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INTEGRALE (DI RIEMANN)PER FUNZIONI DI DUE E TRE VARIABILI SU RETTANGOLI.

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Presentazione sul tema: "INTEGRALE (DI RIEMANN)PER FUNZIONI DI DUE E TRE VARIABILI SU RETTANGOLI."— Transcript della presentazione:

1 INTEGRALE (DI RIEMANN)PER FUNZIONI DI DUE E TRE VARIABILI SU RETTANGOLI

2 Argomenti della lezione Definizione di integrali doppi e tripli secondo Riemann Definizione di integrali doppi e tripli secondo Riemann Proprietà dellintegrale. Classi di funzioni integrabili Proprietà dellintegrale. Classi di funzioni integrabili

3 DEFINIZIONE DI INTEGRALI DOPPI E TRIPLI SECONDORIEMANN

4 Introdurremo ora la nozione di integrale multiplo (secondo Riemann) in modo simile a quanto è stato fatto per funzioni di una sola variabile. I casi di funzioni di due o tre variabili sono quelli che cinteressano di più, ma, in via di principio, lo stesso metodo è applicabile a funzioni di più variabili reali (m > 3).

5 Sia dunque dato un intervallo o rettangolo chiuso I in R 2 o R 3 (più in generale in R m ). I = [a,b][c,d] in R 2 I = [a,b][c,d] [e,f] in R 3 I = [a 1,b 1 ][a 2,b 2 ] … [a m,b m ] in R m

6 Diremo scomposizione (decomposizione) del rettangolo I un insieme finito di punti di suddivisione sugli assi x, y, z (in generale sugli assi x 1, x 2,.., x m ) disposti come segue a = x 0 < x 1 < … < x p = b c = y 0 < y 1 < … < y q = d e = z 0 < z 1 < … < z r = f

7 Alternativamente si può dire decomposizione di I la famiglia finita dei sottorettangoli I ijk = [x i-1,x i ][y j-1,y j ][z k-1,z k ], i = 1,.., p; j = 1,.., q; k = 1,.., r Qui abbiamo descritto la situazione in R 3 ; successivamente rappresentiamo graficamente la situazione in R 2

8 x y a = x 0 x1x1x1x1 x2x2x2x2 x p-1 x p = b c = y 0 y1y1y1y1 y q-1 y2y2y2y2 d = y q I 12 I

9 Sia ora data una funzione a valori reali e limitata f: I R s R (s = 2, 3,.., N) Poiché f è limitata su tutto I, lo sarà su ogni I ij (consideriamo da ora in poi, per maggiore semplicità, il caso bidimensionale).

10 Sia m ij = inf {f(x,y): (x,y) T I ij } e sia M ij = sup {f(x,y): (x,y) T I ij } Indicheremo con la lettera una decomposizione finita di I e con D(I) linsieme di tutte le decomposizioni finite di I

11 Data una decomposizione di I, considereremo le somme inferiori relative alla funzione f e a relative alla funzione f e a Diremo poi somme superiori S(f, ) M ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) i 1,.., p j 1,.., q s(f, ) m ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) i 1,..,p j 1,..,q

12 Come si è fatto nel caso di dimensione 1, si può introdurre fra le decomposizioni di I una relazione di finezza: 1 è più fine di 2 se, su ogni asse, i punti di suddivisione di 1 sono un soprainsieme dei punti di 1 sono un soprainsieme dei punti di decomposizione di 2.

13 Cioè, se 2 è individuata dai punti di suddivisione sullasse x e y rispettivamente {a = x 0 < x 1 < … < x p = b} e {c = y 0 < y 1 < … < y q = d}, mentre 1 è individuata da {a = x 0 < x 1 < … < x p = b} e {c = y 0 < y 1 < … < y q = d}, diremo che 2 è meno fine di 1 (e scriveremo 2 1 e 1 2 ) se 2 1 e 1 2 ) se

14 {a = x 0 < x 1 < … < x p = b} {a = x 0 < x 1 < … < x p = b} e {c = y 0 < y 1 < … < y q = d} {c = y 0 < y 1 < … < y q = d} La relazione introdotta è una relazione dordine tra decomposizioni di I, che è un ordine parziale. Infatti esistono decomposizioni inconfrontabili

15

16 Le due decomposizioni precedenti sono inconfrontabili; nessuna è più fine dellaltra Si verifica, come nel caso unidimensionale, che date due decomposizioni 1 e 2 ne esiste una che è più fine di entrambe.

17 Basta prendere quella che ha, su ogni asse, lunione dei punti di decomposizione di 1 e 2. Inoltre, se 1 2 si verifica che s(f, 1 ) s(f, 2 ) e S(f, 1 ) S(f, 2 ) Questo fatto ci permette di riconoscere che le due classi delle somme inferiori e superiori sono separate:

18 Cioè, per ogni 1 e 2 in D(I), vale s(f, 1 ) S(f, 2 ) Infatti è ovvio che per ogni data sia s(f,) S(f,) Date poi 1 e 2 e detta una decomposizione più fine di entrambe, si ha s(f, 1 ) s(f,) S(f,) S(f, 2 )

19 Allora potremo considerare sup { s(f,) : D(I)} Il numero reale così ottenuto si dice lintegrale inferiore (secondo Riemann) di f esteso a I Analogamente inf { S(f,) : D(I)} è detto integrale superiore di f esteso ad I.

20 Gli integrali inferiore e superiore si indicano talvolta con i simboli I - f(x,y) dxdy I - f(x,y) dm I + f(x,y) dxdy I + f(x,y) dm e rispettivamente nel caso di integrali doppi

21 Qui dxdy è posto per ricordare larea o misura del sottorettangolo I ij. Allo stesso scopo si scrive più genericamente dm. Se accade che le classi delle somme inferiori e superiori siano contigue, cioè se accade che lintegrale superiore e inferiore siano uguali, allora la funzione si dice integrabile secondo Riemann e il valore comune si dice lintegrale (s.R.) di f esteso a I

22 I - f(x,y) dxdy = I + f(x,y) dxdy I f(x,y) dxdy = Scriveremo

23 Analogamente definiremo f(x,y,z)dxdydz f (x,y,z)dm I I f( x,y,z)dm f(x,y,z)dm I I

24 Nel caso dellintegrale triplo dm è indicato anche con dx dy dz e ricorda il volume del sottorettangolo I ijk Come nel caso unidimensionale vale la seguente condizione dintegrabilità di Riemann

25 Teorema (condiz. dintegrabilità di Riemann) f : I R m R, (m =2,3,..) è integrabile se e solo se per ogni > 0 D(I) tale che esiste D(I) tale che S(f,) - s(f,) < S(f,) - s(f,) <

26 Data la decomposizione = {I } e posto m = inf {f(x): x I } e M = sup {f(x): x I }, diremo oscillazione di f su I oscillazione di f su I = M - m = M - m Allora la condizione dintegrabilità diviene D(I) t.c. Per ogni > 0 esiste D(I) t.c. m

27 Dove sta al posto di ij o ijk e m =(x i -x i-1 )(y j -y j-1 ) e simili Si prova allora immediatamente che

28 Teorema Ogni funzione f : I R m R, (m =2,3,..) se è continua è integrabile su I

29 Infatti sappiamo che se f è continua su I chiuso e limitato, allora, per ogni > 0 esiste un > 0 (dipendente da ) tale che se x, y I e |x-y| < è |f(x) - f(y)| <. e |x-y| < è |f(x) - f(y)|

30 Se è una qualsiasi decomposizione avente diam() <, poiché per Weierstrass m = min {f(x): x I } = f(x ) e M = max {f(x): x I } = f(x ), allora = f(x ) - f(x ) < = f(x ) - f(x )

31 Si possono poi dimostrare i soliti teoremi sulla struttura dellinsieme delle funzioni integrabili su I Teorema (di linearità) Se f e g sono integrabili su I e, Se f e g sono integrabili su I e, sono numeri reali, allora f + g è integrabile su I e vale ( f I g )dm f d m I gdm I

32 Teorema (di monotonia) Se f e g sono integrabili su I e f(x) g(x) x I, allora fdm gdm I I In particolare, se f(x) 0 x I, allora fdm 0 I

33 Teorema (del valore assoluto) Se f è integrabile su I lo è anche |f| e si ha fdm I f d m I

34 Teorema (della media) Se f è integrabile su I e l = inf { f(x): x I}, L = sup { f(x): x I}, allora si ha lm(I) lm(I) fdm I Lm(I) In particolare, se f è continua su I fdm = f(c) m(I) I

35 dove c I e m(I) è la misura (area o volume) del rettangolo I Il numero 1 m(I) fdm I si dice la media integrale di f su I.

36 Teorema (del prodotto) Se f e g sono integrabili su I allora lo è f g. Teorema (di additività sul dominio) Se f è integrabile su I 1 e su I 2, che hanno solo una faccia in comune, allora è integrabile su I = I 1 I 2 e lintegrale è la somma degli integrali

37 INSIEMITRASCURABILI

38 Un insieme limitato T si dice Un insieme limitato T R m si dice trascurabile (o di misura elementare nulla) se, detto I un rettangolo che lo racchiude, per ogni > 0 esiste una decomposizione di I, tale che m(I )

39 dove sono stati indicati con I quei sottorettangoli tali che I T sottorettangoli tali che I T Si può allora dimostrare che una funzione limitata è funzione limitata f : I R m R, è integrabile se linsieme D f R-integrabile se linsieme D f dei suoi punti di discontinuità è trascurabile Questo risultato amplia notevolmente la classe delle funzioni R-integrabili.


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