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... ATTENZIONE ! per visualizzare le formule occorre avere installato lEquation Editor di Office oppure il programmino Math Type.

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Presentazione sul tema: "... ATTENZIONE ! per visualizzare le formule occorre avere installato lEquation Editor di Office oppure il programmino Math Type."— Transcript della presentazione:

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2 ... ATTENZIONE ! per visualizzare le formule occorre avere installato lEquation Editor di Office oppure il programmino Math Type

3 Lorigine delle analogie in fisica Enzo Tonti...

4 cosa è una analogia ? 15 : 3 = 60 : 12 questa è una proporzione i numeri del membro di sinistra sono diversi da quelli di destra ma il rapporto di sinistra è uguale al rapporto di destra. Questo è il più semplice esempio di analogia....

5 cosa è una analogia ? Lanalogia è linvarianza di una relazione o di un enunciato per cambiamento degli elementi coinvolti. Rosen J, Fundamental Manifestation of Symmetry in Physics Foundation of Physics Vol. 20, No. 3, 1990, p

6 il ruolo delle analogie... Le analogie svolgono un ruolo fondamentale sia nella ricerca scientifica che nellapprendimento in quanto permettono di trasferire senza difficoltà nozioni che ci sono familiari in un campo al campo che stiamo studiando. Le analogie sono come delle strade nella mente: una volta che siamo riusciti a mettere le nuove nozioni su queste strade il pensiero scorre velocemente ripercorrendo tratti che ci sono familiari.

7 analogie e formalismi... Osservando le onde del mare, le vibrazioni di una corda, le vibrazioni dellaria, quelle del campo elettromagnetico, vi scorgiamo un comportamento analogo. Questo ci porta a concepire un formalismo, quello della teoria delle onde descritto dallequazione differenziale di dAlembert che è di tipo iperbolico. I formalismi sono possibili perché cè un comportamento analogo in fenomeni diversi.

8 analogie e formalismi... Ricordiamo i seguenti formalismi: 1.formalismo dei sistemi dinamici 2.formalismo delle reti generalizzate 3.formalismo della teoria matematica dei campi 4.formalismo della termodinamica irreversibile 5.formalismo della prima quantizzazione 6.formalismo della seconda quantizzazione.

9 analogie in fisica... In fisica le analogie tra due diversi campi si manifestano solitamente nel fatto che le equazioni che compaiono nei due campi siano uguali o, al più, simili nonostante che le variabili corrispondenti siano profondamente diverse sia nella loro natura matematica (scalari, vettori, tensori, ecc) sia nel loro contenuto fisico.

10 perché vi sono le analogie in fisica?... Richard Feynman si pone la domanda: Why are the equations from different phenomena so similar? … Is it possible that … the thing which is common to all phenomena is the space, the framework into which the physics is put? Da questa domanda e da questa laconica risposta si evince che la ragione delle analogie in fisica non è affatto chiara, anche se è ragionevole che lo spazio svolga un ruolo essenziale.

11 perché vi sono analogie in fisica? il nostro punto di partenza.... Le equazioni, in fisica, esprimono delle relazioni tra le GRANDEZZE FISICHE. Tutta la descrizione matematica della fisica è resa possibile dallesistenza delle GRANDEZZE FISICHE. Non sarà allora che esaminando direttamente le GRANDEZZE FISICHE si possa scoprire la ragione delle analogie? Ecco il nostro punto di partenza: le GRANDEZZE FISICHE.

12 ... Le grandezze fisiche si dividono in due grandi categorie: costanti e variabili Noi ci occuperemo delle variabili. GRANDEZZE parametri di sistema, costanti universali, costanti materiali, coefficienti, moduli, fattori, ecc. COSTANTI e PARAMETRI potenziali, variabili statiche, variabili dinamiche, variabili energetiche, variabili cinematiche, variabili elettromagnetiche, ecc. VARIABILI

13 ... I flussi, di qualunque grandezza fisica, quali: un flusso di energia, un flusso di massa, un flusso di entropia, un flusso di quantità di moto, un flusso elettrico, un flusso magnetico, un flusso di carica, un flusso di neutroni in un reattore nucleare, un flusso di probabilità in meccanica quantistica, ecc. sono sempre riferiti ad una superficie. il processo di creazione delle variabili fisiche: i flussi

14 ... l contenuti, di qualunque variabile fisica, quali: il contenuto di energia, il contenuto di massa, il contenuto di entropia, il contenuto di quantità di moto, il contenuto di carica, il contenuto di probabilità in meccanica quantistica, il contenuto di neutroni in un reattore nucleare, ecc. sono sempre riferiti ad un volume. il processo di creazione delle variabili fisiche: i contenuti

15 ... le circolazionie di un vettore lungo una linea, quali: la circolazione della forza, la circolazione della velocità nei fluidi, la forza elettromotrice la forza magnetomotrice lallungamento di un segmento nella meccanica dei solidi deformabili ecc. sono sempre riferite ad una linea. il processo di creazione delle variabili fisiche: le circolazioni

16 ... il potenziale elettrico, il potenziale gravitazionale, il potenziale della velocità nei fluidi, il potenziale scalare magnetico il potenziale termico ovvero la temperatura lo spostamento nella meccanica dei solidi deformabili ecc. sono sempre riferiti ad un punto. il processo di creazione delle variabili fisiche: i potenziali

17 ... Si vede allora che le variabili fisiche globali sono associate ai quattro elementi spaziali: quindi le variabili fisiche sono associate agli elementi spaziali punti P(potenziali) linee L(circolazioni) superfici S(flussi) volumi V(contenuti)

18 ... A rimarcare questa associazione sta il fatto che noi formiamo le densità dividendo le variabili globali per lestensione dellelemento spaziale e, successivamente, passando al limite facendo tendere a zero lestensione dellelemento spaziale. le variabili fisiche sono associate agli elementi spaziali Nascono così: la circolazione per unità di lunghezza, il flusso per unità di area, il contenuto per unità di volume.

19 ... Risposta: Per liberarci della geometria che è attaccata alle variabili globali ed ottenere in tal modo delle funzioni del punto. la creazione delle densità … Domanda: Per quale motivo noi formiamo le densità puntuali di linea, di superficie, di volume ?

20 ... Domanda: Per quale motivo vogliamo le funzioni di punto ? …per la formulazione differenziale Conclusione: Ecco la ragione che ci spinge a formare le densità ! … rendere possibile la formulazione differenziale. Risposta: perché queste rendono possibile la formazione delle derivate totali o parziali e quindi luso delle equazioni differenziali.

21 ... Senonché: nel momento stesso in cui ci siamo liberati della geometria per soddisfare le brame della formulazione differenziale, abbiamo nascosto linformazione fondamentale e cioè che le variabili fisiche nascono associate agli elementi spaziali. cosa abbiamo perduto? Come vedremo, è proprio lassociazione agli elementi spaziali che rende possibile la spiegazione delle analogie in fisica !

22 ... Def: chiameremo variabili GLOBALI tutte le variabili che non sono densità. definiamo le variabili globali

23 ... Def: chiameremo variabili GLOBALI tutte le variabili che non sono densità. definiamo le variabili globali Perché non usare il nome variabili integrali ? Per almeno tre ragioni. Prima ragione: alcune variabili, quali: la temperatura, il potenziale elettrico, il potenziale gravitazionale, il potenziale chimico, lo spostamento non sono variabili integrali mentre sono variabili globali.

24 ... definiamo le variabili globali …perché non usare il nome variabili integrali ? Seconda ragione: concepire il flusso come ottenuto mediante un integrale di superficie vuol dire partire dalle funzioni di punto e quindi dalla formulazione differenziale, cosa che vogliamo evitare.

25 ... definiamo le variabili globali …perché non usare il nome variabili integrali ? Terza ragione: in laboratorio noi misuriamo più facilmente le variabili globali che non le loro densità: è più facile misurare il flusso … … che misurare il vettore densità di flusso

26 ... le variabili globali sono funzioni di dominio Le variabili globali sono associate a volumi, a superfici, a linee e a punti. Questi sono dei domini tri-dimensionali, bi-dimensionali, uni-dimensionali, zero-dimensionali. Le variabili globali sono quindi funzioni di dominio.

27 orientazione degli elementi spaziali...

28 Gli elementi spaziali si possono orientare Gli elementi spaziali si possono dotare di orientazione. Vi sono due tipi di orientazione di un elemento spaziale: 1.orientazione interna 2.orientazione esterna.

29 orientazione interna Gli elementi spaziali si possono orientare orientazione esterna...

30 le variabili fisiche si possono dividere in tre classi: Variabili di sorgente Variabili di configurazione Variabili energetiche

31 ... le tre classi di variabili forza momento quantità di moto momento angolare tensore degli sforzi pressione impulso massa carica elettrica spostamento elettrico densità di corrente ecc. vettore raggio angoli di Eulero velocità velocità angolare tensore di deformazione velocità di deformazione temperatura potenziale elettrico induzione magnetica dilatazione cubica velocità di dilatazione cubica ecc. Variabili di configurazione Variabili di sorgente Variabili energetiche lavoro energia potenziale energia cinetica entalpia energia libera funzione di Gibbs azione ecc.

32 ... … e qui cè una piacevole sorpresa: Si constata che le variabili di configurazione sono naturalmente associate agli elementi spaziali e temporali dotati di orientazione interna. Si constata che le variabili di sorgente sono naturalmente associate agli elementi spaziali e temporali dotati di orientazione esterna. si constata che le variabili di configurazione sono associate agli elementi spaziali dotati di orientazione interna mentre quelle di sorgente sono associate agli elementi spaziali dotati di orientazione esterna

33 ... evidenziamo gli elementi spaziali Nella formulazione differenziale i punti sono protagonisti in quanto si utilizzano funzioni di punto. Per poter utilizzare la matematica occorre associare ai punti dei numeri, le coordinate. Nascono così i sistemi di coordinate. Usando le funzioni di dominio occorre descrivere gli elementi spaziali, non solo i punti. Lo strumento più naturale è costituito dai complessi di celle.

34 ... I complessi di celle ora entrano in campo i complessi di celle

35 ... il complesso primale: orientazione interna Dotiamo ogni elemento che compone il complesso di una orientazione interna. Dividiamo la regione di piano o di spazio in cellette, ad esempio in triangoli, rettangoli, tetraedri, esaedri. Otteniamo un complesso di celle 2D3D

36 il complesso duale: orientazione esterna Per ogni triangolo consideriamo il circocentro: congiungendo i circocentri di due triangoli adiacenti costruiamo un complesso duale: il complesso di Voronoi. 2D3D Ne viene che ogni elemento del complesso duale è automaticamente dotato di orientazione esterna indotta da quella interna del corrispondente elemento primale....

37 PLSVPLSV complesso primale orientazione interna complesso duale orientazione esterna classificazione degli elementi spaziali punto linea superficie volume... volume superficie linea punto

38 ... classificazione delle variabili fisiche: elettrostatica V = voltage V = electrical potential PLSVPLSV = electric flux Q Q = electric charge source variables dual cell complex outer orientation configuration variables primal cell complex inner orientation

39 ... T = temperature T configuration variables primal cell complex inner orientation source variables dual cell complex outer orientation PLSVPLSV classificazione delle variabili fisiche: conduzione termica S S = heat production P = temperature difference P Q = heat Q

40 Equazione fondamentale Variabili di configurazione Complesso primale Variabili di sorgente Complesso duale temperatura gradiente temperatura Sorgente termica Densità di flusso Fourier Poisson Conduzione termica stazionaria...

41 Equazione fondamentale Variabili di configurazione Complesso primale Variabili di sorgente Complesso duale potenziale elettrico intensità campo elettrico densità di carica Spostamento elettrico Poisson elettrostatica...

42 classificazione delle variabili fisiche: elasticità = displacement PLSVPLSV = surface force = volume force = relative displacement configuration variables primal cell complex inner orientation source variables dual cell complex outer orientation

43 classificazione delle variabili fisiche: fluidi vicosi = relative velocity = velocity PLSVPLSV... = volume force = surface force source variables dual cell complex outer orientation configuration variables primal cell complex inner orientation

44 conclusione: Le variabili fisiche globali sono naturalmente riferite agli elementi spaziali, Punti, Linee, Superfici, Volumi.... Da questa associazione nasce il fatto che le relazioni tra le grandezze fisiche di due teorie siano le stesse. Questo spiega lesistenza delle analogie in fisica. fine


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