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CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

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Presentazione sul tema: "CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI."— Transcript della presentazione:

1 CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

2 Argomenti della lezione Estensione delle nozioni di continuità e di limite alle funzioni di più variabili Estensione delle nozioni di continuità e di limite alle funzioni di più variabili Derivate direzionali e derivate parziali Derivate direzionali e derivate parziali Differenziale di una funzione di più variabili Differenziale di una funzione di più variabili

3 Continuità di funzioni f : A R n R

4 f : A R n R è continua in x 0 = (x 0 1, x 0 2,… x 0 n ) T se per ogni V intorno di f (x 0 ) esiste U intorno di x 0 x UA è f (x) V

5 RnRn RnRn f(x 0 ) R R X0X0 X0X0 A A V V U U

6 Limite di funzioni f : A R n R

7 f : A R n R ha limite l per x che tende a x 0 = (x 0 1, x 0 2,… x 0 n ) T se per ogni V intorno di l esiste U intorno di x 0 x UA è f (x) V

8 Una funzione ma con restrizione di due variabili non continua in (0,0) T ad ogni retta per lorigine continua

9 f f ( ( x x,, y y ) ) 0 0 se ( ( x x,, y y )T)T )T)T ( ( 0 0,, 0 0 )T,)T, )T,)T, x y x2x2 x2x2 y y se x2x2 x2x2 y y 0 0..

10 Se prendiamo la restrizione alla retta per lorigine x = t, y = t, si trova f f ( ( t t,, t t ) ) = = 0 0 se t t = = 0 0,, 2 2 t t + + se 2 2 t2t2 t2t2 + + t t 0 0 t t

11 lim t t 0 0 f f ( ( t t,, t t ) ) 0 0 f f ( ( 0 0,, 0 0 ) ) Dunque la restrizione alle rette per lorigine è continua

12 Ma la restrizione alliperbole per lorigine y = k x 2 /(x -k), con k 0, ha valore costante k 0 = f(0,0).

13 Anche il limite della funzione La funzione non è continua in (0,0) T. preso lungo liperbole vale k 0 = f(0,0).

14 Caso k =

15

16 Derivate direzionali e derivate parziali

17 (x 0, y 0 ) T A A

18 f x x x 0 f(x, y 0 )-f(x 0,y 0 ) x- x 0 = (x 0,y 0 ) lim _____________ f y (x 0,y 0 ) = lim y y 0 _____________ f(x 0, y)-f(x 0,y 0 ) y- y 0 Più in generale f xkxk (x 1 0,..,x k 0,.., x n 0 ) = f(x 0,..,x k,.., x n 0 ) - f(x 0,..,x k 0,.., x n 0 ) ____________________________ lim x k - x k 0 x k x k 0 =

19 Sia =( 1,…, n ) T un versore di R n e sia x(t)= x 0 + t una retta passante per x 0 e avente direzione. La derivata di f in direzione, nel punto x 0 è data da f = (x 1 0,..,x k 0,.., x n 0 ) f(x 0 + t)- f(x 0 ) lim t 0 ____________ t

20 FunzioneFunzione non continua con tutte le derivate direzionalidirezionali nulle in (0,0)

21 f(x,y) 0se(x,y )T)T)T)T (0,0 )T,)T,)T,)T, x 2 y x4 y2 2 se(x,y )T)T)T)T (0,0 )T.)T.)T.)T.

22 Sia = (cos, sen ) T e t una retta per lorigine

23 per t 0, e si ha ) 2 ) 2 f (cos t, sen cos 4 sen 2 t (cos 4 t2+t2+t2+t2+ sen 2 t)

24 lim t 0 f (cos t,sen t) f(0,0) t lim t 0 cos 4 sen 2 t cos 4 t2t2 sen 2 ()2)2 0.

25 Ma f(x,y) non è continua nellorigine. Infatti la restrizione alle parabole passanti per lorigine y =x 2 ( 0) ha valore costante:

26 f(x, x 2 )= 2 /(1+ 2 )

27

28 Differenziale di una funzione di più variabili

29 f : A R n R si dice differenziabile in x 0 = (x 0 1, x 0 2,… x 0 n ) T se esiste un applicazione lineare L : R n R tale che f (x) = f (x 0 )+ L (x- x 0 )+ (x) |x- x 0 | con (x) 0 se x x 0.


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