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FUNZIONI DEFINITE DA INTEGRALI

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Presentazione sul tema: "FUNZIONI DEFINITE DA INTEGRALI"— Transcript della presentazione:

1 FUNZIONI DEFINITE DA INTEGRALI
GENERALIZZATI DOPPI E TRIPLI. FUNZIONI DEFINITE DA INTEGRALI

2 Argomenti della lezione
Integrali generalizzati doppi e tripli Funzioni definite da integrali

3 INTEGRALI GENERALIZZATI DOPPI E TRIPLI

4 Nella definizione di integrale
multiplo secondo Riemann, abbiamo esplicitamente supposto che la funzione fosse limitata e che il dominio d’integrazione fosse limitato. Spesso nelle applicazioni queste ipotesi non sono verificate. Vediamo come possa essere adattata la nostra definizione per soddisfare le esigenze, per esempio della fisica

5 Può dunque accadere che il dominio
d’integrazione non sia limitato, o che la funzione non lo sia in un intorno di qualche punto. Per esempio, può accadere che f(x,y,z) tenda a infinito se il punto (x,y,z)T tende a un certo (x0,y0,z0)T. Per presentare con una certa precisione i concetti, daremo la seguente definizione

6 Diremo che un sottoinsieme J  Rm
è localmente misurabile (secondo PJ) se la sua intersezione con qualsiasi insieme misurabile I è misurabile (ricordiamo che ciò significa che la frontiera di J  I è trascurabile) Diremo che una successione (An) di insiemi misurabili invade J, se gli insiemi sono crescenti per inclusione e contenuti in J: An  An+1  J

7 Inoltre, per ogni B  J, B misurabile,
deve accadere che la m(B\ An) 0, per n  ∞ Data f, diremo che la successione (An) è adatta a f se f è R-integrabile su ogni An. In questo modo si superano i problemi dovuti all’ eventuale non limitatezza di f.

8 Nel caso di integrali multipli,
prenderemo in considerazione funzioni che sono assolutamente integrabili. Per esempio, funzioni che hanno segno costante su J La sostanziale giustificazione di questa definizione è fornita dal seguente

9 Se (An) e (Bn) sono due successioni
Teorema Se (An) e (Bn) sono due successioni adatte a f≥0 e invadenti J, allora l i m n f d = A ò B

10 Dunque il valore dell’integrale non
dipende dalla particolare successione usata per calcolarlo. Ciò ci permette di attribuire un valore certo al limite così calcolato. Si noti che una Funzione R-integrabile è anche integrabile in senso generalizzato. Se la funzione non ha segno costante allora bisognerà chiedere che sia integrabili in senso generalizzato sia la sua parte positiva, che quella negativa. In questo caso la funzione sarà integrabile in valore assoluto

11 Accanto al teorema fondamentale
citato, servono alcuni criteri utili per stabilire che alcune funzioni sono senz’altro integrabili. Precisamente, se m è la dimensione dello spazio, e la funzione tende a zero per |x| che tende a infinito più rapidamente di |x|-a, con a>m, allora certamente l’integrale è convergente

12 Se m è la dimensione dello spazio,
f tende a infinito per xx0 e vi tende meno rapidamente di |x-x0|-b , con b < m, allora f è integrabile in senso generalizzato su J Applichiamo queste considerazioni al calcolo di un integrale generalizzato fondamentale

13 ò e d Si voglia calcolare La funzione exp(-x2) tende a zero
ò La funzione exp(-x2) tende a zero Per x∞ più rapidamente, per esempio, di 1/x2 e quindi esiste certamente l’integrale detto. Cerchiamo di calcolarne il valore

14 Consideriamo la funzione
exp(- x2 - y2) che è integrabile in senso generalizzato su tutto il piano R2. Considereremo due famiglie invadenti e adatte alla funzione: An = [-n,n] [-n,n] e Bn = {(,):  ≤ n} An Bn

15 òò ò e d = × Poiché le due successioni ,come
si riconosce immediatamente, sono invadenti R2 e adatte alla funzione allora n l i m e - ( x 2 + y ) d = A òò B Ma e - ( x 2 + y ) d A n òò = × ò

16 òò ò e d = æ è ç ö ø ÷ òò ò e d = p 1 Cioè Mentre - ( x + y ) A - ( x
2 + y ) d A n òò = ò æ è ç ö ø ÷ Mentre e - ( x 2 + y ) d B n òò = p r ò 1

17 ò I = e d l i m Se indichiamo con I l’integrale cercato troviamo
- x 2 d ò l i m n troviamo I2 = π e quindi I = √π

18 A partire da questo integrale
fondamentale e, agendo con una certa spregiudicatezza, si possono ottenere alcuni risultati interessanti exp(-xy2) sen x è integrabile su ]0,+∞[]0,+∞[ Da I = √π si deduce

19 ò e d = p ò Moltiplicando per sen x e
- x y 2 d = p ò Moltiplicando per sen x e integrando su x da 0 a +∞, si trova d x e - y 2 sen = p ò Scambiando l’ordine d’integrazione

20 Si trova d y e - x 2 sen = 1 + 4 ò p = p 2 sen x ò d Dunque

21 ò sen x d = p 2 Qui è anche contenuto il problema
ò d = p 2 Qui è anche contenuto il problema di calcolare l’integrale di 1/(1+y4) da 0 a + ∞ Ponendo infine x2 al posto di x nell’ integrale così calcolato, si trova

22 ò sen x d = p 8 Si consideri il seguente problema:
2 d = p 8 ò Si consideri il seguente problema: Si decida se è finito il volume della regione solida compresa tra il cerchio x2 + y2 ≤ 1 sul piano x y e la superficie z = 1/√[x2 + y2]

23 Una successione invadente, adatta alla funzione che tende a infinito
per (x,y)T che tende a (0,0)T è Cn = {(x,y)T:1/n ≤ √[x2 + y2] ≤1} L’integrale esiste finito poiché f tende a infinito come 1/|x| e 1 < 2. Si vuole calcolare 1 x 2 + y d = p r / n ò C òò ( - )

24 Ovviamente il limite per n  ∞
è 2π.

25 FUNZIONI DEFINITE DA INTEGRALI

26 È spesso utile considerare integrali
dipendenti da un parametro e riconoscere le proprietà dell’ integrale rispetto al parametro detto; in particolare la dipendenza continua dalo la derivabilità rispetto al parametro. Diremo allora, se questo è il caso, che l’integrale è una funzione del parametro stesso

27 Sia f: [a,b]  [c,d]  R continua.
Considereremo due situazioni in particolare Teorema Sia f: [a,b]  [c,d]  R continua. Allora g(y) =∫f(x,y)dx, è continua a b su [c,d].

28 Infatti, per le ipotesi fatte, g(y) esiste per ogni y in [c,d] e
|g(y)-g(y0)| ≤ ∫|f(x,y) - f(x, y0)| dx a b L’uniforme continuità di f(x,y) sul rettangolo, assicura che: dato  >0 esiste  >0 tale che se |y-y| < , allora |f(x,y) - f(x, y0)| < /(b-a) . Perciò |g(y)-g(y0)|≤ 

29 Se f: [a,b]  [c,d]  R e fy sono
Vale inoltre Teorema Se f: [a,b]  [c,d]  R e fy sono Continue sul rettangolo, allora g(y) =∫f(x,y)dx, è derivabile e si ha b a

30 Infatti si può considerare la funzione continua
g’(y) =∫ fy(x,y)dx a b Infatti si può considerare la funzione continua h(y) =∫ fy(x,y)dx a b e integrarla tra c e y. Scambiando poi l’ordine d’integrazione, si trova

31 ò h ( t ) d = g y - c ò Cioè ( f x , t ) d = x = ò = [ f ( x , y ) - c
2 x , t ) d = x = c y ò a b = [ f ( x , y ) - c )] a b ò d g Cioè h ( t ) d = g y - c ò

32 E quindi g’(y) = h(y) = ∫ fy(x,y)dx a b Se F ( y , a b ) = f x d ò

33 con a≤  ≤  ≤b, F(y, , ) è funzione continua e derivabile con continuità e quindi differenziabile delle sue variabili; Fy(y, , ) è dato dalla formula precedente; F(y, , ) = -f(,y); F(y, , ) = f(,y). F(y, (x), (x)) è continua o derivabile se lo sono (x), (x). Fra le possibili utilizzazioni delle formule, ne segnaliamo una: ancora il calcolo di certi integrali

34 ò d x + y ò d x ( + y ) Dopo avere calcolato si calcoli
2 + y ò si calcoli d x ( 2 + y ) ò Il primo integrale vale π/(2y)

35 ò e sen y d Derivando sotto il segno e dividendo
per -2y, si trova che il secondo integrale vale π/(4y3) Altro esempio: si voglia calcolare e - x sen y ò d

36 ò e sen y d x = arctg y ò e cos y d = 1 +
Derivando sotto il segno d’integrale rispetto a y, si trova e - x cos y ò d = 1 + 2 integrando rispetto a y i due membri e - x sen y ò d x = arctg y

37 ò ò e sen z d z = arctg y sen z d z = π/2
Se facciamo la sostituzione x = z/y e - z/y sen z ò d z = arctg y E prendendo il limite per y  ∞ sen z ò d z = π/2


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