificato lo spazio dei campioni

38 Probabilità condizionata. Probabilità di B condizinatamente al verficarsi dellevento A : Analogamente Probabilità di A condizinatamente al verficarsi dellevento B : P(A/B)=P(AB)/P(B) Principio probabilità composte: P(AB)=P(A)*P(B/A) =P(B)*P(A/B) Es dei dadi: P(somma7con un 3) =11/36. 2/11 Oppure =( 6/36. 2/6) Es dei dadi: P(somma7/uscito3) = (2/36) / (11/36) = 2/11 A = esce 3 B = somma 7

39 INDIPENDENZA tra eventi. Due eventi si dicono indipendenti se: P(A/B)=P(A) e P(B/A)=P(B) Dunque se e solo se: P(AB)= P(A)* P(B) (esempio: probabilità di fare testa due volte di seguito = = probabilità testa 1° lancio x probabilità testa 2° lancio = 0,5 x 0,5 = 0,25)

40 A B P(A)=1/2 P(b)=2/4 P(n)=2/4P(B)=1/2 P(b)=3/4 P(n)=1/4 A:1/2 B:1/2 b:2/4 n:2/4 n:1/4 b:3/4 1/2.2/4=1/4=2/8 1/2.3/4=3/8 1/2.1/4=1/8 NB TOT 8 / 8 = 1

41 A B P(A)=1/6 P(b)=1/4 P(n)=3/4P(B)=5/6 P(b)=3/4 P(n)=1/4 A :1/6 B: 5/6 b:1/4 n: 3/4 n: 1/4 b: 3/4 1/6.1/4=1/24 1/6.3/4=3/245/6.3/4=15/24 5/6.1/4=5/24 NB TOT 24 / 24 = 1 Attenzione! Questa volta la scelta della scatola A dipende dal tiro di un dado

42 Problema 7: Gioco delloca - soluzione gioca C gioca B gioca A

43 Problema 7: Gioco delloca - soluzione Calcoliamo la probabilità che ciascun giocatore ha di vincere al primo colpo: Probabilità maggiore P( nonC )P(B) P( non C ) P(non B) (PA)

44 Riassumendo: Probabilità contraria: 1-p(E) Probabilità totale di eventi incompatibili: p(E 1 E 2 ) = p(E 1 ) + p(E 2 ) Probabilità totale di eventi compatibili: p(E 1 E 2 ) = p(E 1 ) + p(E 2 ) - p(E 1 E 2 ) Probabilità composta di eventi indipendentii: p(E 1 E 2 ) = p(E 1 ). p(E 2 ) Probabilità totale di eventi dipendenti p(E 1 E 2 ) = p (E 1 ). P(E 2 /E 1 ) Note: 1) due eventi mutuamente esclusivi non sono mai indipendenti 2) due eventi indipendenti, non sono mai mutuamente esclusivi

45 Supponiamo di estrarre 3 palline, una alla volta senza reinserimento, da unurna contenente 7 palline rosse, 9 bianche e 5 nere: qual è la prob di estrarne una rossa e due nere Attenzione!! Devo chiedermi se è : la PRIMA rossa e POI due nere o se è una delle tre rossa ma non importa se al 1° o 2 °o 3° posto Nel primo caso è: 7/21.5/20.4/19 Se provo con casi fav/casi poss diventa D 7,1 *D 5,2 / D 21,3 = (7 * 5*4 )/(21*20*19) Nel secondo caso è: 7/21.5/20.4/19 per tutte le permutazioni, cioè per 3!/2! casi fav/casi poss diventa C7,1*C5,2/C21,3 Cioè …..

46 un urna con 25 bianche e 75 nere. se viene estratta nera allora viene rimessa nellurna; se estratta bianca viene tolta e se ne aggiunge una nera. La prob di avere 24 palline bianche e 76 nere dopo due estrazioni ( e relative eventuali inserzioni) è: 7/16 5/16 151/ /400 1/3 (25/100*76/ /100*25/100) = 151/400 un urna con 25 bianche e 75 nere. se viene estratta nera allora viene rimessa nellurna; se estratta bianca viene tolta e se ne aggiunge una nera. La prob di avere 24 palline bianche e 76 nere dopo due estrazioni ( e relative eventuali inserzioni) è: 7/16 5/16 151/ /400 1/3 In pratica è la prob che ne esca una bianca e una nera (25/100*76/ /100*25/100) = 151/400

47 Supponiamo di estrarre 3 palline, una alla volta ma con reinserimento, da unurna contenente 7 palline rosse, 9 bianche e 5 nere: qual è la prob di estrarne una rossa e due nere unurna contiene 10 palline di cui 6 rosse e 4 bianche. Qual è la probab che estraendo due palline dallurna queste siano entrambe rosse? 9/25 3/10 1/3 ¼ 1/6 12 cioccolatini, 4 fondenti e 8 al latte: quale prob che presi tre ciocc uno dopo laltro siano e al latte 3/12 12/55 7/11 14/55 3/5

48 Cambiamo punto di vista….. Dalleffetto ….. … Alla causa

49 AB P(A)=1/6 P(n)=1/4 P(r)=3/4 P(B)=5/6 P(n)=3/4 P(r)=1/4 Il mio amico ha estratto una pallina rossa!!!!!!!! Ma da quale scatola lavrà pescata?

50 Teorema di Bayes: la probabilità che levento rossa sia stato causato dallevento scatola A è: Probabilità a priori Probabilità condizionate Probabilità a posteriori Ragioniamo; levento favorevole è : esce una pallina rossa dalla scatola A gli eventi posssibili sono : esce una pallina rossa dalla scatola A oppure da unaltra scatola che non è A

51 A B P(A)=1/6 P(n)=1/4 P(r)=3/4P(B)=5/6 P(n)=3/4 P(r)=1/4 1/6 5/6 1/4 3/4 1/4 3/4 1/6.1/4=1/24 1/6.3/4=3/245/6.3/4=15/24 5/6.1/4=5/24 1/6.3/4 1/6.3/4 + 5/6.1/4 Cioè: 3/8

52 Teorema di Bayes: la probabilità che levento E sia stato causato dallevento A è: se ho n cause Ai per un evento E la probabilità che E sia stato causato da Ai è:

53 A

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55 Applicazioni del teorema di Bayes Esempio 1: test per un certo virus influenzale Il test prevede 2 soli risultati: + / P (virus) = P (no virus) = probabilità a priori, i.e. prima di aver sostenuto il test P (+ | virus) = 0.98 P ( | virus) = 0.02 probabilità dei 2 possibili risultati nel caso di persona infetta P (+ | no virus) = 0.03 P ( | no virus) = 0.97 probabilità dei 2 possibili risultati nel caso di persona sana Il risultato del test è + devo preoccuparmi ?

56 Applicazioni del teorema di Bayes La probabilità di essere infetto dato un risultato + del test è: P (virus | +) = P (+ | virus) P (virus) P (+ | virus) P (virus) + P (+ | no virus) P (no virus) = 0.98 x x x = probabilità a posteriori la probabilità di essere infetto dato un risultato + del test è soltanto il 3.2 %, i.e. sono OK ! Risultato sorprendente ? NO, la probabilità a priori è molto piccola (0.1 %)

57 Applicazioni del teorema di Bayes P (virus | ) = P ( | virus) P (virus) P ( | virus) P (virus) + P ( | no virus) P (no virus) = 0.02 x x x x … e la probabilità di essere infetto dato un risultato ? … il test è affidabile

58 di Gianfranco Arrigo Dipartimento dellistruzione e della cultura Bellinzona Alberto Gandolfi Dott E. GORI Istituzioni di Matematiche Scienze Naturali dott sergio console Corso di Teoria dellInferenza Statistica 1 a.a. 2003/ Terzo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in Statistica – Facoltà di Economia - UniCal Lavoro molto liberamente elaborato da alcuni dei seguenti link


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