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Bande di energia in un conduttore La banda di energia più alta è parzialmente vuota livello di Fermi g(E) va a zero sia al bordo inferiore che a quello.

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Presentazione sul tema: "Bande di energia in un conduttore La banda di energia più alta è parzialmente vuota livello di Fermi g(E) va a zero sia al bordo inferiore che a quello."— Transcript della presentazione:

1 bande di energia in un conduttore La banda di energia più alta è parzialmente vuota livello di Fermi g(E) va a zero sia al bordo inferiore che a quello superiore della banda

2 Overlap di bande di energia in un conduttore bande di energia nel sodio la banda 3s è parzialmente vuota; loverlap con la banda 3p estende la banda permessa in cui già cade E F bande di energia nel magnesio EFEF la banda 3s è totalmente occupata, ma loverlap con la banda 3p fa sì che E F cada in una zona di energie permesse

3 bande di energia in un isolante EFEF

4 bande di energia in un semiconduttore energy gap EFEF

5 conduzione elettrica nei metalli Modello classico: Drude e Lorentz, 1905 il problema: la legge di Ohm V=RI suggerisce una proporzionalità tra forza (campo elettrico) e velocità (intensità di corrente) il modello: gli elettroni in un conduttore si comportano come un gas di particelle quasi libere che si muovono con velocità disordinata di agitazione termica in tutte le direzioni, secondo la distribuzione di Boltzmann (velocità termica v t ) in presenza di un campo elettrico gli elettroni vengono accelerati in direzione opposta al campo, acquistando una velocità media ordinata in questa direzione (velocità di deriva v d ) negli urti anelastici contro gli ioni del reticolo perdono lenergia in più acquistata nellaccelerazione e ripartono con lenergia termica media (il che spiega leffetto Joule) la velocità media di deriva è quindi la velocità media acquistata sotto lazione del campo elettrico nel tempo medio fra un urto e il successivo (tempo di rilassamento) moto viscoso l SI V

6 conduzione elettrica nei metalli legge di Ohm V=RI l SI V resistività quanto vale ? inoltre: mobilità cammino libero medio fra urti successivi Nellurto si ristabilisce lequilibrio energetico, quindi in media lelettrone cede allatomo lenergia acquistata a spese del campo elettrico (effetto Joule)

7 Il modello di Drude spiega perché si genera il moto viscoso e quindi la velocità limite di deriva spiega perché la resistività aumenta con la temperatura fornisce valori ragionevoli della resistività a temperatura ambiente però: non spiega leffetto forte della presenza di impurezze (regola di Mathiessen) non riproduce la corretta dipendenza dalla temperatura (ad alta temperatura è lineare in T e non in T, a bassa temperatura è lineare in T 5 ) non è compatibile con il comportamento quantistico dellelettrone nel solido R/R 290 secondo il modello di Drude dati di misura

8 un calcolo di resistività secondo il modello di Drude l urti 1 nm ; n m -3

9 il modello quantistico di Sommerfeld Lelettrone è descritto da un pacchetto di onde di Bloch che si muove sotto lazione del campo elettrico esterno secondo lequazione classica del moto: che, risolta rispetto a v d, fornisce la soluzione: ottenuta con il modello di Drude. È lecito il calcolo classico purché: - si usi per m la massa efficace, - si verifichi che la larghezza del pacchetto in posizione e quantità di moto sia sufficientemente piccola, in modo che il moto possa essere trattato classicamente nel tratto fra due collisioni successive, sufficientemente grande, in modo che le interazioni fra elettrone e reticolo siano ben descritte dalla massa efficace

10 il modello quantistico di Sommerfeld k k in assenza di campo elettrico esternoin presenza di campo elettrico esterno nello spazio k, la velocità di drift v d legata alla corrente elettrica genera uno spostamento k dellintera distribuzione degli elettroni nel senso contrario alla direzione del campo elettrico:

11 il modello quantistico di Sommerfeld meccanismi di urto: - riguardano solo gli elettroni vicino al livello di Fermi, perché sono gli unici ad avere disponibili livelli energetici non occupati - preferenzialmente lo scattering è allindietro dove ci sono più stati liberi a energia minore - lurto non è contro gli ioni del reticolo, perché la funzione donda di Bloch tiene già conto del potenziale periodico - gli urti possibili sono con ciò che non è periodico: - urti con le impurità - urti con i fononi (vibrazioni reticolari)

12 collisioni nel modello quantistico probabilità di collisione nellunità di tempo: cammino libero medio per urti con le impurità cammino libero medio per urti con i fononi velocità dellelettrone di energia prossima a quella del livello di Fermi (rispetto al calcolo di Drude, v F > v t però anche l imp e l fon sono maggiori di l urti !)

13 collisioni con le impurezze La probabilità di collisione con le impurezze, 1/l imp -è direttamente proporzionale alla densità di impurità, n imp, (la costante di proporzionalità S imp è chiamata sezione durto): S im p l imp n im p - è praticamente indipendente dalla temperatura - quindi anche il contributo delle collisioni con le impurezze è indipendente dalla temperatura (nei metalli, v F, m *, e la densità elettronica n sono praticamente costanti) 1/l imp = S imp n imp Es.: supponiamo una frazione di impurità dellordine di qualche parte su un milione e una sezione durto geometrica ( m 2 ) il contributo alla resistività delle impurità è dellordine del permille RRR = T=300K / T

14 collisioni coi fononi probabilità di collisione con i fononi: - 1/l fon è direttamente proporzionale alla densità di fononi, n fon,con costante di proporzionalità S fon pari alla sezione durto elettrone-fonone: 1/l fon = S fon n fon urto elettrone-fonone conservazione dellenergia conservazione della quantità di moto - n fon dipende dalla temperatura: la distribuzione in energia dei fononi a una data T si ottiene da quella dei fotoni (spettro di corpo nero) sostituendo v fon ac e tenendo conto che l max è limitato a Debye : ad alta temperatura: quindi la densità numerica di fononi è proporzionale a T

15 collisioni con i fononi Si può determinare la costante di proporzionalità tenendo conto che, a differenza di ciò che avviene per i fotoni, il numero di oscillazioni possibili è fisso, pari a 3n at, cioè a 3 oscillazioni per atomo (due trasversali e 1 longitudinale) a bassa temperatura (T < D ), n fon T 3 quindi n fon, ad alta temperatura, è - direttamente proporzionale a T - direttamente proporzionale alla densità atomica n at - inversamente proporzionale alla temperatura di Debye D, che è caratteristica del cristallo (legata alla massima frequenza delle oscillazioni fononiche) da cui si ottiene, ad alta temperatura:

16 dipendenza della resistività dalla temperatura A bassa temperatura (T < D ), n fon T 3, inoltre S fon diminuisce come T 2, quindi fon diminuisce come T 5 Introducendo 1/l fon nellespressione della resistività, si ottiene (nei metalli, v F, m *, e la densità elettronica n sono praticamente costanti) Ad alta temperatura, S fon è costante, perché i fononi hanno praticamente la frequenza max, Debye, n fon è proporzionale a T, quindi d /dT = d fon /dT S fon la variazione di con la temperatura misura laccoppiamento elettrone-fonone accoppiamento debole buon conduttore un accoppiamento sufficientemente forte può indurre comportamenti superconduttivi

17 le due componenti della resistività temperatura di Debye

18 superconduttori Esperimento storico di Kamerlingh Omnes (1911): transizione superconduttiva di Hg a 4,2 K transizione superconduttiva di Mg B 2 (HTCS: High Critical Temperature Superconductor ) temperatura critica

19 semiconduttori Caratteristiche a 0K: - banda di valenza completamente occupata - banda di conduzione completamente vuota - piccolo gap di energie proibite E g = 1,1 eV (Si); 0,7 eV (Ge); 1,4 eV (GaAs) a T>0K: - un elettrone può essere eccitato dalla banda di valenza a quella di conduzione - ogni elettrone che passa in banda di conduzione lascia un posto vuoto (buca) in banda di valenza - anche la buca in banda di valenza è mobile, perché può essere occupata da un elettrone che lascia a sua volta una buca e così via - sotto lazione di un campo elettrico esterno il moto di deriva avviene sia in banda di conduzione che in banda di valenza - lelettrone in banda di valenza è in una zona di massa efficace negativa e il suo moto può essere equiparato a quello di una particella con massa positiva e carica elettrica positiva E gap EcEc EvEv buca

20 conducibilità elettrica nei semiconduttori due contributi alla conducibilità: contributo degli elettroni in banda di conduzione contributo delle buche in banda di valenza masse efficaci molto piccole heavy hole light hole

21 conducibilità elettrica nei semiconduttori semiconduttore intrinseco: n=p Calcolo di n e di p: legge dellazione di massa

22 Livello di Fermi Calcolo del livello di Fermi per il semiconduttore intrinseco - n i = p i - si assume m e m h =m * Stima di n i a 300K: EFEF E gap - da confrontarsi con m -3 per i conduttori - inoltre dipendenza esponenziale dalla temperatura dal rapporto: E c -E F = E gap /2 E F = E c - E gap /2

23 drogaggio drogaggio tipo n con un atomo pentavalente (fosforo) EFEF livello del donatore donatore livello dellaccettore EFEF drogaggio tipo p con un atomo trivalente (Al) accettore

24 conducibilità elettrica in semiconduttori drogati n EFEF livello del donatore livello dellaccettore EFEF p con un drogaggio di tipo n, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità n d dei donatori (portatori di maggioranza) con un drogaggio di tipo p, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità n a degli accettori (portatori di minoranza)

25 resistenza elettrica in semiconduttori debolmente drogati zona estrinseca: tutti i portatori di maggioranza sono in banda di conduzione, la resistenza elettrica cresce linearmente con T perché cala la mobilità zona intrinseca: i portatori intriseci cominciano a passare con crescente probabilità in banda di conduzione, la resistenza elettrica diminuisce esponenzialmente con T perché cresce la densità n di portatori

26 la giunzione diodo V=0 - i livelli di Fermi si allineano - la densità di elettroni con E>E cp è la stessa nei due lati della giunzione essendo proporzionale a exp-(E cp -E F )/k B T - il flusso di cariche (p n) dal lato p verso il lato n è uguale al flusso (n p) in senso opposto - la densità di corrente è nulla zona di svuotamento (p n) (n p) E cn EcpEcp EvpEvp E vn

27 il diodo V>0 (bias positivo) - si riduce la differenza (E cp - E cn ) fra i due livelli base della banda di conduzione; i livelli di Fermi non sono più allineati, il livello E Fn dal lato n è più alto - la densità di elettroni con E>E cp è maggiore nel lato n della giunzione che nel lato p: infatti nel lato n è proporzionale a exp-(E cp -E Fn )/k B T, mentre nel lato p è rimasta allo stesso valore che aveva in assenza di bias, proporzionale a exp-(E cp -E Fp )/k B T - il flusso di cariche (n p) dal lato n verso il lato p è maggiore del flusso (p n) in senso opposto - cè una densità netta di corrente da p a n zona di svuotamento (p n) (n p) E cn EcpEcp EvpEvp E vn E Fn EFpEFp

28 il diodo V<0 (bias negativo) - cresce la differenza (E cp - E cn ) fra i due livelli base della banda di conduzione; i livelli di Fermi non sono più allineati, il livello E Fn dal lato n è più basso - la densità di elettroni con E>E cp è minore nel lato n della giunzione che nel lato p: infatti nel lato n è proporzionale a exp-(E cp -E Fn )/k B T, mentre nel lato p è rimasta allo stesso valore che aveva in assenza di bias, cioè proporzionale a exp-(E cp -E Fp )/k B T - il flusso di cariche (n p) dal lato n verso il lato p è minore del flusso (p n) in senso opposto - cè una debole densità di corrente da n verso p zona di svuotamento (p n) (n p) E cn EcpEcp EvpEvp E vn E Fn EFpEFp

29 La caratteristica del diodo Calcolo del flusso di elettroni: Calcolo della densità di corrente: Caratteristica del diodo:


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