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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE PRIME CONSIDERAZIONI.

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Presentazione sul tema: "EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE PRIME CONSIDERAZIONI."— Transcript della presentazione:

1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE PRIME CONSIDERAZIONI.

2 Generalità sulle equazioni differenziali. Generalità sulle equazioni differenziali. Argomenti della lezione Alcuni tipi dequazioni del primordine. Alcuni tipi dequazioni del primordine.

3 GENERALITÀ SULLE EQUAZIONIDIFFERENZIALI

4 Molti problemi di tipo fisico-tecnico o geometrico, conducono a considerare equazioni nelle quali intervengono come incognite i valori di una funzione y(x) e delle sue derivate y, y,..

5 Abbondano gli esempi 1) Equazione dun semplice circuito elettrico in serie V(t)= R i(t) + L di/dt Qui la funzione incognita è. Qui la funzione incognita è i(t).

6 2) Traiettoria di un galleggiante che si muove nella corrente di un fiume. In ogni punto di un insieme aperto che rappresenta la superficie A R 2 che rappresenta la superficie di un tratto del fiume è assegnata una direzione di moto (un campo di direzioni).

7 y (x) = f(x,y) Si cerca la traiettoria del galleggiante che, partendo da una posizione iniziale si muove in posizione iniziale (x 0,y 0 ) si muove in modo che il suo moto sia sempre tangente alla corrente. y (x) = f(x,y) y (x 0 ) = y 0

8 x0x0 y0y0

9 3) Data una famiglia di curve piane dipendenti da un parametro, dipendenti da un parametro f(x,y;c)=0, trovare lequazione differenziale della famiglia. Si ottiene, in condizioni favorevoli, eliminando la costante c dalle equazioni f(x,y;c) = 0 f x (x,y;c) + f y (x,y;c) y = 0

10 Per esempio, la famiglia delle circonferenze con centro sullasse x e passanti per lorigine: (x-a) 2 + y 2 = a 2 ha equazione differenziale y 2 - x x y y = 0.

11 Data Data f : A R n+2 R, A aperto, unequazione del tipo: f(x,y,y,…,y (n) ) = 0 si dice unequazione differenziale dordine n se f dipende effettivamente da y (n). Lequazione si dice di forma normale se è risolta nella derivata dordine massimo:

12 y (n) = f(x,y,y,…,y (n-1) ) Una funzione y(x) che sia n volte derivabile e che sostituita nell equazione differenziale la soddisfi identicamente si dice una soluzione o integrale dellequazione.

13 Un problema tipico che si pone per equazioni differenziali del primordine o per sistemi dequazioni del primordine è il Problema di Cauchy o ai valori iniziali: y (x) = f(x,y(x)) y (x 0 ) = y 0 trovare y(x) definita su un intervallo I, con x 0 I, tale che (1)

14 Vale in proposito il seguente Teorema Se f : A R 2 R è continua, allora esistono h >0 e y : ] x 0 - h,x 0 + h[ soluzione del problema. Se f y : A R 2 R

15 esiste ed è continua, allora la soluzione è unica. Ci occuperemo ora della soluzione di alcuni tipi particolari dequazioni del primordine.

16 ALCUNI TIPI PARTICOLARIDEQUAZIONIDIFFERENZIALI DEL PRIMORDINE

17 Equazioni a variabili separabili. Sono le equazioni del tipo con definita e continua su un con g(x) definita e continua su un intervallo I di R e di classe intervallo I di R e h(y) di classe J di R C 1 ( J ) su J intervallo di R. (A = I J) Sotto queste condizioni il problema di Cauchy ha una e una sola soluzione locale y = g(x) h(y) [ = f(x,y)] (2)

18 Se h(y 0 ) = 0, allora y(x) y 0, cioè la soluzione è la funzione costante. Se h(y 0 ) 0, allora la soluzione non sannulla in alcun punto.. (perché?) Dividendo la (2) per h(y) 0, si trova y (x)/ h(y(x)) = g(x) e quindi.. (calcoli a parte)

19 Esempio: y = y 2 y(x) = ____________ y0y0 1 + y 0 (x 0 - x) È interessante notare che la soluzione non è definita su tutto R, benché f(x,y) sia definita in R 2.

20 Equazioni omogenee. Sono le equazioni del tipo (3) y = f(y(x)/x) Prendendo come nuova funzione incognita u(x) = y(x)/x

21 Lequazione si trasforma nella Lequazione (3) si trasforma nellaseguente u (x) = (f(u(x))-u(x))/x che è a variabili separabili. Esempio 1: y y =y = ______ x+y Esempio 2: y = (y/x) + tg(y/x)


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