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EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI.

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Presentazione sul tema: "EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI."— Transcript della presentazione:

1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI

2 Argomenti della lezione Equazioni lineari con coefficienti costanti. Termini noti di tipo particolare. Oscillazioni forzate Equazioni lineari con coefficienti costanti. Termini noti di tipo particolare. Oscillazioni forzate Accenno ai sistemi Accenno ai sistemi

3 EQUAZIONI LINEARI CON COEFFICIENTI COSTANTI

4 Consideriamo unequazione dordine n completa con coefficienti costanti y (n) + a 1 y (n-1) + … + a n y = b(x) Qui i coefficienti a 1, …, a n sono numeri reali, mentre b(x) è una funzione che in generale è supposta continua

5 Lequazione omogenea associata è y (n) + a 1 y (n-1) + … + a n y = 0 Si dice polinomio caratteristico il polinomio P(z) = z n + a 1 z n-1 + … a n-1 z + a n

6 Lequazione z n + a 1 z n-1 + … a n-1 z + a n = 0 z n + a 1 z n-1 + … a n-1 z + a n = 0 si dice equazione caratteristica Siano,, …, r, le radici reali dellequazione caratteristica, di molteplicità m 1, m 2, …, m r ; siano poi,, …, s e,, …, s le radici complesse e le complesse coniugate, ciascuna di molteplicità

7 n 1, n 2, …, n s. Allora P(z) = (z- ) m 1... (z- r ) m r P(z) = (z- ) m 1... (z- r ) m r (z - ) n 1 (z - ) n 1 … (z - s ) n s(z - s ) n s Ricordiamo che se = a + i b, allora = a - i b.

8 Analogamente alla fattorizzazione del polinomio P(z), si può pensare a una fattorizzazione delloperatore differenziale che dà lequazione omogenea L(y) = y (n) + a 1 y (n-1) + … + a n y = (D -) m 1... (D - r) m r (D -) m 1... (D - r) m r (D -) n 1 (D -) n 1 … (D - s) n s(D - s) n s y = 0(D - s) n s(D - s) n s y = 0

9 È facile vedere che se e sono due numeri reali o complessi e y(x) è una funzione due volte derivabile (D - ) (D - ) y = (D - ) (D - ) y = [D 2 –( + ) D + ] y = = y –( + )y + y Dunque la fattorizzazione di L(y) ha senso, poiché si può pensare fatta in un ordine arbitrario

10 Se y soddisfa (D - ) y = 0 oppure (D - ) y = 0, allora è anche y –( + )y + y = 0. Dunque ogni soluzione di (D - ) p y = 0 dove è uno degli i o uno dei k, è una soluzione dell equazione omogenea. Se p=1, è facile riconoscere che una soluzione di (D - ) y = 0 è data da

11 y = e x = exp( x) Se è un numero reale allora la funzione è un esponenziale a valori in R. Se = c + i d, la soluzione, grazie alle formule dEulero, si scrive e (c+id)x = e cx (cos d x + i sen d x) In questo caso anche c – i d è soluzione del polinomio caratteristico e perciò anche

12 e (c-id)x = e cx (cos d x - i sen d x) è soluzione dellequazione differenziale. Poiché lequazione è lineare, anche una loro combinazione lineare è soluzione. Dunque sono soluzioni relative a radici complesse coniugate dell equazione caratteristica e cx cos d x = [e (c+id)x + e (c-id)x ]/2 e cx sen d x = [e (c+id)x - e (c-id)x ]/(2i)

13 Queste soluzioni hanno il vantaggio di essere date da funzioni a valori reali. Che cosa si può dire se p > 1 ? Si osserva che, in generale,

14 (D - I) (x k ex ) = k x k-1 ex se k 1 (D - I) 2 (x k ex ) = k(k-1) x k-2 ex se k 2 (D - I) n (x k ex ) = 0 se k < n E quindi

15 Dunque sono soluzioni dell equazione omogenea le seguenti funzioni e x, x e x, …, x (m 1 -1) e x …………………………………. e r x, x e r x, …, x (m r -1) e r x relative alle soluzioni reali del polinomio caratteristico;

16 Se k = a k + i b k si trovano le seguenti soluzioni e a x cos(b 1 x), x e a x cos(b 1 x), …, x (n 1 -1) e a x cos(b 1 x) e a x sen(b 1 x), x e a x sen(b 1 x), …, x (n 1 -1) e a x sen(b 1 x) ……………………………………………..

17 e a s x cos(b s x), x e a s x cos(b s x), …, x (n s -1) e a s x cos(b s x) e a s x sen(b s x), x e a s x sen(b s x), …, x (n s -1) e a s x sen(b s x) Tutte le funzioni qui ricordate sono lin. indip. su tutto R. Dunque ogni soluzione dellequazione omogenea è combinazione lineare

18 delle funzioni presentate in precedenza. Naturalmente deve valere la relazione n = m 1 + m 2 + … + m r + 2(n 1 + n 2 +… + n s )

19 Esempio Si trovi lintegrale generale di y (4) –2y + 2y –2y + y = 0 Lequazione caratteristica è z 4 –2 z z 2 –2 z + 1 = 0

20 Ossia (z –1) 2 (z 2 + 1) = 0 Le radici sono z 1 =1 di molteplicità 2 e z 2 = i, z 3 = -i che sono semplici Quindi le seguenti sono le quattro soluzioni linearmente indipendenti dellequazione omogenea

21 y 1 = e x, y 2 = x e x y 3 = cos x, y 4 = sen x La soluzione generale è y = c 1 e x + c 2 x e x + c 3 cos x + c 4 sen x

22 Con unopportuna scelta delle costanti si può risolvere ogni problema di Cauchy. Si voglia trovare la soluzione che soddisfa le condizioni iniziali y(0) = 0, y(0) = -1, y(0) = 0, y(0) = 1

23 Si trova c 1 = c 2 = c 3 = 0, c 4 = -1 E quindi y(x) = - sen x

24 EQUAZIONECOMPLETA

25 Ricordiamo la formula generale che fornisce un integrale particolare del sistema completo, specializzandola al caso di unequazione dordine n. Ricordiamo la formula generale Y(x) U(x)U 1 (t) B(t)dt

26 Ci interessa solo la prima componente di Y(x). Conviene ricordare che B(x) = (0,..,0,b(x)) T U(t) -1 B(t) = (b(t)/W(t))(W n1 (t),..,W nn (t)) T Qui W(t) = det U(t), si dice il wronskiano del sistema fondamentale

27 E quindi, la prima componente di U(x) U(t) -1 B(t) è ( y 1 (x)W n1 (t)+ y 2 (x)W n2 (t)+.. + y n (x) W nn (t) ) b(t)/W(t) In definitiva otteniamo la seguente formula generale

28 y(x) = y(x) = y 1 (t)………..y n (t) …………………….. y 1 (n-2) (t)….y n (n-2) (t) y 1 (x)………..y n (x) W(t) b(t) dt

29 In particolare, per unequazione dordine 2 y(x) = y(x) = y 1 (t)y 2 (t) y 1 (x)y 2 (x) W(t) b(t) dt

30 Cioè y(x) = y(x) = y 1 (t) y 2 (x)- y 1 (x)y 2 (t) y 1 (t) y 2 (t)- y 1 (t)y 2 (t) b(t) dt


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