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1 ATTENZIONE ! per visualizzare le formule occorre avere installato l’Equation Editor di Office oppure il programmino Math Type ...

2 Formulazione finita dell’elettromagnetismo
partendo dai fatti sperimentali ... 1 / 55

3 La formulazione differenziale delle leggi fisiche
Dai tempi dell’invenzione del calcolo infinitesimale, avvenuta circa tre secoli fa, le leggi fisiche sono state formulate in termini di equazioni differenziali. L’avvento dei calcolatori ha fatto nascere la necessità di avere una descrizione discreta delle leggi fisiche. Cosa è avvenuto ? Invece di ripartire dalle leggi fisiche per ottenere direttamente una formulazione discreta sono stati escogitati diversi procedimenti per discretizzare le equazioni differenziali. ... 2 / 55

4 Equazioni differenziali
Procedimento attuale Il procedimento che si segue per giungere alla risoluzione dei problemi della fisica è illustrato nello schema che segue: Leggi sperimentali La soluzione numerica, esige la trasformazione delle equazioni differenziali in equazioni algebriche. Equazioni differenziali per problemi semplicissimi soluzione analitica per problemi di media difficoltà soluzione approssimata per problemi complessi soluzione numerica ... 3 / 55

5 Dalla formulazione differenziale a quella discreta
Siamo abituati a scrivere le leggi della fisica direttamente in forma di equazioni differenziali e successivamente le convertiamo in equazioni algebriche attraverso uno dei tanti metodi di discretizzazione. problemi fisici sistemi algebrici soluzione numerica equazioni differenziali .... metodi spettrali edge elements boundary elements point matching momenti elementi finiti differenze finite ... 4 / 55

6 È possibile una formulazione finita dell’elettromagnetismo?
E’ proprio il processo di discretizzazione necessario per la soluzione numerica che fa nascere la seguente domanda: ? È possibile una formulazione finita dell’elettromagnetismo? ... 5 / 55

7 Vogliamo dimostrare che una formulazione finita:
… è possibile, … è facile, … è intuitiva, … si presta immediatamente alla risoluzione numerica. ... 6 / 55

8 La formulazione integrale
Una formulazione finita sembra essere esistere già: la formulazione integrale. Senonché la formulazione integrale è indotta dalla formulazione differenziale, non è ottenuta a partire dalle leggi sperimentali. Leggi sperimentali Formulazione differenziale Formulazione integrale Teorema di Gauss Teorema di Stokes ... 7 / 55

9 Dalla formulazione differenziale a quella finita
problema fisico sistema algebrico soluzione numerica equazione differenziale dopo possiamo dedurre la formulazione differenziale … se è necessario! ... 8 / 55

10 Formulazione integrale
Formulazione finita L’obiettivo che ci proponiamo è quello di ottenere una formulazione finita che parta dai fatti sperimentali. Da questa sarà possibile poi dedurre la formulazione integrale e infine quella differenziale. Leggi sperimentali Formulazione finita Formulazione integrale Formulazione differenziale ... 9 / 55

11 Le variabili dell’elettromagnetismo parte I
Dal momento che la formulazione matematica di una teoria fisica è resa possibile dall’esistenza grandezze fisiche appare evidente che una formulazione finita delle leggi fisiche deve partire da un riesame delle grandezze fisiche. Le variabili dell’elettromagnetismo parte I ... 10 / 55

12 Una prima classificazione delle variabili fisiche:
variabili globali variabili intermedie variabili locali globali intermedie locali ... 11 / 55

13 Una prima classificazione delle variabili fisiche
formulazione finita complessi di celle variabili globali funzioni di dominio densità tasso flusso di carica variabili intermedie corrente densità di flusso densità di corrente variabili locali funzioni di punto formulazione differenziale coordinate 12 / 55 ...

14 Le 6 variabili globali dell’elettromagnetismo
Flusso magnetico Impulso di forza elettromotrice Carica contenuta Carica fluita Flusso elettrico Impulso di forza magnetomotrice weber coulomb Le 6 variabili locali dell’elettromagnetismo ... 13 / 55

15 Le variabili globali si misurano !
La carica contenuta si misura La carica uscita si misura Il flusso elettrico si misura (col metodo dell’azzeramento) La tensione magnetica si misura (col metodo dell’azzeramento) ... 14 / 55

16 La tensione elettrica ed il flusso magnetico si calcolano
... 15 / 55

17 definizione operativa
Quindi alle grandezze globali si può dare una definizione operativa Questo implica che possono essere prese come punto di partenza per la formulazione finita. ... 16 / 55 ...

18 Le leggi dell’elettromagnetismo
... 17 / 55

19 Conservazione della carica
At Q La carica elettrica che esce attraverso il bordo di un volume durante un intervallo di tempo è opposta alla variazione della carica contenuta nel volume durante l’intervallo. ... 18 / 55

20 Induzione elettrostatica (Gauss)
Il flusso elettrico attraverso il bordo di un volume ad un istante è uguale alla carica elettrica contenuta entro il volume in quell’istante. 19 / 55 ...

21 Legge di Gauss della magnetostatica
Vt Il flusso magnetico associato al bordo di un volume ad ogni istante è nullo. ... 20 / 55

22 Legge di Faraday-Neumann
L’impulso della forza elettromotrice lungo il bordo di una superficie durante un intervallo è opposto alla variazione del flusso magnetico associato alla superficie in quell’intervallo. v Vt ... 21 / 55

23 Legge di Ampère-Maxwell
Vt magnetometro Legge di Ampère-Maxwell L’impulso della forza magnetomotrice lungo il bordo di una superficie durante un intervallo è uguale al flusso di carica attraverso la superficie nell’intervallo aumentato della variazione del flusso elettrico associato alla superficie in quell’intervallo. ... 22 / 55

24 In sintesi le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo sono:
Riassunto Uno dei principi fondamentali dell’elettromagnetismo è il principio di sovrapposizione degli effetti (quando le cariche e le correnti si considerino congelate). Esso assicura la linearità delle equazioni. In sintesi le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo sono: il principio di sovrapposizione degli effetti la legge della conservazione della carica la legge dell’induzione elettrostatica (Gauss) la legge di Gauss della magnetostatica la legge di Faraday-Neumann la legge di Ampère-Maxwell ... 23 / 55

25 Riassumendo: le equazioni dell’elettromagnetismo in forma finita sono:
Che corrispondono alle equazioni in forma differenziale Riassumendo: le equazioni dell’elettromagnetismo in forma finita sono: Gauss Gauss Faraday-Neumann Ampère- Maxwell Conservazione carica ... 24 / 55

26 Le 4+1 leggi dell’elettromagnetismo
valgono QUALUNQUE sia la forma e la dimensione degli elementi geometrici a cui fanno riferimento (linee, superfici, volumi); valgono anche se linee, superfici e volumi stanno a cavallo di materiali DIVERSI; NON CONTENGONO misure di lunghezza, di area, di volume, di angoli, di durata e quindi non sono equazioni metriche; valgono anche per mezzi in MOVIMENTO. Per queste ragioni si possono denominare EQUAZIONI DI STRUTTURA ... 25 / 55

27 Le variabili dell’elettromagnetismo parte II
... 26 / 55

28 Una seconda classificazione delle variabili fisiche
In ogni teoria fisica del macrocosmo le variabili fisiche si possono classificare in una delle tre classi seguenti: (Hallen 1947) Variabili di configurazione Variabili di sorgente Variabili energetiche ... 27 / 55

29 1 - variabili di configurazione
sono quelle che descrivono la configurazione del campo. Fra queste vi sono: le variabili geometriche e quelle cinematiche della meccanica, il potenziale elettrico, il potenziale vettore magnetico, il flusso magnetico, il vettore induzione magnetica, l’intensità del campo elettrico, la forza elettromotrice, ecc. ... 28 / 55

30 2 - variabili di sorgente
sono quelle che descrivono le sorgenti del campo. Fra queste vi sono: le variabili statiche e quelle dinamiche della meccanica, il vettore densità di corrente, l’intensità del campo magnetico, la forza magnetomotrice, il vettore induzione elettrica, La carica elettrica la corrente elettrica, ecc. ... 29 / 55

31 3 - variabili energetiche
sono quelle che risultano dal prodotto di una variabile di sorgente per una di configurazione. Tipiche sono il lavoro, l’energia, la densità di energia elettrica e magnetica, la potenza, ecc. Variabili energetiche Variabili di sorgente Variabili di configurazione LAVORO = forza spostamento ENERGIA POTENZIALE = peso altezza ENERGIA CINETICA = quantità di moto velocità POTENZA = forza velocità ENTALPIA = U + pressione volume 30 / 55 ...

32 I due tipi di orientazione di un elemento geometrico
Orientazione interna Orientazione esterna ... 31 / 55

33 Associazione agli elementi orientati
variabili di configurazione orientazione: interna variabili di sorgente ed energetiche orientazione: esterna Si constata che le variabili di sorgente e quelle energetiche sono naturalmente associate agli elementi spaziali e temporali dotati di orientazione esterna. Si constata che le variabili di configurazione sono naturalmente associate agli elementi spaziali e temporali dotati di orientazione interna. ... 32 / 55

34 Le equazioni costitutive in forma finita
Le equazioni precedenti danno la struttura del campo. Le variabili di configurazione sono legate alle variabili di sorgente mediante le equazioni costitutive. Le equazioni costitutive in forma finita Nell’elettromagnetismo si hanno tre equazioni costitutive: ... 33 / 55

35 Equazioni costitutive
Sono le equazioni che legano le variabili di sorgente con le variabili di configurazione equazioni costitutive variabili di configurazione variabili di sorgente ... 34 / 55 ...

36 Le equazioni costitutive in forma finita
Equazione costitutiva elettrica + Perpendicolarità: Uniformità del campo Lunghezze e aree: nel differenziale ... 35 / 55

37 Le equazioni costitutive in forma finita
Equazione costitutiva magnetica Perpendicolarità: Uniformità del campo Lunghezze e aree: nel differenziale ... 36 / 55

38 Le equazioni costitutive in forma finita
Equazione di Ohm Perpendicolarità: Uniformità del campo Lunghezze e aree: nel differenziale ... 37 / 55

39 Le equazioni costitutive in forma finita
+ Perpendicolarità: Uniformità del campo Lunghezze e aree: ... 38 / 55

40 Le equazioni costitutive in forma finita
Le equazioni costitutive DIPENDONO DAL MEZZO; possono essere lineari o non lineari, possono descrivere un materiale isotropo o anisotropo. Contengono NOZIONI METRICHE, quali lunghezze, aree, volumi, perpendicolarità. Dal momento che sono sperimentate in condizioni di campo UNIFORME il loro utilizzo in campi non uniformi è approssimato. A causa di questo fatto noi siamo spinti ad usarle in regioni infinitesime. Ed è per questo che siamo invitati a fare la formulazione differenziale. Senonché è sufficiente considerare regioni SUFFICIENTEMENTE piccole, secondo una tolleranza prestabilita per ogni problema. ... 39 / 55

41 Riassumendo: le equazioni dell’elettromagnetismo in forma finita sono:
Gauss Gauss Faraday- Neumann Ampère- Maxwell Equazioni costitutive ... 40 / 55

42 Il ruolo della geometria
I fenomeni fisici si svolgono nello spazio. Per poterli descrivere in termini matematici occorre passare attraverso la geometria. 41 / 55 fisica geometria spazio matematica ...

43 Il ruolo della geometria
La formulazione differenziale, accanto ai numerosi meriti, ha il torto di spogliare la fisica degli aspetti geometrici in quanto riduce tutte le grandezze a funzioni del punto. La formulazione numerica, al contrario, necessita di rendere esplicita la geometria che era nascosta nella formulazione differenziale. Occorre quindi dare più importanza alla geometria, ( topologia, metrica, affinità, ecc. ) nello studio della fisica Che l’aspetto geometrico diventi sempre più importante lo mostra il successo che stanno ottenendo le forme differenziali esterne le quali restituiscono alle leggi fisiche quegli aspetti geometrici che erano impliciti ( ma nascosti ) nella formulazione differenziale. ... 42 / 55

44 I complessi di celle ... 43 / 55

45 I complessi di celle Nella formulazione differenziale si usano funzioni del punto e quindi occorre utilizzare un sistema di coordinate. Nella formulazione finita occorre invece introdurre un complesso di celle. Applicando le equazioni in forma finita ad ogni cella del complesso si perviene ad un sistema di equazioni algebriche. La risoluzione numerica dei problemi elettromagnetici si ottiene quindi applicando le leggi in forma finita alle singole celle del complesso. ... 44 / 55

46 Poligoni duali di Voronoi
Alcune leggi fisiche devono essere applicate alle celle di un complesso altre a quelle del complesso duale. 17 13 1 2 3 5 7 4 6 8 9 10 11 12 14 15 16 Gli assi dei lati si Intersecano nel circocentro Questo può essere formato dai poligoni i cui lati tagliano ortogonalmente i lati del primale nei punti di mezzo. Questi si chiamano poligoni di Voronoi. ... 45 / 55

47 Complesso di celle nel tempo e suo duale
primale 46 / 55 ...

48 Formulazione differenziale
Formulazione finita Faraday-Neumann Sistema algebrico Attraverso un processo di discretizzazione ... 47 / 55

49 Estensione delle leggi di Kirchhoff ai campi
Le equazioni finite del campo elettromagnetico che abbiamo esposto sono l’estensione delle equazioni circuitali di Kirchhoff ai campi. campi circuiti Conservazione della carica Correnti nodali Faraday-Neumann Tensioni di maglia ... 48 / 55

50 Applicazioni numeriche
... 49 / 55

51 Esempio di elettrostatica.
Data una regione bidimensionale delimitata da una poligonale ABCDEA, assegnato il potenziale sui lati ABCD, assegnati i flussi elettrici sui lati DEA, si vuole determinare il potenziale nei vertici in cui il potenziale è incognito (vertici in giallo) E D A B C Potenziale assegnato Potenziale incognito ... 50 / 55 Poisson discreta relativa al nodo h

52 Equazione di Poisson discreta
coefficienti di capacità propria coefficienti di capacità mutua ... 51 / 55

53 determinazione dei potenziali
Si ottiene in tal modo un sistema di tante equazioni quanti sono i potenziali incogniti. ... 52 / 55

54 Conclusione 1 / 2 Abbiamo visto che facendo uso delle variabili globali, è possibile scrivere le equazioni del campo elettromagnetico direttamente in forma finita. Facendo poi uso di un complesso di celle si possono applicare le equazioni in forma finita alle singole celle del complesso. In questo modo si perviene ad un sistema di equazioni algebriche e quindi si possono risolvere numericamente tutti i problemi di campo. Questo mostra che la formulazione differenziale, non è l’unica formulazione possibile. ... 53 / 55

55 ... Conclusione 2 / 2 La formulazione finita mette in evidenza
alcune proprietà geometriche che la formulazione differenziale teneva nascoste. In particolare mette in luce il ruolo dei due complessi e delle orientazioni interna ed esterna. La formulazione finita è molto semplice, può essere usata anche in un Istituto Tecnico in quanto non richiede le equazioni alle derivate parziali. ... 54 / 55

56 Riassumendo: le equazioni dell’elettromagnetismo in forma finita sono:
f i n e Riassumendo: le equazioni dell’elettromagnetismo in forma finita sono: Gauss (elettrica) Gauss (magnetica) Faraday- Neumann Ampère- Maxwell Equazioni costitutive ... 55 / 55

57 ftp.dic.units.it/pub/science
Questo materiale si può prelevare dal sito: ftp.dic.units.it/pub/science


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