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Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 1 Algoritmi di ordinamento ottimali Lalgoritmo Merge-Sort ha complessità O(n log n) Algoritmo di ordinamento ottimale.

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1 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 1 Algoritmi di ordinamento ottimali Lalgoritmo Merge-Sort ha complessità O(n log n) Algoritmo di ordinamento ottimale. A differenza degli algoritmi IS e SS, Merge-Sort non è però un algoritmo di ordinamento in loco. Infatti, la procedura Merge(A,p,q,r) richiede un vettore di appoggio di dimensione r-p+1 in cui effettuare la fusione È facile convincersi del fatto che il Merge-Sort ha complessità spaziale S(n)=O(n log n) (infatti ho bisogno di O(n) spazio ausiliario per ognuno dei log n livelli dellalbero della ricorsione) Ciò comporta (insieme alla gestione della struttura ricorsiva) anche una spesa in termini di tempo effettivo dellesecuzione (infatti, lo spazio ausiliario richiesto non eccede O(n log n) e quindi non modifica landamento asintotico temporale, ma il tutto si riflette sulle costanti moltiplicative!)

2 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 2 Algortimo di ordinamento ottimale in loco: Heapsort Introduciamo un nuovo algoritmo di ordinamento detto Heap-Sort che ha le seguenti caratteristiche: - T(n) = O(n log n) Alg. Ordinamento ottimale - Ordina in loco e quindi S(n)=O(n) Per fare ciò dobbiamo introdurre una struttura di dati detta heap. Heap binario = albero binario in cui ogni nodo figlio ha valore minore o uguale al valore del proprio nodo padre. Es Lalbero è quasi completo Completo su tutti i livelli tranne eventualmente sul livello più basso che è riempito da sinistra. Altezza dellalbero lunghezza del più lungo cammino discendente dalla radice ad una foglia.

3 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 3 Proprietà di un heap Notiamo che: In questa direzione è presente un ordinamento In questa direzione non è presente un ordinamento. Proprietà di ordinamento parziale dello heap: Ogni nodo interno contiene un valore maggiore uguale del valore contenuto nei figli. Da ciò segue che: 1.lelemento più grande dello heap è memorizzato nella radice. 2.ogni nodo interno contiene un valore maggiore uguale del valore contenuto in tutti i suoi discendenti.

4 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 4 Come rappresentare uno heap: dallalbero binario allarray i= i= … … … … … Length[A] Un albero binario quasi completo può essere descritto da un array in cui il figlio sinistro ed il figlio destro di un nodo i si trovano nelle posizioni 2i e 2i+1 rispettivamente. Heap-size[A] N.B. Stiamo assumendo che lindice i parta da 1.

5 Algoritmi e strutture Dati - Lezione i= … … … … … Length[A] Heap-size[A] i= Per muoverci allinterno dellalbero definiamo le seguenti procedure: Parent(i) return i/2 Left(i) Return 2i Right(i) Return 2i+1 Affinché un array A che rappresenta un albero binario sia uno heap deve valere la relazione: A(parent[i]) A[i] per ogni i 1 Heap-size[A] Length[A]

6 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 6 Mostreremo che un array generico può essere ordinato trasformandolo in un heap ed eseguendo operazioni che hanno tempo di esecuzione al più proporzionale alla altezza H dello heap. Notiamo: H=3 H = altezza albero binario Se lalbero è completo: n = … + 2 H = 2 H *( 1 + (1/2) + … + (1/2) H )= = 2 H *(2-(1/2) H ) = 2 H+1 –1 Se lalbero è quasi completo: 2 H -1 < n < 2 H+1 –1 H = (log(n)) i=

7 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 7 L idea di base è la seguente: Trasformiamo un array A di dimensione n in un heap di dimensione n (creazione dellheap); Passo 1: Per le proprietà dello heap, sappiamo che lelemento massimo della sequenza iniziale è memorizzato in A[1]. Scambiamo A[1] con lelemento A[n]; La sequenza A[1]……A[n-1] che otteniamo non è più uno heap (A[1] è fuori posto). Permutiamo i suoi elementi in moto da trasformarla in un heap di dimensione n-1 (mantenimento dellheap); Passo 2: Per le proprietà dello heap, sappiamo che lelemento massimo della sequenza A[1]……A[n-1] è memorizzato in A[1]. Scambiamo A[1] con lelemento A[n- 1]; …… Ripetendo n-1 volte otteniamo una sequenza ordinata. Le operazioni che effettuiamo sono: o Creazione di un heap O (n) Agli step k=1,2,…n-1: o Scambio di due elementi O(1) (temporale e spaziale) o Mantenimento dello heap O(log n) Poiché abbiamo n-1 iterazioni T(n)=O(n log n) …e poiché eseguiamo il tutto in loco S(n)= O (n) Algoritmo Heapsort - strategia

8 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 8 Procedura di mantenimento dellheap Supponiamo che A sia uno heap. Alteriamo il valore di A[1]. Larray che otteniamo non è più un heap. I sottoalberi con radice in A[right(1)] ed A[left(1)] sono ancora heap. Dobbiamo scrivere una procedura che permuti gli elementi A[1],A[2],……,A[heap-size[A]] in modo da ricostruire uno heap. FixHeap(A,i) l left(i) r right(i) If (l heap-size[A]) and (A[l] > A[i]) then largest l else largest i If (r heap-size[A] )and(A[r] > A[largest]) then largest r If (largest i) then scambia(A[i], A[largest]) FixHeap(A,largest) La procedura FixHeap fa scendere A[i] nella prima posizione utile. Ipotesi necessaria per la correttezza- I sottoalberi con radice in A[right(i)] ed A[left(i)] sono heap. Tempo di esecuzione di FixHeap(A,i) O(h i ) h i = altezza del nodo i (il livello più basso delle foglie ha altezza 0)

9 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 9 FixHeap - esempio i= Lancio FixHeap(A,2): i= i=

10 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 10 Procedura di creazione di uno heap La procedura FixHeap può essere usata in modo bottom-up per convertire un array A[1…n], in uno heap di lunghezza n. Heapify(A) heap-size[A] lenght[A] For i lenght[A]/2 down to 1 do FixHeap(A,i) Heapify attraversa i nodi non foglia dell heap, dal basso verso lalto ed esegue FixHeap su ciascuno di essi. Ad ogni step le ipotesi necessarie per applicare FixHeap sono automaticamente verificate. Tempo di esecuzione di Heapify? H = altezza albero log 2 (n) N nodi (h) = numero di nodi con altezza h n/2 h+1 Notare – Si può costruire un heap da un array non ordinato in tempo lineare!

11 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 11 Heapify – Un esempio i= i= i=

12 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 12 Heapify – Un esempio (2) i= i= i=

13 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 13 Heapify – Un esempio (3) i= i= i= E un heap!

14 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 14 Algoritmo Heapsort Heapsort(A) Heapify(A) O(n) For i length(A) down to 2 O(n) do Scambia(A[1],A[i]) O(n) Heapsize[A] Heapsize[A]-1 O(n) FixHeap(A,1) O(n log n) Tempo di esecuzione O(n log n) Ordinamento in loco Esempio i= Input: A= Heapify(A) A 0 = Scambia(A[1],A[n])

15 Algoritmi e strutture Dati - Lezione i= Heap-size = Heap-size i= FixHeap(A,1)

16 Algoritmi e strutture Dati - Lezione 7 16 E cosi via …… i= Scambia(A[1],A[n-1]) i= FixHeap(A,1) i= Heap-size = Heap-size -1 14


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