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Le Macchine Elettriche

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Presentazione sul tema: "Le Macchine Elettriche"— Transcript della presentazione:

1 Le Macchine Elettriche
Alfredo Contin Università di Trieste Programma del Corso per i primi 3 CFU (30 ore circa): trasformatori motori in CC con diverse eccitazioni motori sincroni a poli lisci e salienti motori ad induzione (asincroni) avvolti e a gabbia Principi di funzionamento Equazioni per la statica e la dinamica Caratteristiche di macchina per la regolazione della velocità delle macchine rotanti

2 Programma del Corso per ulteriori 3 CFU (30 ore circa):
Le equazioni per la dinamica per i vari tipi di macchine - funzioni di trasferimento ed equazioni di stato - esempi di transitori di accensione e spegnimento Trasformatori - Il modello del trasformatore per lo stato stazionario - I diagrammi fasoriali - le caratteristiche di macchina Le Macchine Asincrone - il modello trasformatorico - le curve caratteristiche (diagramma circolare) - L’addensamento di corrente ed i rotori a gabbia - Le armoniche del Campo Rotante - Le coppie parassite

3 Programma per l’ultima parte del corso 3 CFU (30 ore circa)
Generatori Sincroni - Alternatori - i modelli di macchina ed i relativi circuiti equivalenti - le curva caratteristiche di macchina I Generatori in Continua - Modelli e curve caratteristiche - Studio della commutazione Le prove di tipo sulle macchine elettriche - prove a vuoto ed in corto circuito - determinazione di alcuni parametri caratteristici

4 Riferimenti Bibliografici
Fitzgerald, Kingsley, Kusko: Macchine Elettriche, Ed. Franco Angeli. Penati, Bertoni: I Sistemi di Controllo, Ed.Zanichelli. Bonometti: Convertitori di Potenza e Servomotori Brushless, Ed.Delfino Andriollo, Martinelli, Morini: I Trasformatori, teoria ed esercizi, Ed.Cortina 2003 Andriollo, Martinelli, Morini: Macchine Elettriche Rotanti, Ed.Cortina appunti del corso in > dispense -> contin alfredo >macchine elettriche

5 Terminologia e Convenzioni Generali
Def. di Macchina: sistema interposto tra sistemi preposti ad uno scambio di energia mediante il controllo o la trasformazione da una forma di energia in un’altra. di Macchina Elettrica: una delle forme di energia coinvolta è elettrica. I° Classificazione: possiamo classificare le macchine elettriche a seconda del modo di controllare il flusso di energia: a) variazione di alcune caratteristiche elettriche (trasformatori di tensione, di corrente, di frequenza, convertitori statici o dinamici AC DC) b) trasformazione dell’energia da/in elettrica<=>meccanica (una delle componenti è in movimento generatori e motori elettrici); c) trasformazione dell’energia da elettrica=>termica (stufe, forni elettrici); d) trasformazione dell’energia da elettrica<=>chimica (pile, accumulatori celle ad idrogeno);

6 Conversione Elettromeccanica della Energia
Def.: Conversione della energia elettrica con macchine che hanno organi in movimento. Generatori rotanti elettrici: macchine elettriche che ricevono energia meccanica in ingresso e la trasformano in energia elettrica. Motori elettrici: macchine elettriche che ricevono energia elettrica in ingresso e la trasformano in energia meccanica. Macchina ideale: fornisce in uscita lo stesso ammontare di energia che ha assorbito all’ingresso. Macchina reale: parte della energia in ingresso viene spesa per il funzionamento della macchina e per sopperire alle perdite che avvengono nella stessa. L’esame delle cause di perdita e la stima del loro ammontare è di fondamentale importanza sia tecnica che economica. Se ne tiene conto introducendo il concetto di RENDIMENTO.

7 Il Rendimento Macchina ideale => =1
Def.: Rapporto tra potenza resa (Pr) e quella assorbita (Pa). Dove Pp è la potenza persa in macchina. Macchina ideale => =1  funzione obiettivo da massimizzare a 1 minimizzando le perdite. Può essere espresso in % così da rendere immediata la valutazione della potenza persa %.  è il termine di paragone, anche economici, delle prestazioni tra macchine diverse. Pp non rimane costante al variare del carico perché le perdite sono legate alle prestazioni della macchina che possono variare al variare del carico stesso.

8 Principi di Funzionamento
Pur trattandosi di macchine diverse, il loro studio si fonda su una logica comune. la conversione elettromeccanica o il controllo di flusso di energia si attua per mezzo della interazione tra campi magnetici ed elettrici. Osservazione: la presenza di un campo magnetico si spiega perché le sue forze di attrazione/repulsione sono, a parità di volume, molto più intense rispetto quelle dei campi elettrici. Se si considera l’energia specifica (densità di energia) in spazi di aria (traferri) che separano le diverse componenti di macchina, si ha che: + densità di energia => + intensità nelle forze in gioco => a parità di superfici affacciate o volumi coinvolti Esempio: densità di energia magnetica in un traferro soggetto a B=1 [T]

9 densità di energia elettrostatica in un campo elettrico di K=10000 [V/cm] (esistono micromotori basati su forze di tipo elettrostatico) caso dei motori endotermici => densità di energia fino a 107 [J/m3]. Le macchine elettriche sono sedi di campi magnetici sostenuti da distribuzioni di correnti circolanti in circuiti elettrici immersi in mezzi eterogenei e non lineari, aventi prefissate configurazioni geometriche. In generale, le componenti delle macchine elettriche sono 3: 1) Circuito elettrico che genera e sostiene il campo magnetico e trasforma l’energia elettrica in magnetica (sistema elettrico induttore). 2) Circuito che concentra il campo magnetico. 3) Circuito elettrico che, concatenandosi con il circuito magnetico da cui assorbe energia, è sede di grandezze elettriche generate dal campo magnetico stesso (sistema elettrico indotto).

10 Le Ipotesi di Campo L’approccio logico per il loro studio è legato alla soluzione di equazioni differenziali di campo (metodo teoricamente corretto ma praticamente poco utilizzabile => software di simulazione basato su elementi finiti e differenze finite). Per i modelli di macchina utilizzati nei controlli e negli azionamenti è necessario introdurre delle ipotesi di campo semplificative Le Ipotesi (semplificative) di Campo: hanno lo scopo di individuare l’andamento qualitativo delle linee di flusso del campo magnetico senza ricorrere alla soluzione di complicate equazioni differenziali. Segue la determinazione quantitativa del campo mediante le equazioni dell’elettromagnetismo applicate a strutture semplificate

11 Le Equazioni Interne di Macchina
Si tratta di individuare i circuiti magnetici semplificati; individuare i circuiti elettrici concatenati con il campo magnetico; scrivere le equazioni sfruttando le regole dell’elettromagnetismo. ciò porta a scrivere le equazioni interne di una macchina elettrica che sono: A) Legge di Ohm per il circuito elettrico che genera il campo magnetico; B) Equazione che descrive lo svolgimento del campo magnetico; C) Equazione di concatenazione tra campo elettrico e magnetico; D) Leggi di Ohm per i circuiti elettrici accoppiati con il campo magnetico (Induttore ed Indotto). Le incognite sono: I) le correnti dei circuiti elettrici di macchina; II) il flusso di induzione magnetica o flusso principale che si concatena con i circuiti elettrici (definizione critica).

12 Tm(t)=Tr(t)+F(t)+Jd(t)/dt
Le Equazioni Esterne di Macchina La macchina elettrica è, per definizione, un sottosistema che scambia energia. E’ necessario introdurre delle equazioni che traducano in forma analitica i vincoli esercitati dai sottosistemi accoppiati con la macchina (equazioni di collegamento esterno o equazioni esterne di macchina) Caso dei Motori Elettrici: Energia Elettrica => Energia Meccanica Vincoli di Ingresso: generalmente rappresentato dalla imposizione del regime di tensioni (DC, AC, PWM, etc.). Vincoli di Uscita: è un vincolo meccanico (coppia all’asse, velocità angolare, posizione etc). Ciò si traduce in relazioni del tipo V=V(t), T=T(t), di equilibrio elettrico e meccanico tipo : Tm(t)=Tr(t)+F(t)+Jd(t)/dt Osservazione: le equazioni interne ed esterne devono essere messe in relazione tra loro per descrivere in modo univoco il funzionamento della macchina.

13 Le Perdite nelle Macchine Elettriche
Sulla base della descrizione dei principi di funzionamento, è possibile precisare la natura delle perdite comuni a tutti i tipi di macchine qui considerate (perdite attive che si trasformano in calore). La dissipazione provoca il riscaldamento della macchina. Il livello di temperatura deve essere contenuto per non provocare la degradazione dei materiali isolanti e di alcune parti meccaniche (sistemi di raffreddamento adeguati). Le perdite incidono sul costo di esercizio. La limitazione delle perdite si persegue con: limiti per le sollecitazioni elettriche e magnetiche; limiti per le sollecitazioni meccaniche; scelta dei materiali (magnetici, conduttori, isolanti); accorgimenti costruttivi; sistemi di dissipazione e smaltimento del calore.

14 1) Perdite per Effetto Joule:
Sono le perdite che si manifestano in tutte le componenti della macchina elettrica attraversate da una corrente elettrica. L’effetto degli urti dei portatori di carica con la struttura da essi attraversata produce un aumento della vibrazione atomica con cui è costituita la struttura stessa (caratteristica microscopica descritta dal concetto macroscopico di calore). Dal punto di vista macroscopico, l’attitudine di un materiale a far passare i portatori di carica viene riassunto dal concetto di resistenza elettrica). Se R è la resistenza dei conduttori ed I il valore efficace della corrente che lo percorre, la potenza dissipata per effetto Juole vale: Pj=RI2 R varia con la temperatura ed è influenzata dalla frequenza (effetto pelle nei conduttori) Le perdite possono essere valutate in termini di perdite per unità di peso o perdite specifiche [W/Kg]. è utile per il confronto tra materiali diversi.

15 Sia  il peso specifico, l,s la lunghezza e la sezione del conduttore; j la densità di corrente, allora ora (ls) è il peso dell’avvolgimento, per cui Perdite nei materiali ferromagnetici: L’uso di materiali ferromagnetici è fondamentale per realizzare circuiti a bassa riluttanza magnetica ed ottenere circuiti magnetici che convoglino il campo in un spazio ridotto. A parità di intensità di campo, in assenza di tali materiali, le correnti necessarie per la generazione del campo dovrebbero avere una notevole intensità.

16 Questi materiali non sono ideali e dissipano energia (perdite nel ferro) se sottoposti a campi a frequenza variabile, con due meccanismi principali: (A) perdite per isteresi e (B) per correnti parassite. A) perdite per isteresi magnetica in regime di frequenza variabile, ad ogni ciclo di isteresi corrisponde, in termini di energia dissipata per unità di volume, l’area del ciclo stesso. Pi=kifBM [W/Kg] Pi è proporzionale alla frequenza f, ki è una costante che dipende dal materiale scelto, BM riassume le caratteristiche dell’area sottesa dal ciclo di isteresi magnetica 1.62.1 (2). La scelta del tipo di materiale ferromagnetico è legata alla applicazione e dipende da BM e dalla forma dell’area. Materiali migliori hanno un BM elevato ed un’area piccola (più costosi).

17 B) Perdite per Correnti Parassite (di Foucault)
Esempio di curva di prima magnetizzazione Esempio di curva di perdita B) Perdite per Correnti Parassite (di Foucault) a causa della conducibilità del materiale ferromagnetico, in regime di frequenza variabile, il flusso variabile induce delle f.e.m. che generano correnti vaganti in circuiti non noti a priori con conseguente dissipazione di energia per effetto Joule. Se il campo varia con legge B(t)=BMcos(t), la potenza dissipata, Pd, risulta con i corrente istantanea concatenata con il flusso .

18 Pd=kp’f2BM2 [W/Kg] Se (t)=SBMcos(t)
(s superfice appoggiata sul circuito dove scorre la corrente i) Pd diventa: il cui valore medio, in un periodo T=/2 vale In regime sinusoidale, la potenza dissipata per unità di peso può essere stimata con Pd=kp’f2BM [W/Kg] kp’ dipende all’incirca, dall’inverso di  e dalla forma geometrica della sezione trasversale del circuito magnetico Provvedimenti per ridurre le perdite nel ferro: a) materiali con scarsa conducibilità ( elevato): leghe ferro silicio; b) laminazione del circuito magnetico: il nucleo del circuito magnetico è realizzato accostando lamierini di piccolo spessore (3.55 mm) isolati tra loro in modo che i tubi di flusso di correnti parassite siano vincolati a chiudersi all’interno del lamierino stesso.

19 Si allunga il percorso della corrente in una sezione più stretta.
Pd=kp2f2BM2 [W/Kg] I materiali ferromagnetici possono essere caratterizzati da una Cifra di Perdita (Cp): potenza persa in un Kg di materiale quando sia sottoposto ad una induzione sinusoidale con valore B=1 T alla f=50Hz. Nota Cp =>Pf=Cp(f/50)mBM2 [W/Kg] m=1.21.8 C) Perdite Meccaniche sono presenti dove ci sono componenti in movimento e si distinguono in: perdite per attrito: Pma=ka= ka(d/dt) perdite per ventilazione: causate dal moto vorticoso dell’aria generato da parti in movimento o dalle ventole di raffreddamento Pmv=kv3= kv(d/dt)3

20 D) Perdite Addizionali
sono perdite dovute ai flussi variabili e sono legate alle caratteristiche costruttive della macchina perdite per correnti parassite nei conduttori degli avvolgimenti; perdite per isteresi e correnti parassite nelle parti metalliche della macchina che non fanno parte del circuito magnetico (bulloni, tiranti, carcassa, etc.) Perdite nei contatti striscianti. E) Perdite dovute alle armoniche la forma d’onda del campo magnetico non è sinusoidale (saturazione, presenza delle cave). Le armoniche di flusso generano solo perdite.

21 La non -linearità la non linearità della caratteristica magnetica provoca degli effetti di distorsione che devono essere adeguatamente valutati. Se ne da una descrizione qualitativa. Se si impone che i flussi siano sinusoidali (tensione impressa sinusoidale), ne segue che le correnti di magnetizzazione (che generano i flussi) sono distorte. Se invece si impone che la corrente di magnetizzazione sia sinusoidale, l’induzione e, conseguentemente il flusso, vengono distorti.

22 Le Grandezze Nominali Tutte le macchine sono definite da un insieme di parametri di tipo costruttivo (dimensioni, tipo di avvolgimento, tipo di isolamento, tipo di raffreddamento….) funzionale (tensione, corrente, frequenza,…) grandezze nominali: definiscono le prestazioni agli effetti della ordinazione e del collaudo e corrispondono a valori di grandezze elettriche e meccaniche per le quali la macchina è stata dimensionata (dati di targa). I limiti elettrici e termici dipendono principalmente dal tipo di isolamento adottato che da un lato definisce i valori ammissibili delle sollecitazioni dovute al campo elettrico sui dielettrici, dall’altro stabilisce la massima temperatura ammissibile (Classi d’Isolamento) determinata dalle perdite nei materiali conduttori e magnetici, dalle perdite meccaniche, dal tipo di servizio e dal sistema di raffreddamento. Scelta dei valori di densità di corrente e di induzione

23 Le Classi di Isolamento

24 TIPI DI SERVIZIO - TRANSITORI TERMICI
Per tenere conto, a livello di norme, del comportamento in funzione del carico di un componente elettromeccanico si definiscono i seguenti diversi tipi di servizi (CEI EN34-1, sez.3): S1 - Servizio continuo S2 - Servizio di durata limitata S3 - Servizio intermittente S4 - Servizio intermittente periodico con avviamento che influenza il riscaldamento della macchina S5 - Servizio intermittente periodico con avviamento e frenatura che influenza il riscaldamento della macchina S6 - Servizio ininterrotto con carico intermittente S7 - Servizio ininterrotto con avviamento e frenatura che influenzano il riscaldamento della macchina S8 - Servizio ininterrotto con cambiamento periodico della velocità

25 Tipo di Servizio Secondo le norme

26 Tipo di Servizio Secondo le norme

27 MACCHINA AD ASSE ORIZZONTALE RAFFREDDATA IN CICLO CHIUSO
RAFFREDDAMENTO CIRCUITO APERTO VENTILAZIONE DI MACCHINA CHIUSA REFRIGERANTE MACCHINA AD ASSE ORIZZONTALE RAFFREDDATA IN CICLO CHIUSO

28 CLASSIFICAZIONE IN BASE AL MODO DI RAFFREDDAMENTO

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30 NORME SUL TIPO DI RAFFREDDAMENTO DELLE MACCHINE ROTANTI
I metodi di raffreddamento delle macchine elettriche rotanti sono classificati dalla norma: CEI 2-7/97- IEC (IC CODE I° e II°) Il codice IC tipo I° semplificato si riferisce solamente all’aria ed è costituito dal codice IC seguito da due cifre caratteristiche La prima indica la disposizione del circuito di raffreddamento La seconda la modalità con cui è fornita la potenza necessaria alla circolazione del fluido di raffreddamento quando la seconda cifra è 1 (autocircolazione con dispositivo per muovere il fluido di raffreddamento montato sull’albero della macchina), tale cifra può essere omessa

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34 Il codice IC II° completo è costituito al massimo da cinque lettere o numeri, ad esempio:
IC 8 A 1 W 7 Il significato della sigle è indicato nella tabella seguente.

35 GRADO DI PROTEZIONE DELLE MACCHINE ELETTRICHE
MACCHINE APERTE: nessun dispositivo è stato previsto per impedire o rendere difficile l’accesso a qualcuna delle sue parti interne MACCHINE CHIUSE: le parti attive sono contenute in un involucro che non permette il passaggio di aria di raffreddamento fra l’esterno e l’interno MACCHINE per Atmosfere Esplosive: è una macchina speciale adatta a funzionare in ambienti con pericolo di esplosione (CEI 2-2, 88)

36 MACCHINE PROTETTE: è costruita in modo da impedire l’accesso a parti interne, senza ostacolare il passaggio di aria di raffreddamento fra l’esterno e l’interno Protetta Contro Corpi Solidi: impedire la penetrazione di corpi solidi di diametro maggiore rispettivamente a mm. (grossi, medi, piccoli) Protetta Contro lo Stillicidio: impedire che le gocce liquide o particelle solide, cadenti sulla macchina con un angolo non maggiore di 15° rispetto alla verticale, non possano raggiungere le parti attive interne, né direttamente, né indirettamente scivolando lungo le superfici inclinate

37 Protetta Contro gli Spruzzi di Acqua: impedire che le gocce liquide o particelle solide, cadenti sulla macchina con un angolo non maggiore di 60° rispetto alla verticale, non possano raggiungere le parti attive interne, né direttamente, né indirettamente scivolando lungo le superfici inclinate Con Bocche di Ventilazione: le parti attive sono contenute in un involucro che permette il passaggio dell’aria di raffreddamento attraverso opportune aperture previste per essere raccordate con l’ambiente diverso da quello in cui la macchina è installata NORME CEI EN 60529/70-1: Gradi di protezione degli involucri. Norma generale che si applica a tutti gli apparati elettrici ed è la norma più generale

38 NORME CEI EN /2-16: Classificazione dei gradi di protezione degli involucri delle macchine elettriche rotanti. Norma particolare CEI - IEC (IP CODE) Il codice IP completo è costituito da due numeri, ad esempio: IP 54 Il significato della sigle è indicato nella tabella seguente. La sigla indicata come esempio significa: macchina protetta contro l’ingresso di polvere in quantità tale da pregiudicarne il buon funzionamento e contro l’ingresso di acqua proveniente da qualsiasi direzione. (L’acqua non deve provocare effetti nocivi).

39 Macchina ad Asse Orizzontale
Raffreddata in Ciclo Aperto Grado di protezione dettato dalla forma della griglia di presa e di uscita dell’aria

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42 ELEMENTI OGGETTO DI UNIFICAZIONE IN UNA MACCHINA ROTANTE
1 H 2 B A

43 FORME COSTRUTTIVE DELLE MACCHINE ELETTRICHE ROTANTI
Le forme costruttive delle macchine elettriche rotanti sono definite dalla Norma: CEI 2-14/97 - IEC 34 / 7 (IM CODE I & II) (Classificazione delle forme costruttive e dei tipi di installazione) Il Codice IM-I° riguarda unicamente le macchine con supporti a scudo e con una sola estremità di albero IM + B/V+Numero B=asse orizzontale; V=verticale

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48 Il Codice IM completo è costituito da 4 numeri: IM 7535
La sigla IM significa: macchina ad asse orizzontale; con supporti a cavalletto, due cuscinetti, con piedi sollevati, su basamento su cui poggiano anche i supporti; con estremità d’albero flangiata.

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50 Richiami di Elettromagnetismo
Generazione del campo magnetico: una corrente elettrica produce un campo magnetico nello spazio che la circonda. Il campo magnetico e tutti i fenomeni magnetici, sono generati da correnti in moto. Cond. rettilineo Legge di Biot-Savart Forze magnetiche tra correnti elettriche

51 Campo generato da una corrente in circuito chiuso
Legge di Ampere: data una corrente I in un conduttore a lunghezza infinita, il campo B è costante in ampiezza lungo una linea circolare. La circolazione magnetica valutata su un percorso circolare di raggio R è

52 Il flusso magnetico attraverso una superficie S posta in un campo magnetico vale:
Il campo magnetizzante è Legge di circuitazione magnetica: La circolazione del campo magnetizzante lungo una linea chiusa è uguale alla corrente libera totale che fluisce nel percorso. Se ho N linee chiuse affiancate: Circuito magnetico ideale: regione dello spazio costituita da un tubo di flusso in cui posso considerare il vettore B costante in modulo.

53 Dato un tubo di flusso di lunghezza L, ed A una qualsiasi superficie che si appoggia al tubo, la legge della circuitazione diventa: NI = ampere/spire di magnetizzazione Se il tubo di flusso è regolare a tratti: Se B è uniforme nella sezione (A=BdA). Essendo il vettore H // a dl Rm è la riluttanza o la resistenza magnetica del circuito considerato

54 Legge dell’induzione (Faraday-Henry): sia (t) il flusso concatenato con un circuito elettrico. Esso induce una forza elettro-motrice (forza che mette in moto cariche elettriche) nel circuito elettrico in ragione della rapidità della variazione del flusso stesso. La direzione del moto delle cariche è tale da generare un nuovo campo magnetico che si oppone a quello che lo ha generato. Flusso totale, (t): tiene conto del campo generato. Flusso concatenato: è la quota delle linee del campo che si chiudono inglobando il circuito elettrico. Coefficiente di Auto-Induzione: Considero un conduttore chiuso dove fluisce la corrente I. Si genera un campo magnetico nello spazio circostante. Possiamo calcolare il flusso del campo magnetico attraverso il circuito dovuto al campo generato dalla corrente che fluisce nel circuito stesso. (flusso autoconcatenato)

55 sia (t) il flusso concatenato con un circuito elettrico, esso è proporzionale alla causa che lo genera (t) = Li(t). L (coefficiente di auto induzione) dipende dalla forma del conduttore e dal mezzo in cui il conduttore è inserito [H].

56 1(t) =M12i2(t) 2(t) =M21i1(t)
Coefficiente di Mutua-Induzione: Considero due conduttori chiusi dove fluiscono le correnti I1 ed I2. Nel loro intorno si stabilisce un campo magnetico le cui linee si concatenano diversamente. Possiamo calcolare il flusso del campo magnetico generato da I1 che si concatena con il circuito 2 e viceversa. 1(t) =M12i2(t) 2(t) =M21i1(t) Mij (coefficienti di mutua-induzione) dipende dalla forma del conduttore e dal mezzo in cui il conduttore è inserito e dall’orientamento [H].

57 Esempio: Bilancio Energetico esempio di studio di un semplice sistema elettromeccanico lineare. Sia R la resistenza dell’avvolgimento, composto di N spire, che genera il campo magnetico. Sia v(t) la tensione applicata ai suoi morsetti. Questa fa circolare la corrente i(t) che genera il flusso (t). (t) concatenandosi con le N spire induce una f.e.m. (legge di Lenz). Se applichiamo il II°principio di Kirchoff alla maglia di ingresso del circuiro elettrico si ha: i(t) v(t) N e(t) (t) Per valutare gli scambi energetici che avvengono nel sistema nell’intervallo di tempo dt, si moltiplicano entrambi i membri per i(t)dt

58 v(t)i(t)dt è l’energia elettrica assorbita nel tempo dt dal circuito, energia fornita dalla sorgente esterna. Ri2(t)dt è l’energia elettrica dissipata in calore per effetto Joule sulla resistenza R. i(t)d(t) è la somma della variazione di energia magnetica immagazzinata nel circuito magnetico (dWm) e del lavoro meccanico sviluppato (d) dall’ancora meccanica posta in rotazione (d) dalla coppia magnetica . Se si manifesta uno spostamento d dell’elemento mobile, ricordando l’espressione della energia magnetica in un sistema lineare il cui coefficiente di auto induzione è L

59 Ne viene che equazione fondamentale della conversione elettromeccanica della energia. Le grandezze variabili nel tempo in modo sinusoidale (fasori) Legge di Faraday-Henry in forma differenziale Legge di Ampere-Maxwell in forma differenziale Se le grandezze di campo elettrico () e magnetico (B) variano lentamente in modo che si possano trascurare le derivate rispetto al tempo, allora i campi elettrici e magnetici possono essere studiati separatamente, non interagiscono tra loro (condizione di quasi-stazionarietà).

60 y(t)=YMsin (t+) => y(t)=YMcos (t+)
Sia y(t) una grandezza variabile nel tempo in modo sinusoidale (cosinusoidale) y(t)=YMsin (t+) => y(t)=YMcos (t+) YM è il valore massimo; t è una fase che varia linearmente con il tempo, t, in proporzione alla pulsazione =2f= 2/T. f è il numero di variazioni che la y(t) compie al secondo (Hertz) e T è il periodo di tempo dopo il quale la y(t) si ripete uguale a se stessa.  è la fase iniziale (per t=0) a cui viene associato il valore iniziale della y(t=0)=y( ). Per semplicità si assume =0 (traslazione di assi). Valore medio: Y(t) t T

61 Valore medio in metà periodo:
Valore efficace in metà periodo: è il valore che elevato al quadrato fornisce la potenza del segnale in un periodo di tempo T.

62 Fattore di forma: lega tra loro valore medio e valore efficace Rappresentazione vettoriale (i fasori): La rappresentazione di una grandezza sinusoidale in termini di tempo non è funzionale dal punto di vista del calcolo. Si preferisce passare attraverso una sua rappresentazione vettoriale (trasformate di Steinmetz). I vettori rappresentativi possono essere espressi analiticamente in termini di numeri complessi e graficamente mediante i fasori. La relazione tra queste rappresentazioni è data dalle equazioni di Eulero

63 Intuitivamente, se si fa ruotare un vettore r su un piano con pulsazione costante , questo descrive una traettoria circolare. Se, istante per istante, si proietta il vertice del vettore sull’asse orizzontale e verticale, nel tempo si viene a tracciare una traettoria che è descivibile con una funzione cosin e sin, rispettivamente. Se y(t) una grandezza variabile nel tempo in modo sin o cosin y(t)=YMsin (t+) => y(t)=IM[YMe j(t+)] y(t)=YMcos (t+) => y(t)=RE[YMe j(t+)] dove y= YMe j(t+)= YMe jt ej= (YM ej)e jt (YM ej) rappresenta il valore iniziale della nostra funzione di tempo e rimane fissa rispetto all’asse di riferimento del piano di Gauss (Re-Im) e corrisponde al fasore della grandezza sinusoidale.

64 Il termine moltiplicativo e jt sta ad indicare che il vettore ruota attorno all’origine nel verso indicato come positivo con pulsazione  costante nel tempo. Si può anche scrivere che y=YMe j(t+)=YM[cos (t+)+jsin(t+)] la funzione seno costituisce il coefficiente della parte immaginaria del vettore rotante mentra la funzione coseno costituisce quella reale. Analogamente, YM ej=YM[cos +jsin]= YM[a+jb] Una volta conosciuto il fasore, lo posso scrivere in forma binomia e metterlo in relazione con altri fasoro che hanno la stessa pulsazione come relazione tra vettori sfruttando l’algebra vettoriale (vettori e matrici). Assegnato un vettore rotante: y=YMe j(t+), la sua derivata vale: dy/dt=d(YMe j(t+)/dy=jYMe j(t+)= jy. La derivata di un vettore rotante è pari al modulo del vettore stesso moltiplicato per la pulsazione e risulta sfasato in senso antiorario di 90° (/2) rispetto al vettore assegnato.


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