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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 3.

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Presentazione sul tema: "CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 3."— Transcript della presentazione:

1 CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 3.

2 Argomenti della lezione Forme quadratiche. Criteri per i punti destremo liberi. Forme quadratiche. Criteri per i punti destremo liberi. Differenziazione di funzioni da R m a R n. Differenziazione di funzioni da R m a R n.

3 FORME QUADRATICHE.

4 Vogliamo dare condizioni sufficienti per lesistenza di punti destremo (max o min) relativi. A questo scopo definiremo e studieremo brevemente le forme quadratiche. R m Una forma quadratica su R m è un polinomio omogeneo di grado due nelle variabili h 1, h 2, …, h m.

5 q(h 1, h 2, …, h m ) = a ij h i h j i,j=1 m Con notazione vettoriale, si scrive R m q(h 1, h 2, …, h m ) = h T Ah, h R m È facile riconoscere che una forma quadratica si può pensare generata da una matrice simmetrica, cioè con a ij =a ji e quindi A = A T

6 Qualche semplice esempio... È, come si ricorderà, la forma quadratica associata al differenziale secondo di una funzione nel punto x 0. La chiameremo lHessiano di f in x 0. (D ij f)(x 0 ) h i h j i,j=1 m h T Hh =

7 Una forma quadratica q(h 1, h 2, …, h m ) si dice 1. Definita positiva (negativa) se R m per ogni h R m, h 0, q(h) > 0 (< 0). 2. Semidefinita positiva (negativa) R m se per ogni h R m, h 0, q(h) 0 ( 0), ma esiste h 0 tale che q(h) = 0. R m 3. Indefinita se esistono h 1, h 2 R m, tali che q(h 1 ) > 0 e q(h 2 ) < 0.

8 Data la matrice A associata a una forma quadratica q(h 1, h 2, …, h m ), diremo minori principali (di NW) i minori formati con le prime k righe e k colonne di A. M 1 = a 11 a 11 a 12 M2=M2= a 21 a 22

9 Mk=Mk= a 11 a 12 a 1k... a 21 a 22 a 2k... a k1 a k2 a kk... Mm=Mm= a 11 a 12 a 1m... a 21 a 22 a 2m... a m1 a m2 a mm... = det A

10 Criterio (di Jacobi - Sylvester ) Sia data la forma q(h 1, h 2, …, h m ) = h T Ah. a) h T Ah è definita positiva se e solo se M k > 0 per k = 1, 2, …, m b) h T Ah è definita negativa se e solo se (-1) k M k > 0 per k = 1, 2, …, m

11 Nel caso delle f.q. in due variabili, possiamo provare un criterio più completo. q(h 1,h 2 ) = a h b h 1 h 2 + c h 2 2 = = a ( h 1 + (b/a) h 2 ) 2 + ( (ac-b 2 )/a ) h 2 2 = (h 1 h 2 ) ( ) h1h1 h2h2 ( ) a b b c A = a b b c ( ) = h T A h dove

12 Allora la f.q. q(h 1,h 2 ) a) è definita positiva (negativa) se e solo se det A > 0 e a > 0 (< 0) b) è indefinita det A <0 c) è semidefinita positiva (negativa) se e solo se det A = 0 e a > 0 (< 0) oppure a = 0 e c > 0 (< 0)

13 Teorema Sia f : A R m R, una funzione C 2 (A). Se in x 0 è f(x 0 )= 0 e se i) d 2 f x 0 è definito positivo, allora x 0 è punto di minimo relativo.

14 ii) d 2 f x 0 è definito negativo, allora x 0 è punto di massimo relativo. iii) d 2 f x 0 è indefinito, allora x 0 non è punto né di max né di min relativo. iv) d 2 f x 0 è la f.q. nulla o è semidefinito, allora nulla si può concludere in generale.

15 In particolare, per funzioni di due variabili: H(x 0,y 0 ) = 2 f ____ x2x2 2 f _____ xy 2 f _____ xy 2 f ____ x2x2 Se det H(x 0,y 0 ) > 0 e 2 f ____ x2x2 > 0 allora è punto di min rel. allora (x 0,y 0 ) è punto di min rel.

16 Se det H(x 0,y 0 ) > 0 e 2 f ____ x2x2 < 0 allora è punto di max rel. allora (x 0,y 0 ) è punto di max rel. Se det H(x 0,y 0 ) < 0 allora è punto di sella. allora (x 0,y 0 ) è punto di sella. Se det H(x 0,y 0 ) = 0 allora nulla si può in generale sulla natura di. sulla natura di (x 0,y 0 ).

17 Calcoli ed esempi a parte..

18 Differenziazione di funzioni da R m a R n.

19 Una funzione f : A R m R n, A aperto, fa corrispondere a ogni x A un solo y R n. y R n ha n componenti, ciascuna funzione delle m componenti di x Dunque y = f(x) corrisponde a n funzioni f i : A R m R, i = 1,.., n

20 f : A R m R n è continua in x 0 A se e solo se ciascuna delle componenti f i : A R m R, i = 1,.., n è continua in x 0 A. f : A R m R n ha limite l R n per x x 0 se e solo se ogni componente f i : A R m R ha limite l i per x x 0.

21 Diremo che f : A R m R n è differenziabile in x 0 A se esiste unapplicazione lineare L : R m R n tale che, se x = x 0 + h (x, x 0,h R m ) f(x) = f(x 0 ) + L h + (h) |h| con (h) 0 se h 0

22 Si verifica che f : A R m R n è differenziabile se e solo se lo sono le sue componenti. Si trova che il differenziale di f è rappresentato dalla seguente matrice L con m colonne ed n righe L = D 1 f 1 (x 0 )D 2 f 1 (x 0 ) D m f 1 (x 0 ) D 1 f 2 (x 0 ) D 2 f 2 (x 0 ) D m f 2 (x 0 ) D 1 f n (x 0 ) D 2 f n (x 0 ) D m f n (x 0 )....

23 Nella matrice L ogni riga è il differenziale di una componente f i di f. Ci interesserà nel seguito la seguente formula di derivazione di funzione composta più generale di quella già dimostrata.

24 Teorema (Derivazione di funzione composta ) Sia f : A R m R p, A aperto, differenziabile in x 0, g : R n A R m, aperto, x 0 = g(u 0 ), esistano finite in u 0 tutte le derivate u i g k (u 0 ), i=1,..,n, k = 1,..,m, allora

25 F(u) = f(g(u)), aperto, ha tutte le derivate parziali u i F r. E vale FrFr ___ u k (u 0 ) = frfr ___ x 1 g1g1 ___ u k frfr ___ x m gmgm ___ u k ++ Un accenno di calcolo a parte.. r = 1,…, p.


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