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Differenziale di una funzione... A cura del prof. Enzo Tonti.

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Presentazione sul tema: "Differenziale di una funzione... A cura del prof. Enzo Tonti."— Transcript della presentazione:

1 Differenziale di una funzione... A cura del prof. Enzo Tonti

2 ... Differenziale di una funzione: 2 di 11 Fissato un valore della variabile indipendente x consideriamo un incremento definito dalla espressione e valutiamo lincremento della funzione Consideriamo una funzione Ci proponiamo di far vedere che tale incremento si può scomporre in due parti: a) una parte lineare nellincremento della variabile b) una parte non lineare.

3 ... Per comprendere il senso di questa scomposizione tracciamo il grafico della funzione. Si vede che lincremento della funzione si decompone nella somma di due parti (segnate in verde e in rosso rispettivamente) x Differenziale di una funzione: 3 di 11 x y

4 Mentre la quantità, in generale, dipende sia da x che da x in modo nonlineare:... La quantità dy si può scrivere nella forma: x x Differenziale di una funzione: 4 di 11

5 ... Differenziale di una funzione: 5 di 11 Quindi la quantità y si può scrivere nella forma: x x

6 ... Quando x diminuisce anche dy e diminuiscono. Infatti, quando x tende a zero, il limite del rapporto tende ad un numero finito, in generale non nullo, mentre il limite del rapporto tende a zero. Differenziale di una funzione: 6 di 11 x x Dalla figura ci si rende conto che dy tende a zero con la stessa rapidità di x mentre tende a zero più rapidamente di x.

7 ... Quindi dy, che è la parte lineare dellincremento, ha lo stesso ordine di infinitesimo di x. Detto in altre parole: lincremento di una funzione si può decomporre nella somma di due parti: luna è lineare nellincremento della variabile, e ha lo stesso ordine di infinitesimo dellincremento della variabile, laltra è nonlineare e ha ordine di infinitesimo superiore allincremento della variabile. Differenziale di una funzione: 7 di 11 Per questa ragione dy si chiama differenziale della funzione nel punto x. Definizione: il differenziale di una funzione è la parte lineare del suo incremento.

8 Il differenziale di una funzione è quindi dato dal prodotto della derivata della funzione per lincremento della variabile.... In particolare se la funzione è la variabile indipendente stessa, poiché la derivata di x è 1 si ha dx = 1 x per cui il differenziale della variabile indipendente x, considerata come funzione di se stessa, uguaglia lincremento della variabile. Differenziale di una funzione: 8 di 11 si può scrivere Avendo introdotto il differenziale ne viene che la derivata, che è il limite di un rapporto è uguale al rapporto tra il differenziale della funzione e il differenziale della variabile indipendente. Pertanto la relazione

9 ... Linteresse del differenziale sta nel fatto che nella fisica, e di conseguenza nella tecnica, quando dobbiamo calcolare le piccole variazioni di una funzione in corrispondenza a piccole variazioni della variabile possiamo limitarci alla parte lineare dellincremento. Così nella equazione di stato di un gas perfetto se variamo il volume varia anche la pressione. La relazione esatta tra le due variazioni è: Se ci limitiamo a piccole variazioni, possiamo usare la parte lineare dellincremento, ovvero il differenziale, ottenendo la relazione approssimata: Questa relazione, sebbene approssimata, è assai più immediata da ottenere in quanto basta moltiplicare la derivata della funzione per lincremento della variabile. Differenziale di una funzione: 9 di 11 che, nella pratica, differisce di poco da quella esatta.

10 ... Lapprossimazione è conseguenza del fatto che invece di calcolare la variazione della funzione ci si limita a calcolare la parte lineare di tale variazione. Differenziale di una funzione: 10 di 11 In conclusione nella fisica il differenziale costituisce uno strumento molto semplice (basta fare una derivata) per valutare in modo approssimato le piccole variazioni che una funzione subisce in conseguenza di piccole variazioni date alla variabile.

11 ... Differenziale di una funzione fine Bibliografia. Francesco Severi, Lezioni di Analisi, vol. 1, Zanichelli 1941, pagine Francesco Tricomi, Lezioni di Analisi Matematica, Cedam, 1956, pagg ; (a cura del prof. Enzo Tonti)


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