La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI."— Transcript della presentazione:

1 CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.

2 Argomenti della lezione Cambiamento di variabili per integrali doppi e tripli Cambiamento di variabili per integrali doppi e tripli Applicazioni al calcolo di aree, volumi, baricentri, momenti Applicazioni al calcolo di aree, volumi, baricentri, momenti

3 CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.

4 Il teorema sul cambiamento di variabili negli integrali multipli, in particolare doppi e tripli, è uno dei teoremi più sofisticati del Calcolo. Noi ci limiteremo ad enunciarlo e a mostrarne lapplicazione nei casi più comuni

5 Abbiamo già introdotto la nozione di funzione localmente invertibile. Ripetiamo e precisiamo meglio questa nozione Abbiamo affermato che se tra i quali f è biiettiva; dunque f(U) = V f : A R m R m, A aperto, è di classe C 1 (A), e se det J( f )(x 0 ) 0 allora f è localmente invertibile; cioè esistono intorni aperti U di x 0 e V di y 0 = f(x 0 ) x

6 Sappiamo che se una trasformazione è regolare, essa ha il determinate jacobiano non nullo in ogni punto del dominio e quindi f(A) è aperto anche se f non è necessariamente iniettiva su A. Una siffatta f è adatta a definire un cambiamento di variabili. Si può dimostrare poi che i punti singolari non costituiscono un insieme molto pesante (ha misura nulla secondo Lebesgue: Teorema di Sard)

7 Inoltre linversa locale tra gli intorni aperti V e U è di classe C 1 (V), e la sua matrice jacobiana è linversa della matrice jacobiana di f. Con queste precisazioni, possiamo enunciare il teorema sul cambiamento di variabili negli integrali multipli

8 Teorema (cambiamento di variabili ) Sia h : U R m V R m, U, V aperti, regolare e di classe C 1 (U), sia E U un compatto PJ-misurabile e f:h(E) R integrabile. Allora è integrabile fh su E e si ha

9 f(y)dy f(h(x))|det h(x) E h(E) |dx Per brevità di notazione abbiamo indicato y=h(x), e scritto h(x) al posto della matrice jacobiana. È chiaro che questa trasformazione di coordinate è conveniente se lintegrazione su E è più agevole di quella su h(E); per esempio E è un rettangolo e la nuova funzione da integrare non è troppo complicata

10 Esempio: Si voglia calcolare (x y)dxdy E con E = {(x,y): 0

11 nel rettangolo J= [1,2][1,2] del piano uv. La trasformazione inversa di h è g(u,v): x u v y u v che ha determinate jacobiano det g(u,v) = 1/2v > 0

12 Dunque (x y)dxdy E ( u v uv J ) 1 2 v dudv A conti fatti si trova 1/3 (4 - 2). Il dominio è divenuto un rettangolo e la funzione non si è troppo complicata

13 A parte i cambiamenti di variabili che possono essere suggeriti dalla natura del problema (tipo di dominio o particolarità della funzione), come abbiamo visto nellesempio precedente, i tipi di trasformazioni di coordinate più comuni, sono quelli che già abbiamo introdotto in una lezione precedente: il cambiamento di coordinate polari o (polari ellittiche) nel piano; il

14 cambiamento di coordinate cilindriche (o cilindrico ellittiche) e il cambiamento di coordinate sferiche (o ellissoidali) nello spazio. Precisamente

15 COORDINATE POLARI Sono le coordinate così individuate x cos y sen 0, 0 2 Sappiamo che questa trasformazione ha un solo punto singolare: lorigine (0,0) T

16 Infatti il determinante jacobiano è det J( x y ) = La trasformazione è biiettiva tra R 2 \(0,0) T, e {(,): >0, 0 < < 2π} Cioè vi è corrispondenza biunivoca tra tutto il piano x y privato dellorigine e una striscia infinita nel piano. Se indichiamo con h -1 (x,y) la trasformazione che a,

17 fa corrispondere x,y abbiamo f(x,y)dxdy f( cos, h 1 (E) E sen ) d d Se il dominio E è unellisse o parte di essa di semiassi a e b, è conveniente usare le coordinate polari ellittiche x = a cos, y = b sen. Il determinante Jacobiano è a b

18 Mostriamo come ciò sia utile nel calcolo dellarea di un ellisse o del volume di un ellissoide Sia E = {(x,y):x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1} m(E) d xdy ab h 1 (E) E d d Si trova facilmente m(E) = πab

19 Calcolo del volume di un ellissoide E = {(x,y):x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1} Si trova, dopo qualche calcolo non difficile, m(E) = (4/3)π abc Ricordiamo che il calcolo in coordinate cartesiane presentava invece qualche difficoltà

20 COORDINATE CILINDRICHE Sono le coordinate così individuate x cos y sen z u 0, 0 2, u R Il determinante jacobiano di questa trasformazione è. Lasse z è fatto di punti singolari

21 La trasformazione è biunivoca tra laperto dato da R 3 \{asse z} dello spazio x y z e laperto > 0, 0 < < 2π, u R, dello spazio u. Si può combinare questa trasformazione con quella delle coordinate ellittiche

22 COORDINATE SFERICHE Sono le coordinate così descritte x sen cos y sen cos z cos,,

23 Il determinante jacobiano di questa trasformazione è 2 sen. Lasse z è fatto tutto di punti singolari. La trasformazione è biunivoca tra laperto dato da R 3 \{semipiano x z, con x 0} dello spazio x y z e laperto > 0, 0 < < π, 0 < < 2π, dello spazio. Si può combinare que- sta trasformazione con quella delle coordinate ellittiche

24 Mostriamo come ciò sia facilissimo con questa trasformazione calcolare il volume dellellissoide E = {(x,y):x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1} Si trova facilmente, come noto, (4/3)π abc dxdydz 2 d sen d d E abc

25 APPLICAZIONI AL CALCOLO DI AREE, VOLUMI, BARICENTRI,MOMENTI

26 Già abbiamo applicato le trasformazioni di coordinate per calcolare alcune aree e volumi notevoli. Vogliamo ora presentare alcuni ulteriori esempi

27 Si calcolino i seguenti integrali doppi 1) Calcolare x 2 y 2 E dxdy dove E è la semicorona circolare con y 0 compresa tra i cerchi di raggi 2 e 3 e centro nellorigine

28 2) Calcolare arctg y x E dxdy dove E è la parte di piano compresa fra la spirale dArchimede dequazione = 2, per 0 π, e lasse x.

29 3) Calcolare (x 2 y 2 )dxdy E dove E è la parte di piano compresa fra lasse x, la circonferenza di raggio 1 e centro lorigine e la circonferenza di raggio 1 e centro in (1,0) T

30 Si calcolino i seguenti volumi 1) Volume della porzione di semisfera per z 0, che si proietta Sul piano x y sulla circonferenza di diametro r e centro in (r/2,0) T 2) Volume della porzione di cilindro circolare dequazione z = 1-x 2, che si proietta sul piano x y sul triangolo rettangolo di vertici (0,0) T, (1,0) T, (0,1) T

31 3) Volume della porzione di superficie paraboloidica dequazione 2 p z = x 2 + y 2 che si proietta sul piano x y in un cerchio con centro nellorigine a raggio r

32 BARICENTRI Il baricentro duna lamina piana E è dato dal punto di coordinate x xdxdy E m(E),y ydxdy E m(E)

33 Si calcolino i seguenti baricentri 1) Di un triangolo rettangolo 2) Di un settore circolare 3) Di una semiellissi 4) Di un segmento di parabola

34 MOMENTI DINERZIA Il momento dinerzia di un solido di densità unitaria rispetto a un asse assunto come asse z, solido che occupa la regione dello spazio E, è dato da M (x 2 y 2 )dxdydz E

35 Si calcolino i seguenti momenti dinerzia 1) Di un parallelepipedo rettangolo, rispetto ad uno spigolo 2) Di un cilindro rotondo, rispetto allasse 3) Di un ellissoide, rispetto ad un asse


Scaricare ppt "CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI."

Presentazioni simili


Annunci Google