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CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

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Presentazione sul tema: "CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI."— Transcript della presentazione:

1 CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

2 Il teorema del differenziale totale. Il teorema del differenziale totale. Argomenti della lezione Regole di derivazione e differenziazione. Regole di derivazione e differenziazione. Derivate successive. Derivate successive.

3 IL TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE.

4 Teorema Se f : A R n R, A aperto, ha derivate parziali continue in A, allora è differenziabile in ogni punto x 0 A.

5 Calcoli a parte…

6 REGOLE DI DERIVAZIONE E DI DIFFERENZIAZIONE.

7 Vista la definizione di derivata parziale e il suo legame con la nozione di differenziale messa in evidenza precedentemente, possiamo concludere che le regole di derivazione già note continuano a valere per le derivate parziali, direzionali e per il differenziale. Dunque:

8 D k ( f + g) = D k f + D k g d( f + g) = df + dg D k (f g) = (D k f) g + f (D k g) d(f g) = (df) g + f (dg) g( D k (f/g) = ( ( D k f)g - f( D k g) )/ (g 2 ) g( d(f/g) = ( ( df)g - f( dg) )/ (g 2 )

9 DERIVAZIONE DI FUNZIONE COMPOSTA

10 Teorema differenziabile in x 0 A, e sia g(t)=(x 1 (t),…, x n (t)) T derivabile in t 0 : g(t 0 )=( x 1 (t 0 ),…, x n (t 0 )) T, g(t 0 ) = x 0, allora è derivabile in t 0 Sia f : A R n R, A aperto, F(t) =f(g( t )), e vale

11 F (t 0 ) = D 1 f(x 0 ) x 1 (t 0 ) +…+ + D n f(x 0 ) x n (t 0 ) con g(t): I R n.

12 Calcoli a parte...

13 DERIVATE SUCCESSIVE.

14 Sia f : A R 2 R, A aperto, dotata di derivate parziali rispetto a x e a y in tutto A o in una sua parte aperta A 1. Allora D 1 f: A 1 R e D 2 f: A 1 R, sono funzioni delle quali ci si può chiedere se sono derivabili rispetto a x o a y.

15 Si potranno considerare,, e y f x ( ) y f y ( ) x f x ( ) x f y ( ) Si indicherà = ___ 2 f x 2 (x 0,y 0 ) x f x ( ) (x 0,y 0 )

16 x f y ( ) (x 0,y 0 ) = 2 f xy ____ (x 0,y 0 ) y f x ( ) (x 0,y 0 ) = 2 f yx ____ (x 0,y 0 ) Più in generale x i f x k ( ) (x 1 0,…, x n 0 ) 2 f x ix k ____ (x 1 0,…,x n 0 ) =

17 Ci chiediamo: quale relazione cè tra 2 f xy ____ (x 0,y 0 ) 2 f yx ____ (x 0,y 0 ) e ? O tra 2 f x kx i ____ (x 1 0,…,x n 0 ) 2 f x ix k ____ (x 1 0,…,x n 0 ) e, (ik) ?

18 Altre notazioni per indicare le derivate successive: 2 f xy ____ (x 0,y 0 ) = f xy (x 0,y 0 ) = = D 2 xy f(x 0,y 0 ) = D 2 12 f(x 0,y 0 ) = = 2 xy f(x 0,y 0 ) = 2 12 f(x 0,y 0 ) E notazioni analoghe per 2 f x ix k ____ (x 1 0,…,x n 0 )

19 Teorema (Sullinversione dellordine delle derivate (di K.H.A. Schwarz) ) Siano f xy e f yx definite su un aperto A, e siano continue in (x 0,y 0 ) A. Allora f xy (x 0,y 0 )= f yx (x 0,y 0 ).

20 In generale, per il teorema di Schwarz, ammesso che siano continue in un aperto A R n, due derivate, calcolate nello stesso punto, che differiscono solo per lordine di derivazione sono uguali.


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