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Statistica di Boltzmann stat-1 equilibrio statistico di N particelle su n stati possibili: descrizione del sistema : individuare gli stati possibili (microstati),

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1 statistica di Boltzmann stat-1 equilibrio statistico di N particelle su n stati possibili: descrizione del sistema : individuare gli stati possibili (microstati), mediante i relativi numeri quantici calcolare lenergia E i delli-esimo stato calcolare la degenerazione g i delli-esimo stato calcolare la probabilità di una certa partizione, cioè in quanti modi si possono disporre N i particelle sugli n stati conservando lenergia totale a disposizione (probabilità di una certa partizione di stati) ipotesi: tutti i microstati accessibili sono egualmente probabili

2 statistica di Boltzmann Esempio: microstati accessibili a particelle di massa m in una scatola cubica di lato L L i E1E1 E2E2 E3E3 E5E5 E4E4 E6E6 N1N1 N2N2 N3N3 N5N5 N4N4 N6N6 m x m y m z g i numeri quantici: m x m y m z livello energetico: E i degenerazione : g i numero di occupazione: N i stat-2

3 statistica di Boltzmann stat-3 Esempio: un gas di elettroni in un cubo di lato m E 1 = E o (1+1+1)=3E o = 1, eV E 2 = E o (4+1+1)=6E o = 2, eV E 3 = E o (4+4+1)=9E o = 3, eV E 4 = E o (9+1+1)=11E o = 4, eV E 5 = E o (4+4+4)=12E o = 4, eV E 6 = E o (9+4+1)=14E o = 5, eV

4 statistica di Boltzmann stat-4 Esempio: probabilità della partizione i E1E1 E2E2 E3E3 E5E5 E4E4 E6E6 N1N1 N2N2 N3N3 N5N5 N4N4 N6N6 m x m y m z g i N1=4N2=3N3=5N4=3N5=4N6=2N1=4N2=3N3=5N4=3N5=4N6=2 si cerca il massimo di lnW con i vincoli sul numero totale N di particelle e lenergia totale E (massimo vincolato): W i = numero di modi in cui si possono disporre N i particelle sul livello i

5 Statistica di Boltzmann stat-5 metodo dei moltiplicatori di Lagrange formula di Stirling: lnx! = x lnx - x ha le dimensioni dellinverso di una energia =1/ k B T g i fattore di spazio delle fasi f Bol (E,T ) = e -E/kT funzione di distribuzione di Boltzmann

6 Statistica di Boltzmann stat-6 Esempio: distribuzione sui livelli rotazionali di molecole HCl a T=300K E rot =B rot l(l+1) con B rot =1,3 meV k B T=26 meV; g l =2l+1 l g l E rot f Blz (E rot,T) g l f Blz (meV) ,6 0,90 2, ,8 0,74 3, ,6 0,55 3, ,37 3, ,22 2, ,12 1, ,06 0, ,03 0,5 funzione di partizione Z: probabilità di occupazione dello stato: (Z 20) f Bz funzione di partizione Z: (Z=20)

7 spazio delle fasi stat-7 g nel caso di distribuzione continua di energia, ad esempio energia cinetica E=p 2 /2m g i g(E) cella elementare dello spazio delle fasi: dx dy dz dp x dp y dp z = h 3 numero di celle elementari con energia fra E ed E+dE: per lelettrone (due stati di spin):

8 distribuzione di Boltzmann stat-8 f Bz g g dN Bz (E,T) = g(E) f Bz (E,T) dE dN Bz (E)/dE 300 K 100 K

9 indistinguibilità classica e quantistica stat-9 In quanti modi si possono disporre 2 particelle identiche in 3 celle? m x = 1 m y = 1 m z = 2 m x = 1 m y = 2 m z = 1 m x = 2 m y = 1 m z = 1 a b b a a b b a a b b a ab per Boltzmann: P Q R m x = 1 m y = 1 m z = 2 m x = 1 m y = 2 m z = 1 m x = 2 m y = 1 m z = 1 P Q R BoseFermi m x = 1 m y = 1 m z = 2 m x = 1 m y = 2 m z = 1 m x = 2 m y = 1 m z = 1 P Q R 6 modi 3 modi

10 Statistica di Fermi - Dirac stat-10 N i particelle in g i celle: N i celle piene, (g i -N i ) celle vuote P Q R m x = 1 m y = 2 m z = 3 m x = 1 m y = 3 m z = 2 m x = 2 m y = 1 m z = 3 m x = 2 m y = 3 m z = 1 m x = 3 m y = 2 m z = 1 m x =3 m y = 1 m z = 2 S T U

11 Statistica di Fermi Dirac elettroni in una banda non piena T = 0 Kf F (E,T) g(E) f F (E,T) stat-11 T >> 0 K

12 Lenergia di Fermi stat-12 lintegrale sullenergia di dN/dE è pari al numero totale N di elettroni: a T=0 K: Esempio: il rame ha circa un elettrone libero per atomo, densità di circa 9 g/cm 3 e numero di massa A=63

13 Energie di Fermi stat-13 T F = E F / k B k B eV K -1 Energia media a 0 K:

14 Statistica di Bose - Einstein stat-14 N i particelle in g i celle: in quanti modi si possono mettere g i -1 separatori fra le N i particelle P Q R m x = 1 m y = 2 m z = 3 m x = 1 m y = 3 m z = 2 m x = 2 m y = 1 m z = 3 m x = 2 m y = 3 m z = 1 m x = 3 m y = 2 m z = 1 m x =3 m y = 1 m z = 2 S T U tutte le possibili permutazioni di N i +g i -1 oggetti nel continuo: distribuzione di B.E. funzione di distribuzione di B.E.

15 gas di fotoni stat-15 Per i fotoni non cè la conservazione del numero totale = 0 due stati di polarizzazione distribuzione in energia: termine di spazio delle fasi per i fotoni: f BE g dn BE spettro di corpo nero

16 confronto fra le statistiche di Bose e di Boltzmann distribuzione in energia secondo Bose (Planck): f BE g f Bz dn BE dn Bz secondo Boltzmann (Wien): legge di Wien: legge di Wien dello spostamento stat-16 legge di Rayleigh-Jeans

17 confronto fra le statistiche di Bose e di Boltzmann stat-17 spettro di corpo nero a 2000 K secondo Planck secondo Wien


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