La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

EQUAZIONI E SISTEMI DEQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "EQUAZIONI E SISTEMI DEQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI."— Transcript della presentazione:

1 EQUAZIONI E SISTEMI DEQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI

2 Argomenti della lezione Termini noti di tipo particolare Termini noti di tipo particolare Accenno ai sistemi con coefficienti costanti Accenno ai sistemi con coefficienti costanti Oscillazioni forzate Oscillazioni forzate

3 TERMINI NOTI DI TIPO PARTICOLARE

4 Se lequazione ha coefficienti costanti e il termine noto è dei seguenti tipi a) b(x) = P(x), grado P(x) = p Allora una soluzione è del tipo polinomio x k Q(x), con grado Q(x) = p, se a n =…= a n-k+1 = 0

5 Esempio –2y + 2y = x+1 Soluzione particolare x 2 (a x + b) = a x 3 + b x 2 Si trova a = 1/12, b =1/2

6 b) b(x) = ex P(x), grado P(x) = p e numero reale, radice dell equazione caratteristica di molteplicità r (r=0 se non è radice). Allora y(x) = ex x r Q(x), con grado Q(x) = p = grado P(x)

7 Esempio y–2y + y = e x (x+1) z = 1 è radice doppia dellequazione caratteristica; e x e xe x sono le soluzioni l.i. dellomogenea. Una soluzione particolare ha la forma u(x) = x 2 e x (ax+b) a e b R da determinare

8 Si trova a = 1/6, b = 1/2. Una soluzione particolare della completa è u(x) = x 2 e x (x/6+1/2)

9 c) b(x) = e ax [P 1 (x) cos(bx) + P 2 (x) sen(bx)] È il caso più generale del quale ci occuperemo. Ha come casi particolari i due casi precedenti. Se p = max(grado P 1 (x), grado P 2 (x) )e a + i b è radice di molteplicità r dellequazione caratteristica, una soluzione particolare ha la forma

10 u(x) = e ax x r [Q 1 (x) cos(b x) + + Q 2 (x) sen(b x)], grado Q 1 (x) = grado Q 2 (x) = p Si noti che la combinazione Q 1 (x) cos(b x) + + Q 2 (x) sen(b x) deve sempre comparire anche se può mancare in b(x).

11 Esempio y–2y + y = (x+1) sen x z = i non è radice dellequazione caratteristica: r = 0. Le soluzioni sono da ricercare nella forma u(x) = (a x + b) sen x + (c x + d) cos x, con a, b, c, d da determinare. Si trova

12 a = -1/3, b = -17/9, c = 2/3, d = 19/9. u(x) = (- x/3 - 17/9) sen x + (2 x/3 + 19/9) cos x Se b(t) è somma di funzioni dei tipi precedenti, si considererà la somma delle corrispondenti soluzioni particolari.

13 OSCILLAZIONIFORZATE

14 Se un punto materiale è soggetto ad una forza di tipo elastico ed il suo moto è frenato da una forza dattrito proporzionale alla velocità, situazione che spesso si può ipotizzare in problemi di tipo meccanico, lequazione del moto, supposto un solo grado di libertà, è m y = - k y - h y

15 Cioè y + (h/m) y + (k/m) y = 0 O anche y + 2 y + 2 y = 0 Qui h 2 m k m e

16 Se = 0, si ottengono oscillazioni dette libere descritte dalla soluzione generale y(t) = c 1 cos( t) + c 2 sen( t) o anche, equivalentemente, y(t) = A sen( t+) dove A è lampiezza dell oscillazione e la fase.

17 Landamento della soluzione è di tipo oscillatorio, detto moto armonico. La frequenza è detta la frequenza caratteristica delloscillatore

18 Se 0, lequazione caratteristica ha soluzioni Se > si ha un moto smorzato. La soluzione è combinazione lineare di due esponenziali decrescenti a 0 per t.

19 Se =, e la soluzione non è oscillatoria; si ha y(t) = (c + c 2 t) e - t Anche in questo caso y(t) tende a 0 per t.

20 Infine, se < si ha 1 i 2 i dove 2 2 La soluzione si può scrivere nella forma

21 y(t) = A e - t sen( t+) Si trovano infinite oscillazioni dette smorzate, di frequenza dette smorzate, di frequenza e di ampiezza A e - t

22 Supponiamo ora che una forza esterna sia impressa al punto materiale. Lequazione diviene allora y + 2 y + 2 y = f(t) Ci interessa in particolare il caso che f(t) = B cos( t)

23 Al moto armonico libero di frequenza si sovrappone unoscillazione forzata di frequenza se ; se = si assiste al se ; se = si assiste al fenomeno della risonanza. Lampiezza delloscillazione forzata cresce nel tempo come B t/(2 ). Lampiezza tende a per t.

24 Se = 0, la soluzione è del tipo y(t) = z(t) + u(t) con z(t) = A sen( t+), soluzione dellomogenea; una soluzione particolare della completa è data da

25 u(t) B 2 2 cos( t) se. Se invece =, si trova u(t) B 2 t sen( t )

26 Oscillazioni forzate y(t) = 5 sen(t+/10)+4 cos(3 t)

27 Risonanza y(t) = 5 sen(t+/10)- 16 t cos(4 t)

28 Se 0, una soluzione particolare della completa si trova con semplici calcoli u(t) B ( 2 2 ) sen( t ) dove

29 sen 2 2 ( 2 2 ) cos 2 ( 2 2 )

30 B ( 2 2 ) Lampiezza delloscillazione forzata è Se < / lampiezza ha un massimo per = ( ) 1/2 massimo per = ( ) 1/2 Anche in questo caso cè risonanza

31 Andamento dellampiezza, per = 2, = 1/2 = 2, = 1/2

32 Gli effetti della risonanza possono essere catastrofici Il crollo del ponte di Tacoma (Wa - USA) 7 novembre 1940

33 ACCENNO AI SISTEMI CON COEFFICIENTI COSTANTI

34 Un sistema completo con coefficienti costanti si scrive Y = A Y + B(x) Il sistema omogeneo è Y = A Y A è una matrice con coefficienti reali (o complessi)

35 Ricordando che lo sviluppo in serie per lesponenziale è convergente per ogni x reale e x = 1 + x + x 2 /2! x n /n! +.. Si può definire e A = 1 + A + A 2 /2! A n /n! +..

36 La matrice e A si può pensare definita componente per componente a partire dalla formula precedente Una matrice fondamentale che risolve il sistema omogeneo è U(x) = e xA Che sia fondamentale segue dal fatto che U(0) = I

37 In generale U(x) è lunga da calcolare, ma in alcuni casi speciali i calcoli si semplificano. Tuttavia ci fermiamo qui..


Scaricare ppt "EQUAZIONI E SISTEMI DEQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI."

Presentazioni simili


Annunci Google