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... ATTENZIONE ! per visualizzare le formule occorre avere installato lEquation Editor di Office oppure il programmino Math Type.

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Presentazione sul tema: "... ATTENZIONE ! per visualizzare le formule occorre avere installato lEquation Editor di Office oppure il programmino Math Type."— Transcript della presentazione:

1 ... ATTENZIONE ! per visualizzare le formule occorre avere installato lEquation Editor di Office oppure il programmino Math Type

2 ... Formulazione finita dellelettromagnetismo partendo dai fatti sperimentali 1 / 55

3 ... La formulazione differenziale delle leggi fisiche 2 / 55 Lavvento dei calcolatori ha fatto nascere la necessità di avere una descrizione discreta delle leggi fisiche. Invece di ripartire dalle leggi fisiche per ottenere direttamente una formulazione discreta sono stati escogitati diversi procedimenti per discretizzare le equazioni differenziali. Dai tempi dellinvenzione del calcolo infinitesimale, avvenuta circa tre secoli fa, le leggi fisiche sono state formulate in termini di equazioni differenziali. Cosa è avvenuto ?

4 ... Il procedimento che si segue per giungere alla risoluzione dei problemi della fisica è illustrato nello schema che segue: per problemi di media difficoltà soluzione approssimata per problemi semplicissimi soluzione analitica per problemi complessi soluzione numerica La soluzione numerica, esige la trasformazione delle equazioni differenziali in equazioni algebriche. 3 / 55 Procedimento attuale Leggi sperimentali Equazioni differenziali

5 metodi spettrali Dalla formulazione differenziale a quella discreta problemi fisici differenze finite equazioni differenziali soluzione numerica edge elementspoint matchingelementi finitiboundary elementsmomentisistemi algebrici Siamo abituati a scrivere le leggi della fisica direttamente in forma di equazioni differenziali e successivamente le convertiamo in equazioni algebriche attraverso uno dei tanti metodi di discretizzazione / 55

6 ... È possibile una formulazione finita dellelettromagnetismo? ? E proprio il processo di discretizzazione necessario per la soluzione numerica che fa nascere la seguente domanda: 5 / 55 Formulazione finita

7 ... … è facile, … è possibile, … è intuitiva, … si presta immediatamente alla risoluzione numerica. 6 / 55 Vogliamo dimostrare che una formulazione finita:

8 ... La formulazione integrale Una formulazione finita sembra essere esistere già: la formulazione integrale. Senonché la formulazione integrale è indotta dalla formulazione differenziale, non è ottenuta a partire dalle leggi sperimentali. Teorema di Gauss Teorema di Stokes Formulazione integrale 7 / 55 Formulazione differenziale Leggi sperimentali

9 Dalla formulazione differenziale a quella finita equazione differenziale... problema fisico soluzione numerica sistema algebrico dopo possiamo dedurre la formulazione differenziale … se è necessario! 8 / 55

10 ... Formulazione finita Lobiettivo che ci proponiamo è quello di ottenere una formulazione finita che parta dai fatti sperimentali. Da questa sarà possibile poi dedurre la formulazione integrale e infine quella differenziale. 9 / 55 Leggi sperimentali Formulazione finita Formulazione integraleFormulazione differenziale

11 ... Le variabili dellelettromagnetismo parte I Dal momento che la formulazione matematica di una teoria fisica è resa possibile dallesistenza grandezze fisiche appare evidente che una formulazione finita delle leggi fisiche deve partire da un riesame delle grandezze fisiche. 10 / 55

12 ... variabili globali variabili intermedie variabili locali globaliintermedie locali 11 / 55 Una prima classificazione delle variabili fisiche:

13 densità tasso densità coordinate complessi di celle funzioni di punto funzioni di dominio... Una prima classificazione delle variabili fisiche formulazione finita variabili globali corrente densità di flusso densità di corrente flusso di carica formulazione differenziale variabili locali variabili intermedie variabili intermedie 12 / 55

14 ... weber coulomb Flusso magnetico Flusso elettrico Impulso di forza elettromotrice Impulso di forza magnetomotrice Carica contenuta Carica fluita Le 6 variabili locali dellelettromagnetismo 13 / 55 Le 6 variabili globali dellelettromagnetismo

15 ... Il flusso elettrico si misura (col metodo dellazzeramento) La carica contenuta si misura La carica uscita si misura 14 / 55 Le variabili globali si misurano ! La tensione magnetica si misura (col metodo dellazzeramento)

16 / 55 La tensione elettrica ed il flusso magnetico si calcolano

17 ... Quindi alle grandezze globali si può dare una definizione operativa Questo implica che possono essere prese come punto di partenza per la formulazione finita. 16 / 55 definizione operativa

18 ... Le leggi dellelettromagnetismo 17 / 55

19 ... La carica elettrica che esce attraverso il bordo di un volume durante un intervallo di tempo è opposta alla variazione della carica contenuta nel volume durante lintervallo. Conservazione della carica 18 / 55 At Q

20 ... Il flusso elettrico attraverso il bordo di un volume ad un istante è uguale alla carica elettrica contenuta entro il volume in quellistante. Induzione elettrostatica (Gauss) 19 / 55

21 ... Il flusso magnetico associato al bordo di un volume ad ogni istante è nullo. Legge di Gauss della magnetostatica 20 / 55 Vt

22 ... Legge di Faraday-Neumann 21 / v Vt Limpulso della forza elettromotrice lungo il bordo di una superficie durante un intervallo è opposto alla variazione del flusso magnetico associato alla superficie in quellintervallo.

23 ... Limpulso della forza magnetomotrice lungo il bordo di una superficie durante un intervallo è uguale al flusso di carica attraverso la superficie nellintervallo aumentato della variazione del flusso elettrico associato alla superficie in quellintervallo. Legge di Ampère-Maxwell 22 / 55 Vt magnetometro

24 ... Uno dei principi fondamentali dellelettromagnetismo è il principio di sovrapposizione degli effetti (quando le cariche e le correnti si considerino congelate). Esso assicura la linearità delle equazioni. In sintesi le leggi fondamentali dellelettromagnetismo sono: il principio di sovrapposizione degli effetti la legge della conservazione della carica la legge dellinduzione elettrostatica (Gauss) la legge di Gauss della magnetostatica la legge di Faraday-Neumann la legge di Ampère-Maxwell Riassunto 23 / 55

25 ... Ampère- Maxwell Conservazione carica Gauss Faraday-Neumann Che corrispondono alle equazioni in forma differenziale Riassumendo: le equazioni dellelettromagnetismo in forma finita sono: 24 / 55

26 ... Le 4+1 leggi dellelettromagnetismo 25 / 55 Per queste ragioni si possono denominare EQUAZIONI DI STRUTTURA valgono QUALUNQUE sia la forma e la dimensione degli elementi geometrici a cui fanno riferimento (linee, superfici, volumi); valgono anche se linee, superfici e volumi stanno a cavallo di materiali DIVERSI; NON CONTENGONO misure di lunghezza, di area, di volume, di angoli, di durata e quindi non sono equazioni metriche; valgono anche per mezzi in MOVIMENTO.

27 ... Le variabili dellelettromagnetismo parte II 26 / 55

28 ... In ogni teoria fisica del macrocosmo le variabili fisiche si possono classificare in una delle tre classi seguenti: (Hallen 1947) Variabili di configurazione Variabili di sorgente Variabili energetiche Una seconda classificazione delle variabili fisiche 27 / 55

29 ... sono quelle che descrivono la configurazione del campo. 1 - variabili di configurazione 28 / 55 il potenziale elettrico, Fra queste vi sono: le variabili geometriche e quelle cinematiche della meccanica, il potenziale vettore magnetico, lintensità del campo elettrico, il vettore induzione magnetica, il flusso magnetico, la forza elettromotrice, ecc.

30 ... sono quelle che descrivono le sorgenti del campo. 2 - variabili di sorgente 29 / 55 il vettore densità di corrente, Fra queste vi sono: le variabili statiche e quelle dinamiche della meccanica, lintensità del campo magnetico, La carica elettrica il vettore induzione elettrica, la forza magnetomotrice, la corrente elettrica, ecc.

31 LAVORO = forza spostamento... ENERGIA CINETICA = quantità di moto velocità POTENZA = forza velocità ENTALPIA = U + pressione volume Variabili energetiche Variabili di sorgente Variabili di configurazione ENERGIA POTENZIALE = peso altezza sono quelle che risultano dal prodotto di una variabile di sorgente per una di configurazione. Tipiche sono il lavoro, lenergia, la densità di energia elettrica e magnetica, la potenza, ecc. 3 - variabili energetiche 30 / 55

32 ... Orientazione internaOrientazione esterna I due tipi di orientazione di un elemento geometrico 31 / 55

33 ... Associazione agli elementi orientati 32 / 55 Si constata che le variabili di configurazione sono naturalmente associate agli elementi spaziali e temporali dotati di orientazione interna. Si constata che le variabili di sorgente e quelle energetiche sono naturalmente associate agli elementi spaziali e temporali dotati di orientazione esterna. variabili di configurazione orientazione: interna variabili di sorgente ed energetiche orientazione: esterna

34 / 55 Le equazioni precedenti danno la struttura del campo. Le variabili di configurazione sono legate alle variabili di sorgente mediante le equazioni costitutive. Nellelettromagnetismo si hanno tre equazioni costitutive: Le equazioni costitutive in forma finita

35 Equazioni costitutive Sono le equazioni che legano le variabili di sorgente con le variabili di configurazione variabili di sorgente variabili di configurazione... equazioni costitutive 34 / 55

36 ... Le equazioni costitutive in forma finita 35 / 55 nel differenziale + Equazione costitutiva elettrica Perpendicolarità: Uniformità del campo Lunghezze e aree:

37 ... Le equazioni costitutive in forma finita 36 / 55 nel differenziale Equazione costitutiva magnetica Perpendicolarità: Uniformità del campo Lunghezze e aree:

38 ... Le equazioni costitutive in forma finita 37 / 55 nel differenziale Equazione di Ohm Perpendicolarità: Uniformità del campo Lunghezze e aree:

39 ... Le equazioni costitutive in forma finita 38 / 55 + Perpendicolarità: Uniformità del campo Lunghezze e aree:

40 ... Le equazioni costitutive in forma finita 39 / 55 Le equazioni costitutive DIPENDONO DAL MEZZO; possono essere lineari o non lineari, possono descrivere un materiale isotropo o anisotropo. Dal momento che sono sperimentate in condizioni di campo UNIFORME il loro utilizzo in campi non uniformi è approssimato. A causa di questo fatto noi siamo spinti ad usarle in regioni infinitesime. Ed è per questo che siamo invitati a fare la formulazione differenziale. Senonché è sufficiente considerare regioni SUFFICIENTEMENTE piccole, secondo una tolleranza prestabilita per ogni problema. Contengono NOZIONI METRICHE, quali lunghezze, aree, volumi, perpendicolarità.

41 ... Riassumendo: le equazioni dellelettromagnetismo in forma finita sono: 40 / 55 Ampère- Maxwell Gauss Faraday- Neumann Equazioni costitutive

42 I fenomeni fisici si svolgono nello spazio. Per poterli descrivere in termini matematici occorre passare attraverso la geometria. matematica... geometria spazio 41 / 55 fisica Il ruolo della geometria

43 ... Il ruolo della geometria 42 / 55 La formulazione differenziale, accanto ai numerosi meriti, ha il torto di spogliare la fisica degli aspetti geometrici in quanto riduce tutte le grandezze a funzioni del punto. Che laspetto geometrico diventi sempre più importante lo mostra il successo che stanno ottenendo le forme differenziali esterne le quali restituiscono alle leggi fisiche quegli aspetti geometrici che erano impliciti ( ma nascosti ) nella formulazione differenziale. La formulazione numerica, al contrario, necessita di rendere esplicita la geometria che era nascosta nella formulazione differenziale. Occorre quindi dare più importanza alla geometria, ( topologia, metrica, affinità, ecc. ) nello studio della fisica

44 ... I complessi di celle 43 / 55

45 ... Nella formulazione differenziale si usano funzioni del punto e quindi occorre utilizzare un sistema di coordinate. Nella formulazione finita occorre invece introdurre un complesso di celle. La risoluzione numerica dei problemi elettromagnetici si ottiene quindi applicando le leggi in forma finita alle singole celle del complesso. I complessi di celle 44 / 55 Applicando le equazioni in forma finita ad ogni cella del complesso si perviene ad un sistema di equazioni algebriche.

46 Poligoni duali di Voronoi Alcune leggi fisiche devono essere applicate alle celle di un complesso altre a quelle del complesso duale. Questo può essere formato dai poligoni i cui lati tagliano ortogonalmente i lati del primale nei punti di mezzo. Questi si chiamano poligoni di Voronoi.... Gli assi dei lati si Intersecano nel circocentro 45 /

47 ... Complesso primale Complesso duale Complesso di celle nel tempo e suo duale tempo 46 / 55

48 ... Formulazione finita Formulazione differenziale 47 / 55 Sistema algebrico Attraverso un processo di discretizzazione Faraday-Neumann

49 ... Estensione delle leggi di Kirchhoff ai campi 48 / 55 Le equazioni finite del campo elettromagnetico che abbiamo esposto sono lestensione delle equazioni circuitali di Kirchhoff ai campi. Conservazione della carica Faraday-Neumann Correnti nodali Tensioni di maglia campicircuiti

50 ... Applicazioni numeriche 49 / 55

51 Data una regione bidimensionale delimitata da una poligonale ABCDEA, assegnato il potenziale sui lati ABCD, assegnati i flussi elettrici sui lati DEA, si vuole determinare il potenziale nei vertici in cui il potenziale è incognito (vertici in giallo)... Poisson discreta relativa al nodo h Esempio di elettrostatica. 50 / 55 E D A B C Potenziale assegnato Potenziale incognito

52 ... coefficienti di capacità propria coefficienti di capacità mutua Equazione di Poisson discreta 51 / 55

53 ... determinazione dei potenziali Si ottiene in tal modo un sistema di tante equazioni quanti sono i potenziali incogniti. 52 / 55

54 ... Conclusione 1 / 2 In questo modo si perviene ad un sistema di equazioni algebriche e quindi si possono risolvere numericamente tutti i problemi di campo. Abbiamo visto che facendo uso delle variabili globali, è possibile scrivere le equazioni del campo elettromagnetico direttamente in forma finita. Facendo poi uso di un complesso di celle si possono applicare le equazioni in forma finita alle singole celle del complesso. 53 / 55 Questo mostra che la formulazione differenziale, non è lunica formulazione possibile.

55 ... Conclusione 2 / 2 La formulazione finita mette in evidenza alcune proprietà geometriche che la formulazione differenziale teneva nascoste. La formulazione finita è molto semplice, può essere usata anche in un Istituto Tecnico in quanto non richiede le equazioni alle derivate parziali. In particolare mette in luce il ruolo dei due complessi e delle orientazioni interna ed esterna. 54 / 55

56 ... Riassumendo: le equazioni dellelettromagnetismo in forma finita sono: 55 / 55 Ampère- Maxwell Gauss (elettrica) Gauss (magnetica) Faraday- Neumann Equazioni costitutive

57 ftp.dic.units.it/pub/science Questo materiale si può prelevare dal sito:


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