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INTEGRALI GENERALIZZATI DOPPI E TRIPLI. FUNZIONI DEFINITE DA INTEGRALI.

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Presentazione sul tema: "INTEGRALI GENERALIZZATI DOPPI E TRIPLI. FUNZIONI DEFINITE DA INTEGRALI."— Transcript della presentazione:

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2 INTEGRALI GENERALIZZATI DOPPI E TRIPLI. FUNZIONI DEFINITE DA INTEGRALI

3 Argomenti della lezione Integrali generalizzati doppi e tripli Integrali generalizzati doppi e tripli Funzioni definite da integrali Funzioni definite da integrali

4 INTEGRALIGENERALIZZATI DOPPI E TRIPLI

5 Nella definizione di integrale multiplo secondo Riemann, abbiamo esplicitamente supposto che la funzione fosse limitata e che il dominio dintegrazione fosse limitato. Spesso nelle applicazioni queste ipotesi non sono verificate. Vediamo come possa essere adattata la nostra definizione per soddisfare le esigenze, per esempio della fisica

6 Può dunque accadere che il dominio dintegrazione non sia limitato, o che la funzione non lo sia in un intorno di qualche punto. Per esempio, può accadere che f(x,y,z) tenda a infinito se il punto (x,y,z) T tende a un certo (x 0,y 0,z 0 ) T. Per presentare con una certa precisione i concetti, daremo la seguente definizione

7 Diremo che un sottoinsieme J Diremo che un sottoinsieme J R m (secondo è localmente misurabile (secondo PJ) se la sua intersezione con qualsiasi insieme misurabile I è misurabile (ricordiamo che ciò significa che la frontiera di J I è trascurabile) Diremo che una successione (A n ) di insiemi misurabili invade J, se gli insiemi sono crescenti per inclusione e contenuti in J: A n A n+1 J

8 Inoltre, per ogni B J, B misurabile, deve accadere che la m(B\ A n ) 0, per n per n Data f, diremo che la successione (A n ) è adatta a f se f è R-integrabile su ogni A n. In questo modo si superano i problemi dovuti all eventuale non limitatezza di f.

9 Nel caso di integrali multipli, prenderemo in considerazione funzioni che sono assolutamente integrabili. Per esempio, funzioni che hanno segno costante su J La sostanziale giustificazione di questa definizione è fornita dal seguente

10 Teorema (A n ) (B n ) Se (A n ) e (B n ) sono due successioni adatte a f0 e invadenti J, allora lim n fdm A n lim n fdm B n

11 Dunque il valore dellintegrale non dipende dalla particolare successione usata per calcolarlo. Ciò ci permette di attribuire un valore certo al limite così calcolato. Si noti che una Funzione R-integrabile è anche integrabile in senso generalizzato. Se la funzione non ha segno costante allora bisognerà chiedere che sia integrabili in senso generalizzato sia la sua parte positiva, che quella negativa. In questo caso la funzione sarà integrabile in valore assoluto

12 Accanto al teorema fondamentale citato, servono alcuni criteri utili per stabilire che alcune funzioni sono senzaltro integrabili. Precisamente, se m è la dimensione dello spazio, e la funzione tende a zero per |x| che tende a infinito più rapidamente di |x| -a, con a>m, allora certamente lintegrale è convergente

13 Se m è la dimensione dello spazio, f tende a infinito per xx 0 e vi tende meno rapidamente di |x-x 0 | -b, con b < m, allora f è integrabile in senso generalizzato su J Applichiamo queste considerazioni al calcolo di un integrale generalizzato fondamentale

14 Si voglia calcolare e x 2 dx La funzione exp(-x 2 ) tende a zero Per x più rapidamente, per esempio, di 1/x 2 e quindi esiste certamente lintegrale detto. Cerchiamo di calcolarne il valore

15 Consideriamo la funzione exp(- x 2 - y 2 ) che è integrabile in senso generalizzato su tutto il piano R 2. Considereremo due famiglie invadenti e adatte alla funzione: A n = [-n,n] [-n,n] e B n = n} B n = {(,): n} AnAnAnAn BnBnBnBn

16 Poiché le due successioni,come si riconosce immediatamente, sono invadenti R 2 e adatte alla funzione allora n lim e (x 2 y 2 ) dxdy A n n lim e (x 2 y 2 ) dxdy B n Ma e (x 2 y 2 ) dxdy A n e x 2 dx n n e y 2 dy n n

17 Cioè e (x 2 y 2 ) dxdy A n e x 2 dx n n 2Mentre e (x 2 y 2 ) dxdy B n 2 e 2 d 0 n ( 1 e n 2 )

18 Se indichiamo con I lintegrale cercato I e x 2 dx lim n e x 2 dx n n troviamo I 2 = π e quindi I = π

19 A partire da questo integrale fondamentale e, agendo con una certa spregiudicatezza, si possono ottenere alcuni risultati interessanti exp(-xy 2 ) sen x è integrabile su ]0,+[]0,+[ Da I = π si deduce

20 e xy 2 dy 2 x 0 Moltiplicando per sen x e integrando su x da 0 a +, si trova dxe xy 2 senxdy 2 senx x dx Scambiando lordine dintegrazione

21 Si trova dye xy 2 senxdx 1 1 y 4 dy senx x 0 dx Dunque

22 senx x 0 dx 2 Qui è anche contenuto il problema di calcolare lintegrale di 1/(1+y 4 ) da 0 a + da 0 a + Ponendo infine x 2 al posto di x nell integrale così calcolato, si trova

23 senx 2 dx 8 0 Si consideri il seguente problema: Si decida se è finito il volume della regione solida compresa tra il cerchio x 2 + y 2 1 sul piano x y e la superficie z = 1/[x 2 + y 2 ]

24 Una successione invadente, adatta alla funzione che tende a infinito per (x,y) T che tende a (0,0) T è C n = {(x,y) T :1/n [x 2 + y 2 ] 1} Lintegrale esiste finito poiché f tende a infinito come 1/|x| e 1 < 2. Si vuole calcolare 1 x 2 y 2 dxdy 2 d 1 /n 1 C n 2 ( 1 1 n )

25 Ovviamente il limite per n Ovviamente il limite per n è 2π.

26 FUNZIONI DEFINITE DA INTEGRALI

27 È spesso utile considerare integrali dipendenti da un parametro e riconoscere le proprietà dell integrale rispetto al parametro detto; in particolare la dipendenza continua dalo la derivabilità rispetto al parametro. Diremo allora, se questo è il caso, che lintegrale è una funzione del parametro stesso

28 Considereremo due situazioni in particolare Teorema f: R Sia f: [a,b] [c,d] R continua. su [c,d]. Allora g(y) =f(x,y)dx, è continua a b

29 Infatti, per le ipotesi fatte, g(y) esiste per ogni y in [c,d] e |g(y)-g(y 0 )| |f(x,y) - f(x, y 0 )| dx a b Luniforme continuità di f(x,y) sul rettangolo, assicura che: dato >0 esiste >0 tale che se |y-y| 0 tale che se |y-y| <, allora |f(x,y) - f(x, y 0 )| < /(b-a). Perciò |g(y)-g(y 0 )| Perciò |g(y)-g(y 0 )|

30 Vale inoltre Teorema f: R Se f: [a,b] [c,d] R e f y sono Continue sul rettangolo, allorag(y) =f(x,y)dx, è derivabile e si ha b a

31 g(y) = f y (x,y)dx a b Infatti si può considerare la funzione continua h(y) = f y (x,y)dx a b e integrarla tra c e y. Scambiando poi lordine dintegrazione, si trova

32 (f 2 (x,t)dx)dt (f 2 (x,t)dt)dx = c y a b a b c y [f(x,y) f(x,c)] a b d x g(y) g(c) Cioè h(t)dt g(y) g(c) c y

33 E quindi g(y) = h(y) = f y (x,y)dx a bSe F(y,, ) f(x,y)dx

34 con a b, F(y,, ) è funzione continua e derivabile con continuità e quindi differenziabile delle sue variabili; F y (y,, ) è dato dalla formula precedente; F (y,, ) = -f(,y); F (y,, ) = f(,y). F(y, (x), (x)) è continua o derivabile se lo sono (x), (x).(x). Fra le possibili utilizzazioni delle formule, ne segnaliamo una: ancora il calcolo di certi integrali

35 Dopo avere calcolato si calcoli dx x 2 y 2 0 dx (x 2 y 2 ) 2 0 Il primo integrale vale π/(2y)

36 Derivando sotto il segno e dividendo per -2y, si trova che il secondo integrale vale π/(4y 3 ) Altro esempio: si voglia calcolare e x senxy x 0 dx

37 e x cosxy 0 dx 1 1 y 2 Derivando sotto il segno dintegrale rispetto a y, si trova integrando rispetto a y i due membri e x senxy x 0 dx = arctg y

38 Se facciamo la sostituzione x = z/y e z/y senz z 0 dz = arctg y E prendendo il limite per y E prendendo il limite per y senz z 0 dz = π/2


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