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Gli elettroni nei cristalli funzione donda elettronica: deve risolvere lequazione di Schrödinger in presenza di un potenziale periodico come si risolve.

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Presentazione sul tema: "Gli elettroni nei cristalli funzione donda elettronica: deve risolvere lequazione di Schrödinger in presenza di un potenziale periodico come si risolve."— Transcript della presentazione:

1 Gli elettroni nei cristalli funzione donda elettronica: deve risolvere lequazione di Schrödinger in presenza di un potenziale periodico come si risolve il problema per il singolo elettrone: funzione donda che rispecchia la periodicità del potenziale bande di energia permesse e bande di energia proibite come si tratta il problema nel caso di molti elettroni: antisimmetrizzazione della funzione donda meccanica statistica quantistica statistica di Fermi Dirac esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a)

2 gli elettroni nei cristalli esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a) E1E1 E2E2 E 1g E 1u E 2g E 2u E 1min E 2max E 1max E 2min atomo singolo livelli energetici singoli due atomi livelli energetici sdoppiati molti atomi multipletti di livelli energetici

3 Due atomi: funzione donda della molecola ione-idrogeno z x R rArA A B r rBrB potenziale di attrazione elettrone-nuclei in funzione di z per un valore fissato di x e y 1s g (r): la funzione è grande nella zona fra i due nuclei dove lelettrone ha effetti leganti 1s(r A ) 1s(r B ) 1s u (r): la funzione è nulla proprio nella zona fra i due nuclei dove lelettrone avrebbe effetti leganti, mentre è grande nelle zone dove ha effetti antileganti 1s(r A ) 1s(r B ) due soluzioni, g e u due livelli energetici

4 funzione donda elettronica nessun nodo 1 nodo 3 nodi 7 nodi

5 livelli energetici elettronici distanza di equilibrio E 1min E 1max E 1atomic o il solido si forma a una distanza di equilibrio tale da minimizzare lenergia complessiva degli elettroni che occupano i livelli gli elettroni occupano i livelli energetici a partire dal più basso, rispettando il principio di Pauli

6 bande di energia E 2min E 2max E 1atomic o E 4atomico E 3atomic o E 2atomic o molti elettroni per atomo: riempimento fino al livello 4 distanza di equilibrio = a E 2min E 2max E 3min E 3max E 4min E 4max E 3min E 3max E 4min E 4max E 3min E 3max E 4min E 4max

7 bande di energia E 1atomic o E 4atomico E 3atomic o E 2atomic o E 2max E 2min pochi elettroni: si riempiono solo i primi livelli distanza di equilibrio = a E 2max E 2min E1E1

8 moto di un elettrone in un potenziale periodico: soluzione formale esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a) Hamiltoniana: lhamiltoniana è invariante per traslazioni di passo a (periodica): H(x)=H(x+a) funzione donda: H(x) (x) = E (x) anche (x) deve essere invariante per traslazioni ? Non necessariamente, ma | (x)| 2 deve esserlo | (x)| 2 = | (x+a)| 2

9 il teorema di Bloch per soddisfare la condizione | (x)| 2 = | (x+a)| 2 la funzione donda deve poter essere scritta come (x)= e ikx u(x) con u(x) invariante per traslazioni : u(x) = u(x+a) (x) è chiamata onda di Bloch verifica del teorema di Bloch: come conseguenza dellinvarianza traslazionale, (x) può differire da (x+a) al più per una fase: (x+a) = e i (x) infatti: (x+a) = e ik(x+a) u(x+a) = e ika e ikx u(x) = e ika (x) = e i (x) con = ka, u(x+a) = u(x)

10 funzione donda di Bloch significato fisico dellonda di Bloch: è il prodotto di - unonda piana e ikx elettrone libero - una funzione u(x) identica sotto traslazioni di un passo reticolare a u(x) funzione donda in vicinanza del singolo atomo potenziale modulatore periodico V(x) piccolo: si parte dallonda di elettrone libero e si corregge per leffetto di V(x) elettroni di conduzione nei metalli; quantum corral potenziale modulatore periodico V(x) grande: si parte dalla funzione donda periodica e si include leffetto della fase e ikx approssimazione di legame forte p x costante del moto k buon numero quantico

11 approssimazione di legame forte funzione donda: x (x+a) equivale a cambiare n (n-1) n-1n n+1 E p,n-1 E p,n E p,n+ 1 n-1nn+1 n-1 n n+1 potenziale periodico:

12 approssimazione di legame forte (x-na) è soluzione dellequazione di Schrödinger per lelettrone nellatomo isolato Sostituendo nellequazione di Schrödinger per lelettrone nel reticolo: livello di energia atomica modifica dovuta alle altre buche di potenziale del reticolo

13 approssimazione di legame forte Energia media: attrazione da parte delle buche vicine termine di sovrapposizione (o di risonanza ) dove C = m-1m m+1 m-1m m+1 j=m n=m-1 mj=m+1 m

14 approssimazione di legame forte limitandosi ai primi vicini (n=m 1): dove:

15 termini di overlap k=k min k=2 k min k=4 k min k=8 k min overlap positivo: (x-ma) e (x-(m-1)a) hanno lo stesso segno contributo negativo allenergia di overlap E p (x-ma) <0 (potenziale attrattivo) overlap negativo (x-ma) e (x-(m-1)a) hanno segno opposto contributo negativo allenergia di overlap

16 approssimazione di legame forte a partire da ciascun livello atomico E k 0 /a- /a EatEat E coul E overlap prima zona di Brouillin -G/2 G/2

17 bande E 1max E 1min E 4min E 2max E 2min E 3max E 3min E 1atomico E 3atomico E 4atomico E 2atomico

18 bande di energia permesse e bande proibite

19

20 Passaggio da una banda allaltra eccitazione radiativa da una banda alla banda superiore (se permessa dal principio di Pauli) sol3-18 E 2min E 1max E = E 2min - E 1max E = E 3min - E 2max E 3min E 2max

21 Il problema del trasporto Hamiltoniana di una particella libera: p x costante del moto k buon numero quantico velocità di gruppo: k v funzione donda: H(x) (x) = E (x) relazione di dispersione parabolica

22 velocità di fase e velocità di gruppo due onde k 1 = 1 Å -1 k 2 = 1,05 Å -1 4 onde k 1 = 1 Å -1 ; k 2 = 1,05 Å -1 k 3 = 1,1 Å -1 ; k 4 = 1,15 Å -1 x x k 2

23 moto dellelettrone libero in presenza di una forza esterna in presenza di una forza esterna, dovuta ad es. a un campo elettrico, il pacchetto che allistante t aveva un certo numero donda k o e velocità v o, allistante (t+dt) ha numero donda (k o +dk) e velocità (v o +dv) con: V el catodo schermo v k dk per lelettrone libero, d 2 E/dk 2 =costante, quindi m=costante ;

24 moto di un elettrone nel cristallo in presenza di una forza esterna in presenza di una forza esterna, dovuta ad es. a un campo elettrico, il pacchetto di onde di Bloch che allistante t aveva un certo numero donda k o e velocità v o, allistante (t+dt) ha numero donda (k o +dk) e velocità (v o +dv) con: per lelettrone nel cristallo, d 2 E/dk 2 non è costante, quindi m non è costante massa efficace V E zone di massa efficace negativa lelettrone si comporta come se avesse carica elettrica positiva buca

25 Riflessione al bordo di zona riflessione al bordo di zona

26 La massa efficace a piccoli k per lelettrone libero, d 2 E/dk 2 =costante, quindi m=costante Evoluzione temporale della funzione donda: (x,t) = e i(kx-ωt) dove per lelettrone nel cristallo: d 2 E/dk 2 = - E overlap a 2 cos(ka) a piccoli k: d 2 E/dk 2 = - E overlap a 2 (1-(ka) 2 /2) E k 0 - /a /a

27 bande con gap diretta e con gap indiretta nel Si gap indiretta gap diretta a = 0,543 nm

28 bande con gap diretta e con gap indiretta nel Ge gap diretta gap indiretta a = 0,565 nm

29 Risonanza ciclotronica e misura della massa efficace Moto (classico) di un elettrone in un campo magnetico: B r v Se lelettrone entra nella zona del campo magnetico B con una velocità v perpendicolare a B descrive unorbita circolare con raggio r e pulsazione ω = v/r dati da: forza centrifuga forza di Lorentz B microonda direzione della corrente tipico esperimento campione due modi di condurre la misura: -B fisso e scan in ω della microonda - ω fisso e scan in B

30 Effetto Hall e misura del segno della carica elettrica La forza di Lorentz devia le cariche elettriche che viaggiano con componente v x della velocità sono deviate nella direzione dellasse y creando un campo elettrico E y che compensa la forza di Lorentz: R H è la resistenza di Hall; permette di - conoscere il segno della carica elettrica - determinare la densità elettronica n h tipico esperimento B I campione a y x z VHVH -j x è la densità di corrente j x = nev -n è la densità elettronica


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